Teoria kategorii dla informatyków/Wykład 7: Lemat Yonedy i funktory reprezentowalne
Lemat Yonedy
Niech
, , będą kategoriami. Funktor typu nazywamy bifunktorem.Chyba najważniejszym przykładem jest tu - dla każdej kategorii lokalnie małej
- bifunktor typu definiowany na obiektach jako:oraz na morfizmach
w jako:gdzie
jest następującym morfizmem w :Definicję dobrze ilustruje poniższy diagram:

Założenie, że
jest lokalnie mała jest konieczne, gdyż w przeciwnym wypadku nie moglibyśmy twierdzić, że kodziedziną jest .Z bifunktorem
jest ściśle związany pewien funktor, który zanurza dowolną lokalnie małą kategorię w kategorię funktorów , która jest kartezjańsko zamknięta, zupełna i kozupełna, niezależnie od kształtu .
Lemat 7.1 [funktor Yonedy]
oraz dla
:jest transformacją naturalną daną przez komponenty:
jest funktorem, nazywanym funktorem Yonedy.
Z kategorią
jest stowarzyszony pewnien funktor, tzw. (bi)funktor ewaluacji (zamiast w pełni rygorystycznie będziemy w skrócie pisali ):definiowany dla
, , oraz jako:Zauważmy, że naturalność transformacji
:
pozwala nam zdefiniować działanie
na strzałkach następująco:Teraz jesteśmy przygotowani na to, aby wypowiedzieć centralny wynik tego wykładu, zaskakujący i posiadający zaskakująco wiele zastosowań w teorii kategorii.
Twierdzenie 7.2 [Lemat Yonedy]
Niech
będzie lokalnie małą kategorią, . Wówczas w istnieje bijekcja:która jest naturalna ze względu na
i na .
jest obiektową częścią funktora typu
. Druga część lematu wyjaśnia, że ten bifunktor jest naturalnie izomorficzny z bifunktorem ewaluacji.Dowód
Z drugiej strony, dla dowolnego elementu
zbioru , musimy zdefiniować transformację naturalną - nazwijmy ją , której -ty komponent będzie typu . Połóżmy więc:Rzeczywiście, tak zdefiniowana operacja jest transformacją naturalną, gdyż dla dowolnej strzałki
w diagram:
komutuje.
Pokażemy teraz, że funkcje
i są do siebie odwrotne (tzn. tworzą bijekcję). Mamy (wykorzystaliśmy fakt, że funktory zachowują identyczności). Po drugie, , gdzie w kluczowym momencie (w przedostatniej równości) wykorzystaliśmy naturalność transformacji . A to oznacza, że , co dowodzi, że jest bijekcją z odwrotnością . Część pierwsza lematu jest więc wykazana i pozostaje nam jeszcze przekonać się o naturalności bijekcji , tzn. niezależności od wyboru i .Niech
oraz . Wówczas diagram:
komutuje, co sprawdzamy następująco (pierwsza równość wynika z naturalności
):
Najważniejszym wnioskiem z lematu jest niewątpliwie stwierdzenie, że:
Wniosek 7.3
Funktor Yonedy jest pełny i wierny.
Dowód
Wyciągamy więc wniosek, że
, czyli, że funkcje są w bijekcji z funkcjami typu .
Lemat Yonedy ma często następujące zastosowanie: aby pokazać, że obiekty lokalnie małej kategorii są izomorficzne, wystarczy pokazać, że dla każdego obiektu mamy bijekcję , która spełnia warunek naturalności: dla każdej diagram:

komutuje. Dlaczego? Odpowiedź znajduje się w Zadaniu 7.2.
Jak już wspomnieliśmy, funktor Yonedy pełni rolę zanurzenia kategorii
w inną kategorię , która posiada wiele przyjemnych własności (jest m.in. kartezjańsko zamknięta). Pełność funktora Yonedy dodatkowo implikuje, że każdy funktor typu da się w pewnym sensie zbudować z funktorów postaci dla , mniej więcej w taki sposób jak liczby naturalne powstają z liczb pierwszych. Uściślenie tej intuicji jest poza zasięgiem wykładu, ale spróbujmy przyjrzeć się chociaż pewnej szczególnej klasie funktorów z , tak zwanym funktorom reprezentowalnym.Reprezentowalność funktorów
Zdarza się, że funktor
jest nie tyle równy, ile izomorficzny z funktorem dla pewnego . Taka sytuacja jest arcyciekawa i zasługuje na osobną definicję:
Definicja 7.4 [funktor reprezentowalny]
Lemat Yonedy jest tym narzędziem, które pozwala nam zrozumieć funktory reprezentowalne. Zobaczmy bowiem, że naturalny izomorfizm jest elementem zbioru , który - w myśl lematu Yonedy - jest izomorficzny ze zbiorem . To znaczy, że transformacji odpowiada jednoznacznie element definiowany jako . Element nazywamy elementem uniwersalnym dla funktora , zaś para nazywa się reprezentacją funktora .
Reprezentacje funktorów są scharakteryzowane w sposób następujący:
Lemat 7.5
- ;
- Dla każdego istnieje dokładnie jeden morfizm taki, że .
Dowód
oznacza, że dla każdego obiektu mamy bijekcję (przy oznaczeniach z lematu Yonedy ta bijekcja nazywa się ), co w takim razie możemy przeczytać tak, że dla dowolnego elementu istnieje dokładnie jeden element (funkcja) taki, że , co należało wykazać.Łatwo pokazać, że każde dwie reprezentacje tego samego funktora są ze sobą izomorficzne, patrz Zadanie 7.5.
Okazuje się, że każda konstrukcja uniwersalna (np. produkt, eksponent, pulbak, itd.) da się opisać jako reprezentacja odpowiedniego funktora, co świadczy o fundamentalnym charakterze pojęcia reprezentowalności w teorii kategorii. Oto przykład:
Przykład 7.6 [Produkt]
Sprawdzimy, że produkt wraz z projekcjami
jest reprezentacją funktora .Niech
. Produkt jest reprezentacją wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje dokładnie jedna taka para morfizmów taka, że:
Ta ostatnia równość jest równoważna kolejno:
wtedy i tylko wtedy, gdy:
wtedy i tylko wtedy, gdy:
ale ta równość jest prawdziwa, bo, z definicji produktu, para jest wyznaczona jednoznacznie (i jest równa ).
Przykład 7.7
Dowód

Powyższy przykład pokazuje, że
Kategorię
nazywamy kartezjańską, jeśli posiada obiekt końcowy, produkty i ekwalizatory. Jeśli jest kartezjańska i ma eksponenty, to jest kartezjańsko zamknięta. Pokażemy, że, podobnie jak w przypadku produktu, posiadanie przez kategorię eksponentów jest równoważne reprezentowalności pewnego funktora.
Fakt 7.8
Lokalnie mała i kartezjańska kategoria
jest kartezjańsko zamknięta wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary obiektów funktor jest reprezentowalny.Dowód
Zauważmy po pierwsze, że
, czyli ma rzeczywiście typ . Dalej, zgodnie z definicją jest elementem uniwersalnym jeśli dla każdego morfizmu istnieje dokładnie jeden morfizm (oznaczmy go jak zwykle ) taki, że . Musimy teraz już tylko rozszyfrować znaczenie ostatniego równania:a zatem ostatnie powyższe równanie to:
co przekłada się dokładnie na komutowanie znanego już diagramu:

To kończy nasz dowód.
