==Zadanie 9.1==
Znaleźć lewe sprzężenie dla funktora zapominania
, o ile istnieje.
Wskazówka:
To sprzężenie istnieje. Pytamy bowiem: jak stworzyć strukturę przestrzeni topologicznej na dowolnym zbiorze. Współczesna nauka zna odpowiedzi na takie pytania...
Rozwiązanie:
Na dowolnym zbiorze
są dwa najprostsze sposoby zadania topologii
: albo bierzemy
, albo
. Nasz funktor
na obiektach będzie zdefiniowany jako
, zaś na strzałkach jako
. Dla zbioru
naturalnym kandydatem na komponent jedności
jest identyczność
. Ta prosta postać jedności, w świetle Twierdzenia 9.5, pozwala nam na stwierdzenie, że
wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej przestrzeni topologicznej
, dowolna funkcja
jest ciągła. To bardzo silne wymaganie! Mówiąc precyzyjniej: topologia na
musi być bardzo bogata, tak aby dla dowolnej funkcji
, jak wyżej, przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego
musi być otwarty w
. Z pewnością
nie spełnia tego wymagania. Z pewnością również
jest dobrym kandydatem - i jedynym możliwym (bo przecież moglibyśmy wziąć
oraz
). Każda bowiem funkcja dziedzinie
jest ciągła. Podsumujmy: funktor zapominania
ma lewe sprzężenie
dany jako:
,
.
==Zadanie 9.2==
Udowodnij, że produkt jest prawym sprzężeniem przekątnej, a koprodukt - lewym sprzężeniem.
Rozwiązanie:
Jeśli
dla pewnego
, to po pierwsze,
musi mieć typ
. Po drugie, musimy mieć naturalny izomorfizm:
gdzie wykorzystaliśmy definicję produktu kategorii. Ale Zadanie 3.5 pokazuje nam, że w takim razie musi być
. Produkt
(albo dowolny funktor izomorficzny do produktu) jest zatem prawym sprzężeniem:
. Jedność tego sprzężenia,
, ma dla każdego komponentu
typ
. Musimy tak dobrać jedność, aby spełniona była własność uniwersalna wyrażona w Twierdzeniu 9.5: dla każdej strzałki
istnieje dokładnie jedna strzałka
tak, że
. Ponieważ każda strzałka
jest postaci
, wystarczy wziąć
, gdyż wtedy:

Uwaga: Dowiedliśmy, że

ma prawe sprzężenie wtedy i tylko wtedy, gdy

ma produkty. Rozważania dualne do powyższych wskazują, że

- cały dowód dostajemy
za darmo zgodnie z zasadą dualności.
==Zadanie 9.3==
Znaleźć lewe i prawe sprzężenie do funktora diagonalnego
typu
, gdzie
jest dowolną kategorią, zaś
- dyskretną kategorią jednoobiektową.
Rozwiązanie:
Prawe sprzężenie do
, o ile istnieje, musi z definicji być elementem
, czyli obiektem
, takim że dla dowolnego obiektu
istnieje strzałka typu
. Co więcej, ta strzałka może być tylko jedna, bo
jest singletonem (zawiera tylko
). Taki obiekt
, o ile istnieje, jest obiektem końcowym w
. Pokazaliśmy zatem, że
(gdzie tym razem
oznacza obiekt końcowy w
). Dualnie, lewym sprzężeniem
jest obiekt początkowy:
, o ile istnieje.
Uwaga
Wykazaliśmy, że

wtedy i tylko wtedy, gdy

ma obiekt końcowy (

wtedy i tylko wtedy, gdy

ma obiekt początkowy).
Szereg kolejnych zadań dotyczy sprzężeń między częściowymi porządkami.
==Zadanie 9.4==
Wykaż, że topologiczna operacja wnętrza
jest prawym sprzężeniem do inkluzji zbiorów otwartych
w podzbiory
.
Rozwiązanie:
Aby pokazać sprzężenie, musimy udowodnić, że:

dla dowolnych

i

. Ale ta równoważność w tłumaczeniu na język polski mówi, że

jest największym zbiorem otwartym zawartym w

. A to jest właśnie definicja wnętrza!
==Zadanie 9.5==
Udowodnij, że operacje obrazu i przeciwobrazu funkcji
są sprzężeniami na zbiorach potęgowych.
Rozwiązanie:
Operację przeciwobrazu oznaczmy
, zaś obraz jako
. Wtedy widać, że:

co dowodzi

.
==Zadanie 9.6==
Niech
będzie językiem pierwszego rzędu. Dla listy różnych zmiennych
definiujemy jako
zbiór tych formuł języka
, których wszystkie zmienne wolne znajdują się na liście
(oczywiście nie wszystkie zmienne
muszą występować w formule
). Para
jest preporządkiem względem syntaktycznej relacji dedukcji
. Niech
. Wówczas
,
jest funktorem, ponieważ
w
trywialnie implikuje
w
. Udowodnić, że kwantyfikator ogólny
jest prawym sprzężeniem do
, tj.
. Jakie jest twierdzenie dualne?
Rozwiązanie:
Dowód stanowi równoważność:
która wyraża dwie reguły: wprowadzenia i eliminacji kwantyfikatora ogólnego.
Dualnie
, co objawia się regułą wprowadzenia i eliminacji kwantyfikatora szczegółowego:
Uwaga
Badając jedności i kojedności tych sprzężeń, dostajemy zupełny system dedukcyjny języka

, tzn. każde z praw logicznych dla

wynika z tych dwóch sprzężeń powyżej, np. kojednością

jest prawo:
==Zadanie 9.7==
Niech
będzie dcpo, jak definiujemy to w Wykładzie 12. Wykazać, że domknięcie dolne
jest prawym sprzężeniem do operacji supremum skierowanego
.
Rozwiązanie:
Musimy udowodnić, że:
dla dowolnego elementu
i ideału
. Jeśli
, to oczywiście
dla każdego
, a co za tym idzie,
. To dowodzi
. Odwrotnie, jeśli ta ostatnia inkluzja zachodzi, to
jest ograniczeniem górnym
, więc jest powyżej jego supremum, tj.
(zwróćmy uwagę, że to supremum istnieje, bo
jest dcpo).
==Zadanie 9.8==
Czy operacja
, jak zdefiniowana w Zadaniu 9.7 ma lewe sprzężenie?
Wskazówka:
Tak, ale wtedy i tylko wtedy, kiedy
jest posetem ciągłym (definicji ciągłości szukaj Wykładzie 12.).
Rozwiązanie:
Niech
będzie posetem ciągłym i dcpo. Wtedy relacja aproksymacji
jest dobrze zdefiniowana (tj. ma odpowiedni typ). Musimy pokazać, że:

dla dowolnego ideału

oraz elementu

. Załóżmy, że

. Wtedy

, co wynika z ciągłości

i faktu, że

jest większym zbiorem niż

. Odwrotnie, jeśli

, to ponieważ

jest zbiorem skierowanym, dla dowolnego

mamy

dla pewnego

(wprost z definicji relacji aproksymacji). A zatem

.