Teoria kategorii dla informatyków/Test 5: Funktory i transformacje naturalne

Funktory tego samego typu wraz z ich transformacjami naturalnymi tworzą kategorię.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

$\displaystyle \mathbf {Top}$ jest konkretna.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

$\displaystyle \mathbf {Rel}$ jest konkretna.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Funktor $\displaystyle \mathrm {List} \colon \mathbf {Set} \to \mathbf {Mon}$ zachowuje koprodukty.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Funktor $\displaystyle \mathrm {List} \colon \mathbf {Set} \to \mathbf {Mon}$ zachowuje obiekt końcowy.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Funktor $\displaystyle \mathrm {List} \colon \mathbf {Set} \to \mathbf {Mon}$ zachowuje obiekt początkowy.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Funktor zapominania $\displaystyle \mathbf {Top} \to \mathbf {Set}$ jest pełny.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Kontrawariantny funktor potęgowy jest pełny.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Każda rama jest algebrą Heytinga.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Operacja przypisująca danej przestrzeni topologicznej jej zbiory otwarte może być rozszerzona do funktora kontrawariantnego.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Kontrawariantny funktor potęgowy jest zawsze wierny.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Transformacja naturalna dwóch funktorów, której komponentami są izomorfizmy jest izomorfizmem w pewnej kategorii funktorów.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Istnieją dwa funktory, których złożenie jest transformacją identycznościową w $\displaystyle \mathbf {Set}$, ale które nie są izomorficzne.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Operacja, która przestrzeni wektorowej $\displaystyle V$ przypisuje jej przestrzeń podwójnie dualną $\displaystyle V^{**}$ jest naturalnym izomorfizmem.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Operacja, która przestrzeni wektorowej $\displaystyle V$ przypisuje jej przestrzeń podwójnie dualną $\displaystyle V^{**}$ jest naturalnym izomorfizmem, o ile $\displaystyle V$ jest skończenie wymiarowa.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Kowariantny homfunktor zachowuje produkty dowolnej mocy.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Dla dowolonych zbiorów $\displaystyle X,Y$ istnieje następująca bijekcja:
$\displaystyle {\mathcal {P}}(X\times Y)\cong {\mathcal {P}}(X)\times {\mathcal {P}}(Y)$.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Operacja $\displaystyle F\colon \mathbf {C} \times \mathbf {D} \to \mathbf {E}$ jest bifunktorem wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych obiektów $\displaystyle C\in \mathbf {C} _{0}$, $\displaystyle D\in \mathbf {D} _{0}$ operacje $\displaystyle F(C,-)\colon \mathbf {D} \to \mathbf {E}$ oraz $\displaystyle F(-,D)\colon \mathbf {C} \to \mathbf {E}$ są funktorami.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Inkluzja $\displaystyle \mathbf {Grp} \to \mathbf {Cat}$ zachowuje eksponenty.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze