Teoria kategorii dla informatyków/Wykład 8: Diagramy, granice i kogranice
Podczas tego wykładu zobaczymy, że diagramy, które tak przecież promuje teoria kategorii, są również funktorami. Przekonamy się też, że obiekty i strzałki uniwersalne, które poznaliśmy do tej pory, np. produkt, pulbak, ekwalizator, koprodukt, pushout, itd. są szczególnymi przypadkami pojęć granicy i kogranicy.
Diagramy
Niech Definicja 5.1 - że funktor jest operacją przypisującą obiektom obiekty i morfizmom morfizmy . Innymi słowy, funktor jest operacją, która indeksuje obiekty i morfizmy kategorii obiektami i morfizmami kategorii . Aksjomaty, którym podlegają funktory, narzucają nam pewien porządek, styl indeksowania: po pierwsze - identyczności w mogą być indeksowane jedynie przez identyczności, po drugie - poindeksowane strzałki w składają się dokładnie wtedy, gdy są obrazem pewnego złożenia w . Oto przykład: jeśli jest następującą kategorią:
i będą kategoriami. Zastanówmy się, w jaki sposób interpretować dowolny funktor - niech nazywa się - typu . Wiemy -
(jak zwykle nie musimy rysować identyczności!), to jej obraz w kategorii
wygląda tak:
(gdzie z premedytacją piszemy
zamiast , zamiast itd.). Widzimy, że obraz kategorii w kategorii jest... diagramem! Pamiętając to spostrzeżenie, bez większych wahań zaakceptujemy następującą definicję:
Definicja 8.1 [Diagram]
Mimo uderzającej prostoty powyższej definicji niektóre diagramy mogą mieć skomplikowany kształt:

Granice i kogranice
Stożek nad diagramem
składa się z obiektu i rodziny strzałekpo jednej dla każdego obiektu
, takich że dla każdej strzałki diagram
komutuje. Powyższy rysunek, miejmy nadzieję, wyjaśnia nazwę stożek. Obiekt
nazywa się często wierzchołkiem stożka.Ktoś spostrzegawczy zapewne zauważył już, że rodzina strzałek
nadaje się na komponenty pewnej transformacji naturalnej. Tak jest rzeczywiście: wystarczy potraktować jako transformację z funktora stałego :do funktora
. Komutowanie diagramu powyżej to nic innego, tylko odbicie naturalności transformacji , nieprawdaż?Stożek o wierzchołku
oznaczamy jako lub lubStożki również tworzą kategorię: morfizmem stożków
nazywamy strzałkę taką, że:
komutuje dla każdego
, tzn. . Kategorię stożków nad diagramem oznaczamy .Pewne stożki są uniwersalne. Nazywają się granicami (lub stożkami granicznymi):
Definicja 8.2 [granica diagramu]
Innymi słowy, stożek nad jest granicą, jeśli dla dowolnego innego stożka istnieje dokładnie jedna strzałka , która jest morfizmem stożków, tzn. taka że poniższy diagram komutuje dla każdego :

Dualnie, kogranicą lub granicą odwrotną
nazywamy obiekt początkowy w kategorii kostożków . (Kostożek nad diagramem składa się z obiektu i rodziny strzałekpo jednej dla każdego obiektu
, takich że dla każdej strzałki mamy .) Kogranicę oznaczymy jako lub .Przykłady:
- Produkt jest granicą diagramu typu:

Ponieważ jest to pierwszy przykład tego typu, bardzo wnikliwie opiszemy go i dowiedziemy prawdziwości powyższego, przedstawionego w telegraficznym skrócie, stwierdzenia. A zatem bierzemy
kategorię dyskretną z dwoma obiektami i i dwoma morfizmami (tzn. nie ma strzałek innych poza identycznościami) (rysunek jak wyżej). Diagramem jest para obiektów . Stożkiem nad jest obiekt wraz z dwoma strzałkami i , tzn.
Zgodnie z tym, co tłumaczyliśmy tuż pod Definicją 5.2, tenże jest granicą , jeśli dla dowolnego innego stożka

istnieje dokładnie jedna strzałka
taka, że diagram
komutuje. Innymi słowy,
jest produktem:- Granicą diagramu , gdzie jest kategorią pustą, jest obiekt końcowy w . Kogranicą jest obiekt początkowy w . Co więcej, jest kategorią izomorficzną z w .
- Ekwalizator jest granicą diagramu typu

- Pulbak jest granicą diagramu typu

- Pushout jest kogranicą diagramu typu

Uogólniając dwa pierwsze przykłady powyżej, jeśli
jest zbiorem (tj. kategorią dyskretną), zaś jest indeksowaną kolekcją obiektów z , to ich produktemnazywamy granicę diagramu
. Mówimy, że ten produkt ma moc równą mocy zbioru . W ogólności, dla małej kategorii , jej moc będziemy definiować jako moc kolekcji morfizmów . Wtedy mocą granicy diagramu nazwiemy moc kategorii . Na przykład: małą granicą nazwiemy granicę diagramu małego typu.Pokażmy następujące twierdzenie, które jest naturalnym uogólnieniem Wniosku 3.10:
Twierdzenie 8.3
Dowód
Niech
będą jedynymi strzałkami, dla których poniższe diagramy komutują (dla każdego ):

Niech

będzie ekwalizatorem
i . Zdefiniujmy:dla każdego
. Te strzałki tworzą stożek nad , ponieważ dla dowolnegoCo więcej, dla dowolnego innego stożka
mamy morfizm z . Dlatego:dla dowolnego
. A zatem . Mamy więc następującą sytuację:
tzn. z faktu, że
jest ekwalizatorem wynika, że istnieje dokładnie jedna strzałka , która spełnia . Tak więc:czyli
jest morfizmem stożków. To kończy dowód faktu, że jest granicą .
Wniosek 8.4
- Kategoria ma wszystkie granice danej mocy wtedy i tylko wtedy, gdy ma wszystkie produkty i ekwalizatory tej mocy.
- Kategoria ma wszystkie kogranice danej mocy wtedy i tylko wtedy, gdy ma koprodukty i koekwalizatory tejże mocy.
- Kategoria ma skończone granice wtedy i tylko wtedy, gdy ma skończone koprodukty i skończone koekwalizatory.
- Jeśli ma ekwalizatory i wszystkie małe produkty, to ma wszystkie małe granice.
- Jeśli ma obiekt końcowy i pulbaki, to ma wszystkie skończone granice.
Dowód

Kategorie kartezjańsko zamknięte zdefiniowaliśmy już w Wykładzie 4., patrz Definicja 4.2. Uzupełnijmy naszą wiedzę o pojęcia pokrewne:
Definicja 8.5
- kartezjańska jeśli posiada wszystkie skończone granice;
- właściwie kartezjańsko zamknięta jeśli jest lokalnie mała, posiada wszystkie skończone granice i eksponent.
- (ko)zupełna jeśli posiada wszystkie małe (ko)granice.
Przykłady:
- Kategoria zbiorów Wnioskiem 8.4, ma wszystkie małe (ko)granice, a zatem jest (ko)zupełna. Dla mamy: ma (ko)ekwalizatory i wszystkie małe (ko)produkty. Zgodnie z powyższym
razem z projekcjami
, .- Poset Zadania 12.4 da się łatwo zmodyfikować, by wykazać tę równoważność) warunkowi, że posiada dowolne suprema. jako kategoria jest zupełny wtedy i tylko wtedy, gdy jest zupełny w sensie teorii porządku, tj. gdy posiada wszystkie infima. Ten warunek jest równoważny (dowód
- Uogólnieniem poprzedniego przykładu jest stwierdzenie: każda kategoria Zadanie 8.2. , która jest małym preporządkiem jest zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy jest kozupełna. To stwierdzenie nie pozostaje w mocy, gdy jest duża. Dalsze informacje zawiera
(Ko)granice w kategoriach funktorów
Jest znanym faktem, że jeśli
jest kratą zupełną, to zbiór wszystkich funkcji monotonicznych o kodziedzinie , uporządkowany po współrzędnych, jest również kratą zupełną. Innymi słowy, przestrzenie funkcyjne zwykle dziedziczą' strukturę z kodziedziny. To zjawisko jest uniwersalne, co pokażemy poniżej.
Twierdzenie 8.6 [(Ko)granice w kategoriach funktorów]
Dowód
. Z założenia, dla każdego diagram:
ma pewną granicę, nazwijmy ją:
Dla dowolnej strzałki
dostajemy zatem stożek nad :który faktoryzuje się przez granicę diagramu
, jak na rysunku:
Jedyność strzałki
implikuje, że oraz . To znaczy, że jest funktorem, . Co więcej, powyższy rysunek pokazuje też, że jest strzałką w . Ponieważ każda kolekcjajest stożkiem, dostajemy:

któryż to diagram komutuje dla każdego
. To znaczy, żejest stożkiem nad
.Mając dany dowolny inny stożek
nad
,jest stożkiem nad
, który w związku z tym faktoryzuje się przez stożek graniczny:
A zatem jedyność
sprawia, że jest transformacją naturalną i jedyną strzałką w , która sprawia, że poniższy diagram komutuje:
dla każdego
. A zatem pokazaliśmy, że
W szczególności, kategoria
, o której mówiliśmy już wielokrotnie, jest zupełna i kozupełna (bo jest zupełna i kozupełna). Można również udowodnić - dowód jest nietrudny, ale nie przedstawimy go podczas naszego wykładu - że jest kartezjańsko zamknięta. W tym celu musielibyśmy w końcu dokładnie pokazać dowód istnienia naturalnego izomorfizmu:dla
, czego - niestety - nie podejmiemy się tutaj.Innym wnioskiem wynikającym z dowodu powyższego twierdzenia jest:
Wniosek 8.7 [granice w kategoriach funktorów]