Teoria kategorii dla informatyków/Wykład 7: Lemat Yonedy i funktory reprezentowalne

Moduł: Lemat Yonedy i funktory reprezentowalne

\label{wyklad7} Niech $\mathbf {C}$, $\mathbf {D}$, $\mathbf {E}$ będą kategoriami. Funktor typu $\mathbf {C} \times \mathbf {D} \to \mathbf {E}$ nazywamy bifunktorem.

Chyba najważniejszym przykładem jest tu - dla każdej kategorii lokalnie małej $\mathbf {C}$ - bifunktor typu $\mathbf {C} ^{op}\times \mathbf {C} \to \mathbf {Set}$ definiowany na obiektach $A,B\in \mathbf {C} _{0}$ jako:

$(A,B)\mapsto \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(A,B)$

oraz na morfizmach $f\colon A\to B,g\colon C\to D$ w $\mathbf {C} _{1}$ jako:

$(f,g)\mapsto \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(f,g),$

gdzie \mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(f,g)\colon \mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(B,C)\to \mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(A,D) jest następującym morfizmem w $\mathbf {E}$:

$h\colon B\to C\ \mapsto \ g\circ h\circ f.$

Definicję dobrze ilustruje poniższy diagram:

Założenie, że $\mathbf {C}$ jest lokalnie mała jest konieczne, gdyż w przeciwnym wypadku nie moglibyśmy twierdzić, że kodziedziną $\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }$ jest $\mathbf {Set}$.

Z bifunktorem $\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }$ jest ściśle związany pewien funktor, który zanurza dowolną lokalnie małą kategorię $\mathbf {C}$ w kategorię funktorów $[\mathbf {C} ^{op},\mathbf {Set} ]$, która jest kartezjańsko zamknięta, zupełna i kozupełna, niezależnie od kształtu $\mathbf {C}$.

Lemat

{{{3}}}

Ponieważ kategoria $[\mathbf {C} ^{op},\mathbf {Set} ]$ jest eksponentem w kategorii $\mathbf {Cat}$, więc jest z nią stowarzyszony (bi)funktor ewaluacji (zamiast w pełni rygorystycznie $\mathrm {ev} _{[\mathbf {C} ^{op},\mathbf {Set} ],\mathbf {C} ^{op}}$ będziemy w skrócie pisali $\mathrm {ev} _{\mathbf {C} ^{op}}$):

$\mathrm {ev} _{\mathbf {C} ^{op}}\colon [\mathbf {C} ^{op},\mathbf {Set} ]\times \mathbf {C} ^{op}\to \mathbf {Set}$

definiowany dla $F,G\in [\mathbf {C} ^{op},\mathbf {Set} ]_{0}$, $X,Y\in \mathbf {C}$, $f\colon X\to Y\in \mathbf {C} _{1}$ oraz $\phi \colon F\to G$ jako:

$\mathrm {ev} _{\mathbf {C} ^{op}}(F,X)=F(X)$

$\mathrm {ev} _{\mathbf {C} ^{op}}(\phi ,f)=F(Y){\stackrel {F(f)}{\to }}F(X){\stackrel {\phi _{X}}{\to }}G(X).$

Zauważmy, że naturalność transformacji $\phi$:

pozwala nam zdefiniować działanie $\mathrm {ev} _{\mathbf {C} ^{op}}$ na strzałkach następująco:

$\mathrm {ev} _{\mathbf {C} ^{op}}(\phi ,f)=F(Y){\stackrel {\phi _{Y}}{\to }}G(Y){\stackrel {G(f)}{\to }}G(X).$

Teraz jesteśmy przygotowani na to, aby wypowiedzieć centralny wynik tego wykładu, zaskakujący i posiadający zaskakująco wiele zastosowań w teorii kategorii.

Twierdzenie [Lemat Yonedy]

{{{3}}}

Najważniejszym wnioskiem z Lematu jest niewątpliwie stwierdzenie, że:

Wniosek

{{{3}}}

Lemat Yonedy ma często następujące zastosowanie: aby pokazać, że obiekty $A,B\in \mathbf {C} _{0}$ lokalnie małej kategorii $\mathbf {C}$ są izomorficzne, wystarczy pokazać, że dla każdego obiektu $X\in \mathbf {C} _{0}$ mamy bijekcję $\alpha _{X}\colon \mathrm {Hom} (X,A)\to \mathrm {Hom} (X,B)$, która spełnia warunek naturalności: dla każdej $g\colon X\to Z$ diagram

 komutuje. Dlaczego? Odpowiedź znajduje się w Zadaniu  ?. 

Jak już wspomnieliśmy, funktor Yonedy pełni rolę zanurzenia kategorii $\mathbf {C}$ w inną kategorię $[\mathbf {C} ^{op},\mathbf {Set} ]$, która posiada wiele przyjemnych własności (jest m.in. kartezjańsko zamknięta). Pełność funktora Yonedy dodatkowo implikuje, że każdy funktor typu $\mathbf {C} ^{op}\to \mathbf {Set}$ da się w pewnym sensie zbudować z funktorów postaci ${\mathcal {Y}}(X)$ dla $X\in \mathbf {C} _{0}$, mniej więcej w taki sposób jak liczby naturalne powstają z liczb pierwszych. Uściślenie tej intuicji jest poza zasięgiem wykładu, ale spróbujmy przyjrzeć się chociaż pewnej szczególnej klasie funktorów z $[\mathbf {C} ^{op},\mathbf {Set} ]$, tak zwanym funktorom reprezentowalnym.

Reprezentowalność funktorów

Zdarza się, że funktor $F\colon \mathbf {C} ^{op}\to \mathbf {Set}$ jest nie tyle równy, ile izomorficzny z funktorem ${\mathcal {Y}}(X)$ dla pewnego $X\in \mathbf {C} _{0}$. Taka sytuacja jest arcyciekawa i zasługuje na osobną definicję:

\begin{definition} \label{mod7:def:represent} Funktor $F\colon \mathbf {C} ^{op}\to \mathbf {Set}$ izomorficzny z ${\mathcal {Y}}(X)$ dla pewnego $X\in \mathbf {C} _{0}$ nz. funktorem reprezentowalnym. }}

Lemat Yonedy jest tym narzędziem, które pozwala nam zrozumieć funktory reprezentowalne. Zobaczmy bowiem, że naturalny izomorfizm $\phi \colon {\mathcal {Y}}(X){\stackrel {\cong }{\to }}F$ jest elementem zbioru $[\mathbf {C} ^{op},\mathbf {Set} ]({\mathcal {Y}}(X),F)$, który - w myśl Lematu Yonedy - jest izomorficzny ze zbiorem $F(X)$. To znaczy, że transformacji $\phi$ odpowiada jednoznacznie element $e\in F(X)$ definiowany jako $e:=b(\phi )$. Element $e$ nazywamy elementem uniwersalnym dla funktora $F$, zaś para $(X,e)$ nazywa się reprezentacją funktora $F$.

Reprezentacje funktorów są scharakteryzowane w sposób następujący:

Lemat

{{{3}}}

Łatwo pokazać, że każde dwie reprezentacje tego samego funktora są ze sobą izomorfizczne, patrz Zadanie  ?.

Okazuje się, że każda konstrukcja uniwersalna (np. produkt, eksponent, pulbak, itd.) da się opisać jako reprezentacja odpowiedniego funktora, co świadczy o fundamentalnym charakterze pojęcia reprezentowalności w teorii kategorii. Oto przykład:

Powyższy przykład pokazuje, że $U(G)\cong \mathrm {Hom} _{\mathbf {Grp} }(\mathbb {Z} ,G)$

Kategorię $\mathbf {C}$ nazywamy kartezjańską, jeśli posiada obiekt końcowy, produkty i ekwalizatory. Jeśli $\mathbf {C}$ jest kartezjańska i ma eksponenty, to jest kartezjańsko zamknięta. Pokażemy że, podobnie jak w przypadku produktu, posiadanie przez kategorię eksponentów jest równoważne reprezentowalności pewnego funktora.

Fakt

{{{3}}}