Teoria kategorii dla informatyków/Test 15: Algebry i koalgebry endofunktorów

Koalgebrą funktora $\displaystyle T\colon \mathbf {Set} \to \mathbf {Set}$ jest każda para $\displaystyle (X,a\colon TX\to X)$.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Algebry początkowe endofunktorów w $\displaystyle \mathbf {Set}$ są jedyne z dokładnością do izomrfizmu.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Istnieje kategoria, w której para $\displaystyle (\mathbb {N} ,[0,s]\colon \mathbf {1} +\mathbb {N} \to \mathbb {N} )$ jest obiektem końcowym.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Nieskończone listy nad alfabetem $\displaystyle A$ są koalgebrą końcową pewnego endofunktora na $\displaystyle \mathbf {Set}$.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Nieskończone listy nad alfabetem $\displaystyle A$ są koalgebrą początkową pewnego endofunktora na $\displaystyle \mathbf {Set}$.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Każda bisymulacja jest bipodobieństwem, ale nie odwrotnie.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Dwie nieskończone listy będące w relacji bisymulacji muszą być sobie równe.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Dwie bipodobne nieskończone listy są sobie równe.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Istnieje bipodobieństwo, które nie jest bisymulacją.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Koindukcja jest metodą dowodzenia własności list nieskończonych.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Metoda dowodzenia przez koindukcję opiera się na własności uniwersalnej algebr początkowych endofunktorów w $\displaystyle \mathbf {Set}$.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Relacja odwrotna do bisymulacji jest bipodobieństwem.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

$\displaystyle T$-koalgebry dla ustalonego funktora $\displaystyle T\colon \mathbf {Set} \to \mathbf {Set}$ wraz z homomorfizmami tworzą kategorię małą.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Graf homomorfizmu dwóch dowolnych koalgebr jest bipodobieństwem.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Graf homomorfizmu dwóch dowolnych koalgebr jest bisymulacją.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Istnieją endofunktory w $\displaystyle \mathbf {Set}$, dla których kategoria algebr nie posiada obiektu początkowego.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Dla każdego endofunktora $\displaystyle T$ w $\displaystyle \mathbf {Set}$ kategoria $\displaystyle T$-koalgebr posiada obiekt końcowy.

Prawda Źle

Fałsz Dobrze

Zasada indukcji matematycznej na liczabch naturalnych jest równoważna faktowi, że liczby naturalne wraz z elementem zero i funkcją następnika tworzą algebrę początkową endofunktora $\displaystyle \mathbf {1} +(-)$ w $\displaystyle \mathbf {Set}$.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Każda $\displaystyle T$-algebra początkowa jest izomorfizmem.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle

Każda $\displaystyle T$-koalgebra końcowa jest izomorfizmem.

Prawda Dobrze

Fałsz Źle