Test GR4: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
Linia 1: Linia 1:
121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212
 
  
==Test sprawdzający==
 
 
<quiz>Rozważmy funkcję <math>\displaystyle f\colon {\Bbb R}\longrightarrow {\Bbb R}</math>, określoną wzorem:
 
 
<center><math>\displaystyle f(x) =\left\{ \begin{array} {rl}
 
-x^2\ln{|x|}, &  x \neq 0\\
 
0, & x=0.
 
\end{array}  \right. </math></center>
 
 
Wówczas:
 
 
<wrongoption>nie istnieje wartość największa funkcji <math>\displaystyle f</math>.</wrongoption>
 
<rightoption>funkcja <math>\displaystyle f</math> przyjmuje wartość największą w parzystej liczbie punktów.</rightoption>
 
<wrongoption>wartość największa funkcji <math>\displaystyle f</math> jest równa <math>\displaystyle 0</math>.</wrongoption>
 
<rightoption>wartość największa funkcji <math>\displaystyle f</math> jest liczbą niewymierną.</rightoption>
 
</quiz>
 
 
 
<quiz>Załóżmy, że próbka prosta <math>\displaystyle X_1,\ldots,X_n</math> pochodzi z rozkładu ciągłego
 
o gęstości: <center><math>\displaystyle f(x)=\alpha^2xe^{-\alpha x}I_{[0,\infty)}(x),</math></center>
 
 
gdzie <math>\displaystyle I_{[0,\infty)}</math> oznacza funkcję charakterystyczną przedziału <math>\displaystyle [0,\infty)</math>, oraz że <math>\displaystyle T(X_1,\ldots,X_n)</math> jest estymatorem
 
największej wiarygodności parametru <math>\displaystyle \alpha</math>.
 
Wtedy:
 
 
<rightoption><math>\displaystyle S(X_1,\ldots,X_n) = \frac{2\sum_{i=1}^n X_i}{2n-1}</math> jest w tym rozkładzie estymatorem największej wiarygodności wartości oczekiwanej.</rightoption>
 
<rightoption><math>\displaystyle \frac{nT}{n+1}</math> jest estymatorem zgodnym parametru <math>\displaystyle \alpha</math>.</rightoption>
 
<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{2n}{\sum_{i=1}^n X_i}</math>.</wrongoption>
 
<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{2n+1}{\sum_{i=1}^n X_i}</math>.</wrongoption>
 
</quiz>
 
 
 
<quiz>Załóżmy, że prawdopodobieństwo zachorowania na pewną chorobę jest wprost proporcjonalne do wieku,
 
ze współczynnikiem proporcjonalności <math>\displaystyle \theta>0</math>.
 
Zbadano 20-elementowe próbki ludności w różnym wieku, otrzymując następujące wyniki:
 
\begincenter
 
 
{| border=1
 
|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
 
|-
 
|
 
  Wiek  ||  <math>\displaystyle 10</math>  ||  <math>\displaystyle 30</math>  ||  <math>\displaystyle 80</math>
 
|-
 
|
 
  Liczba chorych  ||  <math>\displaystyle 1</math>  ||  <math>\displaystyle 5</math>  ||  <math>\displaystyle 9</math>
 
|-
 
|
 
 
|}
 
 
.
 
\endcenter
 
Jeżeli <math>\displaystyle \hat{\theta}</math> oznacza wyestymowaną, na podstawie powyższych danych, wartość nieznanego
 
parametru <math>\displaystyle \theta</math>, przy użyciu metody największej wiarygodności, to:
 
 
<wrongoption><math>\displaystyle \theta>\frac{1}{80}</math>.</wrongoption>
 
<wrongoption><math>\displaystyle \theta=0.01</math>.</wrongoption>
 
<wrongoption><math>\displaystyle \theta\in (0.01,0.0125)</math>.</wrongoption>
 
<rightoption>żadne z powyższych.</rightoption>
 
</quiz>
 
 
 
<quiz>Estymatorem największej wiarygodności parametru\linebreak <math>\displaystyle \alpha<0</math> w rozkładzie jednostajnym na odcinku
 
<math>\displaystyle [\alpha,0]</math> jest:
 
 
<wrongoption><math>\displaystyle \max\{X_1,\ldots,X_n\}</math>.</wrongoption>
 
<wrongoption><math>\displaystyle \frac{n+1}{n}\min\{X_1,\ldots,X_n\}</math>.</wrongoption>
 
<wrongoption><math>\displaystyle 2\bar{X}</math>.</wrongoption>
 
<rightoption><math>\displaystyle \min\{X_1,\ldots,X_n\}</math>.</rightoption>
 
</quiz>
 
 
 
<quiz>Czterech koszykarzy amatorów ćwiczyło rzuty "za 3
 
punkty". Pierwszy z nich trafił za drugim razem, drugi --
 
za trzecim, trzeci -- za czwartym, zaś czwarty -- za
 
pierwszym. Zakładając dla wszystkich graczy jednakową
 
celność <math>\displaystyle p</math>, metodą największej wiarygodności wyznaczono
 
estymator <math>\displaystyle \hat{p}</math> nieznanej wartości <math>\displaystyle p</math>. Oceń
 
prawdziwość poniższych zdań.
 
 
<rightoption><math>\displaystyle \hat{p}<0.5</math>.</rightoption>
 
<wrongoption><math>\displaystyle \hat{p}<0.4</math>.</wrongoption>
 
<rightoption><math>\displaystyle \hat{p}=0.4</math>.</rightoption>
 
<wrongoption><math>\displaystyle \hat{p}>\frac{2}{5}</math>.</wrongoption>
 
</quiz>
 
 
 
<quiz>W celu oszacowania wartości przeciętnej <math>\displaystyle \hat{m}</math> czasu bezawaryjnej pracy nowego systemu operacyjnego NIWUX 2006,
 
przeznaczonego dla komputerów osobistych klasy PC, zainstalowano ten system na 10 losowo wybranych
 
komputerach, a następnie (dla każdego z nich)
 
zmierzono czas od momentu uruchomienia do  momentu pierwszego "zawieszenia" systemu, otrzymując następujące wyniki
 
(w godzinach):
 
<center><math>\displaystyle 2.5,2,2.5,1.5,3.5,4,4.5,2,3,3.</math></center>
 
 
Jeżeli założymy, że czas bezawaryjnej pracy systemu NIWUX 2006 ma
 
rozkład wykładniczy z parametrem <math>\displaystyle \lambda</math>, to, korzystając z
 
metody największej wiarogodności, otrzymujemy:
 
 
<wrongoption><math>\displaystyle \hat{m}=2.9</math>.</wrongoption>
 
<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle \hat{\lambda}=\frac{10}{29}</math>, gdzie <math>\displaystyle \hat{\lambda}</math> jest oceną parametru <math>\displaystyle \lambda</math>.</wrongoption>
 
<wrongoption><math>\displaystyle \hat{m}=\hat{\lambda}</math>, gdzie <math>\displaystyle \hat{\lambda}</math> jest takie jak wyżej.</wrongoption>
 
<rightoption><math>\displaystyle \displaystyle \hat{\lambda}\approx 0.35</math>, gdzie <math>\displaystyle \hat{\lambda}</math> jest takie jak wyżej.</rightoption>
 
</quiz>
 
 
 
131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313
 
 
==Test sprawdzający==
 
 
<quiz>Z jednej partii pewnego towaru wybrano losowo <math>\displaystyle 50</math> sztuk, z których dwie okazały się wadliwe. Niech
 
<math>\displaystyle (a,b)</math> będzie <math>\displaystyle 95\%</math> przedziałem ufności dla frakcji elementów wadliwych w tej partii. Wówczas:
 
 
<rightoption><math>\displaystyle b-a\in (0.1,0.11)</math>.</rightoption>
 
<wrongoption><math>\displaystyle a\approx -0.1</math>.</wrongoption>
 
<wrongoption><math>\displaystyle a\approx -0.0143</math>, <math>\displaystyle b=0.1</math>.</wrongoption>
 
<wrongoption><math>\displaystyle |a-b|\leq 0.1</math>.</wrongoption>
 
</quiz>
 
 
 
<quiz>Załóżmy, że błąd pomiaru pewnego termometru
 
elektronicznego ma rozkład normalny o wariancji
 
<math>\displaystyle 0.04^\circ</math>C. Ilu niezależnych pomiarów temperatury
 
wystarczy dokonać, aby mieć <math>\displaystyle 99\%</math> pewności, że średnia z
 
otrzymanych wyników wskazuje faktyczną temperaturę, z
 
błędem nie większym niż <math>\displaystyle 0.01^\circ</math>C?
 
 
<rightoption>2 670.</rightoption>
 
<rightoption>3 000.</rightoption>
 
<wrongoption>2 000.</wrongoption>
 
<wrongoption>2 652.</wrongoption>
 
</quiz>
 
 
 
<quiz>Do weryfikacji pewnej hipotezy <math>\displaystyle \mathrm{H}_0</math> użyto statystyki testowej <math>\displaystyle U</math>, której rozkład, przy założeniu prawdziwości <math>\displaystyle \mathrm{H_0}</math>, jest rozkładem Studenta o <math>\displaystyle 10</math> stopniach swobody, otrzymując <math>\displaystyle U\approx 1.812</math> oraz wartość-<math>\displaystyle p</math> w przybliżeniu równą <math>\displaystyle 0.05</math>.
 
Jaką postać mógł posiadać zbiór krytyczny <math>\displaystyle K</math>, którego użyto w tym teście?
 
 
<wrongoption><math>\displaystyle K=[-a,a]</math>.</wrongoption>
 
<wrongoption><math>\displaystyle K=(-\infty,-a]\cup [a,\infty)</math>.</wrongoption>
 
<rightoption><math>\displaystyle K=[a,\infty)</math>.</rightoption>
 
<wrongoption><math>\displaystyle K=(-\infty,a]</math>.</wrongoption>
 
</quiz>
 
 
 
<quiz>Z pewnej populacji, w której iloraz inteligencji posiada
 
rozkład <math>\displaystyle N(\mu,10)</math>, wybrano losowo 10 000 osób, zbadano ich
 
iloraz inteligencji otrzymując średnią 123.5, a następnie na
 
poziomie istotności <math>\displaystyle \alpha=0.1</math> przetestowano hipotezę <math>\displaystyle H_0\colon
 
\mu =124</math>, przy alternatywie <math>\displaystyle H_1\colon \mu <124</math>. Oceń prawdziwość poniższych zdań.
 
 
<rightoption>Wynik testu sugerował odrzucenie <math>\displaystyle H_0</math> na korzyść <math>\displaystyle H_1</math>.</rightoption>
 
<rightoption>Nie byłoby podstaw do odrzucenia <math>\displaystyle H_0</math>, gdyby <math>\displaystyle \alpha</math> było równe <math>\displaystyle \frac{1}{10000000}</math>.</rightoption>
 
<wrongoption>Wynik testu świadczył o tym, iż nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy <math>\displaystyle H_0</math>.</wrongoption>
 
<wrongoption>Wartość-<math>\displaystyle p</math> wyniosła w tym teście około <math>\displaystyle 0,00000029</math>.</wrongoption>
 
</quiz>
 
 
 
<quiz>Testujemy pewną hipotezę <math>\displaystyle H_0</math>, wykorzystując statystykę <math>\displaystyle T</math> oraz zbiór krytyczny <math>\displaystyle K</math>.
 
Które z poniższych wielkości oznaczają błąd drugiego rodzaju?
 
 
<wrongoption><math>\displaystyle P(T\notin K\mid H_0 </math> -- prawdziwa <math>\displaystyle  )</math>.</wrongoption>
 
<rightoption><math>\displaystyle P(T\notin K\mid H_0 </math> -- fałszywa <math>\displaystyle  )</math>.</rightoption>
 
<wrongoption><math>\displaystyle P(T\in K\mid H_0 </math> -- prawdziwa <math>\displaystyle  )</math>.</wrongoption>
 
<rightoption><math>\displaystyle 1-P(T\in K\mid H_0 </math> -- fałszywa <math>\displaystyle  )</math>.</rightoption>
 
</quiz>
 
 
 
<quiz>Pewna firma wypuszcza nowy produkt na rynek i chce sprawdzić,
 
która z pięciu proponowanych nazw tego produktu (powiedzmy A, B, C,
 
D lub E) najbardziej spodoba się klientom. Poproszono więc grupę losowo
 
wybranych osób, aby wskazali najbardziej przypadającą im
 
do gustu nazwę, otrzymując następujące wyniki:
 
\begincenter
 
 
{| border=1
 
|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
 
|-
 
| A  ||  B  ||  C  ||  D  ||  E
 
|-
 
|
 
        35 ||  45 ||  40 ||  50 ||  30
 
|-
 
|
 
 
|}
 
 
\endcenter
 
Oceń prawdziwość poniższych zdań.
 
 
<wrongoption>Jeżeli testem zgodności <math>\displaystyle \chi^{2}</math> weryfikujemy na poziomie istotności <math>\displaystyle \alpha=0.01</math> hipotezę, że nazwy te podobają się w takim samym stopniu, to otrzymujemy wartość statystyki testowej równą <math>\displaystyle 6.5</math>.</wrongoption>
 
<wrongoption>Jeżeli testem zgodności <math>\displaystyle \chi^{2}</math> weryfikujemy na poziomie istotności <math>\displaystyle \alpha=0.01</math> hipotezę, że nazwy te podobają się w takim samym stopniu, to otrzymujemy zbiór krytyczny <math>\displaystyle K=(a,\infty)</math>, gdzie <math>\displaystyle a\approx 0.297</math>.</wrongoption>
 
<wrongoption>Wynik testu zgodności <math>\displaystyle \chi^{2}</math> na poziomie istotności <math>\displaystyle \alpha=0.075</math> wskazuje na to, że nazwy te podobają się klientom w istotnie niejednakowym stopniu.</wrongoption>
 
<rightoption>Wynik testu zgodności <math>\displaystyle \chi^{2}</math> na poziomie istotności <math>\displaystyle \alpha=0.05</math> wskazuje na to, że nazwy te w jednakowym stopniu podobają się klientom.</rightoption>
 
</quiz>
 
 
 
14141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414
 
 
==Test sprawdzający==
 

Wersja z 10:04, 29 wrz 2006