Teoria kategorii dla informatyków/Wykład 3: Zasada dualności i proste konstrukcje uniwersalne

Kilkakrotnie podczas naszych wykładów pojawiła się dualność, która - jak wyjaśniliśmy w Definicji 2.3 - polega na tym, że dla dowolnej kategorii $\mathbf {C}$ możemy zbudować kategorię $\mathbf {C} ^{op}$ poprzez odwrócenie kierunku strzałek i wszelkie własności $\mathbf {C}$ mają swoje odbicie we własnościach $\mathbf {C} ^{op}$. Ta intuicja jest bardzo pomocna, więc warto precyzyjnie i systematycznie zbadać pojęcie dualności w teorii kategorii, które - na pierwszy rzut oka - trywialne, ma daleko idące konsekwencje: każde udowodnione twierdzenie ma swój dualny odpowiednik, równie ciekawy jak oryginalny, którego dowód dostajemy za darmo, zgodnie z zasadą dualności.

Zasada dualności

Przypomnijmy formalną definicję kategorii: składa się ona z obiektów: $A,B,...$, morfizmów: $f,g,...$, czterech operacji $\mathrm {dom} ,\mathrm {cod} ,\circ ,1$, które podlegają siedmiu aksjomatom: $\mathrm {dom} (1_{A})=A$, $\mathrm {cod} (1_{A})=A$, $f\circ 1_{\mathrm {dom} (f)}=f$, $1_{\mathrm {cod} (f)}\circ f=f$, $\mathrm {dom} (g\circ f)=\mathrm {dom} (f)$, $\mathrm {cod} (g\circ f)=\mathrm {cod} (g)$, $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$, przy czym $g\circ f$ jest zdefiniowane tylko jeśli $\mathrm {dom} (g)=\mathrm {cod} (f)$, więc w rzeczywistości trzy ostatnie aksjomaty powinny być zastąpione przez implikacje, np. $\mathrm {dom} (g\circ f)=\mathrm {dom} (f)$ to w rzeczywistości $\mathrm {dom} (g)=\mathrm {cod} (f)\Rightarrow \mathrm {dom} (g\circ f)=\mathrm {dom} (f)$. Niech CT będzie zdaniem, które oznacza koniunkcję wszystkich siedmiu aksjomatów w ich pełnej wersji.

Powiemy, że zdanie $\Sigma$ jest wyrażone w elementarnym języku teorii kategorii, jeśli w $\Sigma$ jest poprawnie zbudowanym wyrażeniem mówiącym jedynie o obiektach, morfizmach i operacjach $\mathrm {dom}$, $\mathrm {cod}$, $\circ$, $1$. Na przykład CT jest wyrażone w elementarnym języku teorii kategorii.

Dla dowolnego takiego zdania elementarnego $\Sigma$ możemy utworzyć elementarne zdanie dualne $\Sigma ^{*}$, dokonując następującej zamiany:

$f\circ g\ \mathrm {na} \ g\circ f,$ $\mathrm {cod} \ \mathrm {na} \ \mathrm {dom} ,$ $\mathrm {dom} \ \mathrm {na} \ \mathrm {cod} .$

Widzimy, że wówczas $\Sigma ^{*}$ jest poprawnie zbudowanym wyrażeniem. Przypuśćmy zatem, że ze zdania $\Sigma$ wynika inne elementarne zdanie $\Delta$ bez użycia aksjomatów teorii kategorii. Wtedy ze zdania $\Sigma ^{*}$ wynika $\Delta ^{*}$. Ale aksjomaty teorii kategorii są samodualne: CT= CT${}^{*}$. To znaczy, że następujące metastwierdzenie jest prawdziwe:

Fakt 3.1 [formalna zasada dualności]

Dla dowolnego zdania elementarnego $\Sigma$ w języku teorii kategorii, które wynika z aksjomatów teorii kategorii, również $\Sigma ^{*}$ wynika z aksjomatów teorii kategorii.

To znaczy również, że każda interpretacja zdania $\Sigma$ w kategorii $\mathbf {C}$ daje interpretację zdania $\Sigma ^{*}$ w $\mathbf {C} ^{op}$. Ponieważ jednak $(\mathbf {C} ^{op})^{op}=\mathbf {C}$, dostajemy:

Fakt 3.2 [zasada dualności]

Jeśli zdanie $\Sigma$ jest prawdziwe w każdej kategorii, to $\Sigma ^{*}$ również jest prawdziwe w dowolnej kategorii.

Dowód

Skoro $\Sigma$ jest prawdziwe w każdej kategorii $\mathbf {C}$, to jest prawdziwe w każdej kategorii $\mathbf {C} ^{op}$. Stąd wynika, że $\Sigma ^{*}$ jest prawdziwe w $(\mathbf {C} ^{op})^{op}$, czyli w $\mathbf {C}$.

Produkt i koprodukt

Naszym zadaniem jest teraz zaproponowanie takiej definicji produktu obiektów kategorii, aby wszystkie znane pojęcia: produktu zbiorów, produktu grup, produktu przestrzeni wektorowych, produktu częściowych porządków, i tak dalej, stały się szczególnym przypadkiem naszej propozycji. Czy to możliwe? Okazuje się, że tak! Ta możliwość jest odbiciem bardzo ważnej własności pojęcia produktu: własności uniwersalnej. Własność ta jest wyrażona w języku strzałek i mówi, że produkt jest zdefiniowany z dokładnością do izomorfizmu, tzn. jest to taki obiekt, który jest izomorficzny z każdym możliwym dobrym kandydatem na produkt. Rozważmy najpierw produkt w $\mathbf {Set}$, którego obserwacja wskaże nam sposób, w jaki najlepiej sformułować własność uniwersalną produktu i podać definicję kategoryjną, niezależną od specyfiki kategorii zbiorów $\mathbf {Set}$. Często będziemy pracować w ten właśnie sposób: podglądamy jak dana konstrukcja uniwersalna wygląda dla zbiorów (bo tam mamy najlepsze intuicje), potem wyciągamy wnioski ogólne, a na końcu testujemy nasze kategoryjne definicje na dalszych przykładach.

Niech $A,B$ będą zbiorami. Teoria mnogości definiuje ich produkt jako następujący zbiór par uporządkowanych:

$A\times B:=\{(a,b)\mid a\in A\wedge b\in B\}.$

Produkt zbiorów możemy zdekonstruować za pomocą projekcji:

$A{\stackrel {\pi _{A}}{\longleftarrow }}A\times B{\stackrel {\pi _{B}}{\longrightarrow }}B,$

gdzie $\pi _{A}((a,b)):=a$ i $\pi _{B}((a,b)):=b$. Użyliśmy słowa dekonstrukcja nieprzypadkowo: informatykowi, który przecież zna podstawy programowania obiektowego, wygodnie będzie myśleć o produkcie $A\times B$ jako o obiekcie wyposażonym w destruktory $\pi _{A},\pi _{B}$, pozwalające z informacji zawartych w produkcie wydobyć informację o jego składowych. Ta dekonstrukcja przebiega w sposób bardzo porządny, odwracalny, ponieważ dla każdego $c\in A\times B$ mamy $c=(\pi _{A}(c),\pi _{B}(c))$. To równanie jest niezwykle ważne, gdyż wskazuje na własność uniwersalną produktu: poniższy diagram komutuje:

gdzie $\mathbf {1}$ oznacza obiekt końcowy w $\mathbf {Set}$. Ten diagram czytamy oczywiście tak: dla dowolnych elementów $a\colon \mathbf {1} \to A$, $b\colon \mathbf {1} \to B$ istnieje dokładnie jeden element $(a,b)\colon \mathbf {1} \to A\times B$ taki, że $\pi _{A}\circ (a,b)=a$ i $\pi _{B}\circ (a,b)=b$. Jeśli teraz zastąpimy elementy przez elementy uogólnione (patrz ten podrozdział), dostajemy:

Definicja 3.3 [produkt]

Niech $\mathbf {C}$ będzie dowolną kategorią, zaś $A,B\in \mathbf {C} _{0}$ jej obiektami. Produktem obiektów $A$ i $B$ nazywamy obiekt $A\times B\in \mathbf {C} _{0}$ wraz ze strzałkami $p_{A}\colon A\times B\to A\in \mathbf {C} _{1}$ i $p_{B}\colon A\times B\to B\in \mathbf {C} _{1}$:

$A{\stackrel {p_{A}}{\longleftarrow }}A\times B{\stackrel {p_{B}}{\longrightarrow }}B,$

który posiada następującą własność uniwersalną:

Dla dowolnego diagramu:

$A{\stackrel {f}{\longleftarrow }}X{\stackrel {g}{\longrightarrow }}B,$

w kategorii $\mathbf {C}$, istnieje dokładnie jedna strzałka $h\colon X\to A$ taka, że $f=p_{A}\circ h$ i $g=p_{B}\circ h$ (czyli taka, że poniższy diagram komutuje).

Taką strzałkę $h$ oznaczamy zwyczajowo $(f,g)$.

Fakt 3.4

Produkt jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu.

Dowód

Niech $A{\stackrel {p_{A}}{\longleftarrow }}P{\stackrel {p_{B}}{\longrightarrow }}B,$ $A{\stackrel {q_{A}}{\longleftarrow }}Q{\stackrel {q_{B}}{\longrightarrow }}B$

będą dwoma produktami $A$ i $B$. Wówczas poniższy diagram komutuje:

ponieważ wszystkie trzy jego części komutują (a przyczyną tego jest dokładnie po trzykroć definicja produktu):

To znaczy, że $k\circ h=1_{P}$. Zamieniając miejscami na diagramach role $P$ i $Q$, otrzymamy również zależność $h\circ k=1_{Q}$, co świadczy o tym, że $P$ i $Q$ są izomorficzne: $P\cong Q$.

Przykłady:

• W zbiorach z dodatkową strukturą, jak np. grupy czy monoidy, produkt konstruuje się, biorąc produkt zbiorów podkładowych wraz z operacjami po współrzędnych; np. produktem dwóch grup $(G,\cdot ,e_{G})$, $(H,\cdot ,e_{H})$ jest zbiór $G\times H$ wraz z działaniami:

$(g,h)\cdot (g',h'):=(g\circ g',h\circ h')$

i elementem neutralnym $e:=(e_{G},e_{H})$. Projekcje to homomorfizmy $(g,h)\mapsto g$ i $(g,h)\mapsto h$.

• Kategoria $\mathbf {Cat}$ posiada produkty, to znaczy: dla dowolnych dwóch małych kategorii $\mathbf {C}$, $\mathbf {D}$ istnieje ich produkt $\mathbf {C} \times \mathbf {D}$. Obiektami są uporządkowane pary obiektów z $\mathbf {C}$ i $\mathbf {D}$, morfizmami - uporządkowane pary morfizmów z $\mathbf {C}$ i $\mathbf {D}$ projekcjami funktory $P_{\mathbf {C} }\colon \mathbf {C} \times \mathbf {D} \to \mathbf {C}$ oraz $P_{\mathbf {D} }\colon \mathbf {C} \times \mathbf {D} \to \mathbf {D}$ dane jako:

$P_{\mathbf {C} }((C,D)):=C$ $P_{\mathbf {C} }((f,g)):=f$ $P_{\mathbf {D} }((C,D)):=D$ $P_{\mathbf {D} }((f,g)):=g$

dla $C\in \mathbf {C} _{0},D\in \mathbf {D} _{0},f\in \mathbf {C} _{1},g\in \mathbf {D} _{1}$. Sprawdzenie, że taka definicja daje nam produkt jest bardzo łatwe - wszystko dzieje się tak, jak w $\mathbf {Set}$.

• W Zadaniu 1.11 zdefiniowaliśmy kategorię typów $\mathbf {C} (\lambda )$ dla $\lambda$-rachunku. Ta kategoria posiada produkty, to znaczy: każde dwa obiekty tej kategorii posiadają produkt. Przekonajmy się o tym. Rzeczywiście, mając dane typy $A$ i $B$, definiujemy:

$p_{A}:=\lambda z.\pi _{1}(z),$ $p_{B}:=\lambda z.\pi _{2}(z).$

Mając dane $a$ i $b$ jak na diagramie:

definiujemy

$(a,b):=\lambda x.\langle ax,bx\rangle .$

Sprawdźmy, że diagram rzeczywiście komutuje:

$p_{A}\circ (a,b)=\lambda x.p_{A}((\lambda y.\langle ay,by\rangle )x)=\lambda x.p_{A}\langle ax,bx\rangle =\lambda x.ax=a$

i podobnie $p_{B}\circ (a,b)=b$. Jeśli teraz $c\colon X\to A\times B$ również spełnia $p_{A}\circ c=a$ i $p_{B}\circ c=b$, to wtedy:

$(a,b)=\lambda x.\langle ax,bx\rangle =\lambda x.\langle (p_{A}\circ c)x,(p_{B}\circ c)x\rangle =\lambda x.\langle \lambda y.(p_{A}(cy))x,\lambda y.(p_{B}(cy))x\rangle =\lambda x.\langle \lambda y.((\lambda z.\pi _{1}(z))(cy))x,\lambda y.((\lambda z.\pi _{2}(z))(cy))x\rangle =\lambda x.\langle \lambda y.(\pi _{1}(cy))x,\lambda y.(\pi _{2}(cy))x\rangle =\lambda x.\langle \pi _{1}(cx),\pi _{2}(cx)\rangle =\lambda x.cx=c.$

Wykazaliśmy więc, że kategoria $\mathbf {C} (\lambda )$ ma produkty.

Jeszcze jeden przykład znajduje się w Zadaniu 3.1.

Dzięki zasadzie dualności, definicję i własności obiektu dualnego do produktu, tzw. koproduktu dostajemy za darmo (porównaj bardzo dokładnie(!) z Definicją 3.3):

Definicja 3.5 [koprodukt]

Niech $\mathbf {C}$ będzie dowolną kategorią, zaś $A,B\in \mathbf {C} _{0}$ jej obiektami. Koproduktem obiektów $A$ i $B$ nazywamy obiekt $A+B\in \mathbf {C} _{0}$ wraz ze strzałkami $i_{A}\colon A\to A+B\in \mathbf {C} _{1}$ i $i_{B}\colon B\to A+B\in \mathbf {C} _{1}$:

$A{\stackrel {i_{A}}{\longrightarrow }}A+B{\stackrel {i_{B}}{\longleftarrow }}B,$

który posiada następującą własność uniwersalną:

Dla dowolnego diagramu:

$A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}X{\stackrel {g}{\longleftarrow }}B,$

w kategorii $\mathbf {C}$, istnieje dokładnie jedna strzałka $h\colon A+B\to X$ taka, że $f=h\circ i_{A}$ i $g=h\circ i_{B}$ (czyli taka, że poniższy diagram komutuje). Strzałkę $h$ oznaczmy zwyczajowo jako $[f,g]$.

Stwierdzenie dualne do Faktu 3.4 mówi nam, że koprodukt jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu! Omówienie koproduktu w $\mathbf {Set}$ jest przedmiotem Zadania 3.2.

Ekwalizator i koekwalizator

Definicja 3.6 [ekwalizator]

Dla dwóch równoległych strzałek $f,g\colon A\to B$ w kategorii $\mathbf {C}$, ich ekwalizatorem nazywamy obiekt $E$ wraz ze strzałką $e\colon E\to A$, która:

• ekwalizuje $f$ i $g$, tzn. $f\circ e=g\circ e$ oraz
• jest uniwersalna, tzn. dla dowolnej strzałki $z\colon Z\to A$, takiej że $f\circ z=g\circ z$, istnieje dokładnie jedna strzałka $u\colon Z\to E$ taka, że $e\circ z=u$, tzn. taka, że poniższy diagram komutuje:

W $\mathbf {Set}$ ekwalizatorem dwóch funkcji $f,g\colon A\to B$ musi być zbiór, na którym funkcje się zgadzają, więc zgadujemy, że $E:=\{x\in A\mid f(x)=g(x)\}$. Z takim zbiorem w oczywisty sposób jest związana inkluzja $e\colon E\to A$, $e(x):=x$ dla $x\in E$. Pokażmy, że $(E,e)$ jest ekwalizatorem.

Niech $Z$ będzie dowolnym zbiorem z funkcją $z\colon Z\to A$ tak, że $f\circ z=g\circ z$. Wtedy $z(w)\in E$ dla każdego $w\in Z$. Ale to oznacza, że $z$ faktoryzuje się przez $E$. Ta faktoryzacja jest jednoznaczna, bo $e$ jest mono (jeśli $e\circ u=z$ i $e\circ u'=z$, to $e\circ u=e\circ u'$, stąd mono implikuje $u=u'$).

To nie przypadek, że $e$ jest monomorfizmem:

Fakt 3.7

Każdy ekwalizator jest monomorfizmem.

Dowód

Rozważmy diagram:

gdzie zakładamy, że $e$ ekwalizuje $f,g$ oraz $e\circ x=e\circ y$. Ponieważ $e\circ x$ jest typu $Z\to A$ oraz $f\circ (e\circ x)=(f\circ e)\circ x=(g\circ e)\circ x=g\circ (e\circ x)$, więc z własności uniwersalnej $e$ wynika, że istnieje dokładnie jedna strzałka $u\colon Z\to E$ taka, że $e\circ u=e\circ x$. Jako $u$ da się podstawić zarówno $x$ jak i $y$ i ostatnie równanie pozostanie prawdziwe, więc musi być $x=y$. To kończy dowód, że $e$ jest mono.

W innych kategoriach, jak $\mathbf {Top}$, $\mathbf {Pos}$, $\mathbf {Mon}$ ekwalizatorem jest zbiór strzałek $f,g\colon A\to B$ jest podzbiór $E=\{x\in A\mid f(x)=g(x)\}$ zbioru $A$ wraz ze strukturą dziedziczoną z $A$, zawężoną do $E$ (np. w $\mathbf {Top}$, zbiór $E$ dostaje topologię podprzestrzeni).

Pojęciem dualnym do ekwalizatora jest koekwalizator. Co ciekawe - koekwalizatory są uogólnieniem pojęcia przestrzeni ilorazowej i odwzorowania ilorazowego przypisującego elementowi jego klasę abstrakcji.

Definicja 3.8

Koekwalizatorem pary strzałek $f,g\colon A\to B$ nazywamy taki obiekt $Q$ wraz ze strzałką $q\colon B\to A$, która:

• koekwalizuje $f,g$, tzn. $q\circ f=q\circ g$ oraz
• jest uniwersalna, tzn. dla dowolnej strzałki $z\colon B\to Z$, która koekwalizuje: $z\circ f=z\circ g$, istnieje dokładnie jednak strzałka $u\colon Q\to Z$ taka, że $u\circ q=z$.

Dualność wraz z Faktem 3.7 implikują, że koekwalizator jest zawsze epimorfizmem. Sztandarowym przykładem koekwalizatora w $\mathbf {Set}$ jest koekwalizator typu

gdzie $R\subseteq X\times X$ jest relacją równoważności na $X$, zaś $p_{1},p_{2}$ są projekcjami. Koekwalizatorem jest wtedy zbiór ilorazowy $X/R$ wraz z kanonicznym przekształceniem ilorazowym $q\colon X\to X/R$ danym jako $q(x):=[x]_{R}$, gdzie $[x]_{R}$ jest klasą równoważności elementu $x\in X$ przy relacji $R$.

Oczywiście w $\mathbf {Set}$ istnieją wszystkie koekwalizatory, tzn. dla każdej pary $f,g\colon A\to B$ znajdziemy koekwalizator. Jest nim zbiór $B$ podzielony przez relację równoważności $R\subseteq B\times B$ daną jako przecięcie wszystkich relacji równoważności $S$ takich, że $b_{1},b_{2}\in S$ wtedy i tylko wtedy, gdy $f(b_{1})=g(b_{2})$. Szczegóły techniczne nie są ciekawe, więc je pomijamy.

Pulbak i pushout

Przed nami terra incognita, gdzie znane z $\mathbf {Set}$ intuicje odszukujemy w coraz bardziej złożonych formach, trudniejszych niż w przypadku poprzednio omówionych granic. Pulbak (produkt włóknisty), który pojawia się bardzo często w matematyce, w logice w szczególności, w $\mathbf {Set}$ stanowi uogólnienie zarówno operacji przecięcia zbiorów, jak i przeciwobrazu funkcji. Jego dualnym odpowiednikiem jest pushout. (Pozwalamy sobie pozostać przy angielskich nazwach, ustępując pola lingwistom, którzy chcieliby znaleźć, choćby dla pushoutu, wygodniejszą nazwę niż koprodukt włóknisty.)

Definicja 3.9 [pulbak]

Pulbakiem strzałek $f,g$ takich, że $\mathrm {cod} (f)=\mathrm {cod} (g)$ w kategorii $\mathbf {C}$

nazywamy obiekt $P$ wraz ze strzałkami

taki, że:

• poniższy kwadrat pulbakowy komutuje, tzn. $f\circ p=g\circ q$ oraz
• uniwersalny, tzn. dla dowolnego innego kandydata na pulbak

$A{\stackrel {r}{\longrightarrow }}Q{\stackrel {s}{\longleftarrow }}B$

istnieje dokładnie jedna strzałka $u\colon Q\to P$ taka, że: $r=p\circ u$ i $s=q\circ u$, tzn. taka, że poniższy diagram komutuje:

Uwaga

O takiej sytuacji będziemy mówili, że $p$ jest pulbakiem $g$ wzdłuż $f$ lub że $q$ jest pulbakiem $f$ wzdłuż $g$ (stąd nazwa pulbak - od angielskiego pulling back).

Pulbak nazywa się często w literaturze produktem włóknistym i jest ku temu dobra przyczyna: w dowolnej kategorii $\mathbf {C}$ z produktami (tzn. w takiej kategorii $\mathbf {C}$, w której istnieje produkt dowolnych dwóch obiektów) i ekwalizatorami, dla diagramu

$A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}Z{\stackrel {g}{\longleftarrow }}B$

rozważmy inny diagram:

gdzie $p_{A},p_{B}$ są projekcjami produktu $A\times B$. Niech

będzie ekwalizatorem. Wtedy

jest pulbakiem strzałek $A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}Z{\stackrel {g}{\longleftarrow }}B$.

Oto dowód (pomijamy dla prostoty symbol złożenia $\circ$): oczywiście $f(p_{A}e)=(fp_{A})e=(gp_{B})e=g(p_{B}e)$, więc pierwszy punkt definicji pulbaku jest spełniony. Po drugie, jeśli

komutuje, to dla strzałki

$Q{\stackrel {(r,s)}{\longrightarrow }}A\times B$

z własności uniwersalnej ekwalizatora istnieje dokładnie jedna strzałka $u\colon Q\to P$ taka, że

komutuje. Oczywiście komutuje też

co kończy dowód faktu, że $(P,p_{A}e,p_{B}e)$ jest pulbakiem. q.e.d.

A zatem można sobie wyobrażać, że pulbak powstaje jako ekwalizator produktu, co w szczególności dla $\mathbf {Set}$ implikuje, że pulbak funkcji

$A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}Z{\stackrel {g}{\longleftarrow }}B$

jest zbiorem

$A\times _{Z}B=\{(a,b)\in A\times B\mid f(a)=g(b)\}$

wraz z zanurzeniem $A\times _{Z}B\to A\times B$.

Podsumowując powyższą dyskusję, pokazaliśmy że:

Wniosek 3.10

W dowolnej kategorii $\mathbf {C}$ z produktami i ekwalizatorami istnieją wszystkie pulbaki.

Prawdziwe jest również stwierdzenie odwrotne, które jest treścią Zadania 3.4. Wykład zakończymy podrozdziałem, który ilustruje własności pulbaków i do którego warto wrócić raz jeszcze po przeczytaniu Wykładu 5.

Własności pulbaków

Lemat 3.11 [Lemat Pulbakowy]

Załóżmy, że diagram

komutuje. Wówczas:

• Jeśli prawy kwadrat i zewnętrzny prostokąt są kwadratami pulbakowymi, to lewy kwadrat też.
• Jeśli dwa wewnętrzne kwadraty są pulbakami, to zewnętrzny prostokąt też jest pulbakiem.

Dowód powyższego lematu jest treścią Zadania 3.8. Konsekwencją Lematu Pulbakowego jest natychmiast:

Wniosek 3.12

Pulbak komutującego trójkąta jest komutującym trójkątem. To znaczy: jeśli na poniższym diagramie w kształcie pryzmy

prawy trójkąt komutuje i dla $h\colon C'\to C$ tworzymy pulbaki:

• $\alpha '$ jako pulbak $\alpha$ wzdłuż $h$,
• $\beta '$ jako pulbak $\beta$ wzdłuż $h$,

to istnieje dokładnie jedna strzałka $\gamma '\colon A'\to B'$ taka, że lewy trójkąt komutuje i taka, że trzecia ze ścian pryzmy (górna) również jest pulbakiem.

Dowód

Wynika natychmiast z Lematu Pulbakowego, jeśli przyjmiemy jako $\gamma '$ strzałkę uniwersalną pulbaku $\beta$ wzdłuż $h$ i przerysujemy wygodnie pryzmę jako:

(wtedy z faktu, że najbardziej zewnętrzny prostokąt i prawy kwadrat są pulbakami wynika, teza: lewy kwadrat jest pulbakiem).

Stwierdzenie 3.13

Pulbak jest funktorem tzn. w kategorii $\mathbf {C}$ z pulbakami, dla każdej strzałki $h\colon C'\to C\in \mathbf {C} _{1}$ istnieje funktor $Pb_{h}\colon \mathbf {C} /C\to \mathbf {C} /C'$ definiowany na obiekcie $\alpha \colon A\to C\in (\mathbf {C} /C)_{0}$ jako: $Pb_{h}(A{\stackrel {\alpha }{\to }}C):=(C'\times _{C}A{\stackrel {\alpha '}{\to }}C')$

i na strzałce $\gamma \colon \alpha \to \beta \in (\mathbf {C} /C)_{1}$ jak w powyższym wniosku (tzn: $\gamma \mapsto \gamma '$: porównaj diagram-pryzmę).

Dowód

Musimy pokazać, że $Pb_{h}(1_{A})=1_{Pb_{h}(A)}$

i

$Pb_{h}(\gamma \circ \eta )=Pb_{h}(\gamma )\circ Pb_{h}(\eta ).$

Obie własności łatwo sprawdzić, stosując Lemat Pulbakowy. My pokażemy tylko pierwszą, pozostawiając drugą dla zainteresowanego czytelnika. Rozważmy zatem diagram:

Jeśli dolny kwadrat jest pulbakiem, to oczywiście zewnętrzny prostokąt też. Z Lematu Pulbakowego wynika, że górny kwadrat komutuje. A zatem $Pb_{h}(1_{\alpha })=Pb_{h}(1_{A})=1_{A'}=1_{\alpha '}=1_{Pb_{h}(\alpha )}$.