Teoria kategorii dla informatyków/Wykład 7: Lemat Yonedy i funktory reprezentowalne

Z Studia Informatyczne
< Teoria kategorii dla informatyków
Wersja z dnia 10:22, 25 lip 2006 autorstwa Pqw (dyskusja | edycje)
(różn.) ← poprzednia wersja | przejdź do aktualnej wersji (różn.) | następna wersja → (różn.)
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Moduł: Lemat Yonedy i funktory reprezentowalne

\label{wyklad7} Niech , , będą kategoriami. Funktor typu nazywamy bifunktorem.

Chyba najważniejszym przykładem jest tu - dla każdej kategorii lokalnie małej - bifunktor typu definiowany na obiektach jako:

oraz na morfizmach w jako:

gdzie \mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(f,g)\colon \mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(B,C)\to \mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(A,D) jest następującym morfizmem w :

Definicję dobrze ilustruje poniższy diagram:

Plik:Tk 7 1.jpg

Założenie, że jest lokalnie mała jest konieczne, gdyż w przeciwnym wypadku nie moglibyśmy twierdzić, że kodziedziną jest .

Z bifunktorem jest ściśle związany pewien funktor, który zanurza dowolną lokalnie małą kategorię w kategorię funktorów , która jest kartezjańsko zamknięta, zupełna i kozupełna, niezależnie od kształtu .

Lemat

{{{3}}}

Ponieważ kategoria jest eksponentem w kategorii , więc jest z nią stowarzyszony (bi)funktor ewaluacji (zamiast w pełni rygorystycznie będziemy w skrócie pisali ):

definiowany dla , , oraz jako:


Zauważmy, że naturalność transformacji :

Plik:Tk 7 2.jpg

pozwala nam zdefiniować działanie na strzałkach następująco:



Teraz jesteśmy przygotowani na to, aby wypowiedzieć centralny wynik tego wykładu, zaskakujący i posiadający zaskakująco wiele zastosowań w teorii kategorii.

Twierdzenie [Lemat Yonedy]

{{{3}}}

Najważniejszym wnioskiem z Lematu jest niewątpliwie stwierdzenie, że:

Wniosek

{{{3}}}

Lemat Yonedy ma często następujące zastosowanie: aby pokazać, że obiekty lokalnie małej kategorii są izomorficzne, wystarczy pokazać, że dla każdego obiektu mamy bijekcję , która spełnia warunek naturalności: dla każdej diagram

Plik:Tk 7 5.jpg

 komutuje. Dlaczego? Odpowiedź znajduje się w Zadaniu  ?. 

Jak już wspomnieliśmy, funktor Yonedy pełni rolę zanurzenia kategorii w inną kategorię , która posiada wiele przyjemnych własności (jest m.in. kartezjańsko zamknięta). Pełność funktora Yonedy dodatkowo implikuje, że każdy funktor typu da się w pewnym sensie zbudować z funktorów postaci dla , mniej więcej w taki sposób jak liczby naturalne powstają z liczb pierwszych. Uściślenie tej intuicji jest poza zasięgiem wykładu, ale spróbujmy przyjrzeć się chociaż pewnej szczególnej klasie funktorów z , tak zwanym funktorom reprezentowalnym.

Reprezentowalność funktorów

Zdarza się, że funktor jest nie tyle równy, ile izomorficzny z funktorem dla pewnego . Taka sytuacja jest arcyciekawa i zasługuje na osobną definicję:

\begin{definition} \label{mod7:def:represent} Funktor izomorficzny z dla pewnego nz. funktorem reprezentowalnym. }}

Lemat Yonedy jest tym narzędziem, które pozwala nam zrozumieć funktory reprezentowalne. Zobaczmy bowiem, że naturalny izomorfizm jest elementem zbioru , który - w myśl Lematu Yonedy - jest izomorficzny ze zbiorem . To znaczy, że transformacji odpowiada jednoznacznie element definiowany jako . Element nazywamy elementem uniwersalnym dla funktora , zaś para nazywa się reprezentacją funktora .

Reprezentacje funktorów są scharakteryzowane w sposób następujący:

Lemat

{{{3}}}

Łatwo pokazać, że każde dwie reprezentacje tego samego funktora są ze sobą izomorfizczne, patrz Zadanie  ?.

Okazuje się, że każda konstrukcja uniwersalna (np. produkt, eksponent, pulbak, itd.) da się opisać jako reprezentacja odpowiedniego funktora, co świadczy o fundamentalnym charakterze pojęcia reprezentowalności w teorii kategorii. Oto przykład:

Szablon:Example

Szablon:Example

Powyższy przykład pokazuje, że

Kategorię nazywamy kartezjańską, jeśli posiada obiekt końcowy, produkty i ekwalizatory. Jeśli jest kartezjańska i ma eksponenty, to jest kartezjańsko zamknięta. Pokażemy że, podobnie jak w przypadku produktu, posiadanie przez kategorię eksponentów jest równoważne reprezentowalności pewnego funktora.

Fakt

{{{3}}}