Teoria kategorii dla informatyków/Wykład 2: Morfizmy specjalne
Podczas tego wykładu poznamy dalsze możliwości definiowania znanych pojęć matematycznych za pomocą własności obiektów i morfizmów w kategoriach. Opis kategoryjny sprawdza się szczególnie dobrze dla własności uniwersalnych, tj. tych niezależnych od specyficznych założeń danej teorii matematycznej. Jeden typ morfizmów specjalnych już poznaliśmy, a mianowicie izomorfizmy (Definicja 1.7). Tutaj poznamy dalsze przykłady.
Monomorfizmy, epimorfizmy, sekcje i retrakcje
Definicja 2.1
Niech
będzie kategorią. Strzałka jest mono(morfizmem), jeśli dla każdego obiektu i równoległych strzałek równość implikuje .Innymi słowy,
jest mono, jeśli z faktu, że poniższy diagram komutuje:
wynika, że
.Monomorfizmy znane są w
jako injekcje, bo przecież funkcja jest injekcją wtedy i tylko wtedy, gdywtedy i tylko wtedy, gdy
wtedy i tylko wtedy, gdy
jest mono w .Podobnie w
, , : monomorfizmami są strzałki injektywne.
Definicja 2.2 [monomorfizm, epimorfizm]
Niech
będzie kategorią. Strzałka jest epi(morfizmem) jeśli dla każdego obiektu i równoległych strzałek równość implikuje .A zatem aby strzałka
była epi, komutowanie diagramu:
pociąga za sobą równość
.Zauważmy, że definicje monomorfizmu i epimorfizmu są bardzo podobne. Istotnie, po odwróceniu kierunku strzałek pierwsza definicja pokrywa się z drugą i vice versa. W takim przypadku mówimy, że definicje monomorfizmu i epimorfizmu są dualne. Aby precyzyjnie wypowiedzieć znaczenie dualności, potrzebujemy następującej definicji:
Definicja 2.3 [kategoria dualna]
A zatem jest utworzona z poprzez odwrócenie kierunku strzałek.
Dualność definicji monomorfizmu i epimorfizmu wyraża się więc jako:
Fakt 2.4
Strzałka
jest (mono-)epomorfizmem w kategorii wtedy i tylko wtedy, gdy jest (epi-)monomorfizmem w .Dualność i prawa, jakimi się rządzi, zbadamy dogłębnie na początku następnego wykładu. Tymczasem zauważmy proste własności mono- i epimorfizmów:
Fakt 2.5
- Jeśli jest mono, to jest mono.
- Złożenie monomorfizmów jest monomorfizmem.
- Jeśli jest epi, to jest epi.
- W , jest epi wtedy i tylko wtedy, gdy jest surjekcją.
- Złożenie epimorfizmów jest epimorfizmem.
Należy dość ostrożnie interpretować powyższe wyniki, tak by nie dać skusić się myśli, że monomorfizmy to po prostu abstrakcyjnie zdefiniowane injekcje, a epimorfizmy to abstrakcyjne surjekcje (tak oczywiście jest w , ale w innych kategoriach niekoniecznie). Okazuje się bowiem, że:
Przykład 2.6
W
zanurzenie liczb naturalnych w całkowite jest epimorfizmem, ale nie jest surjekcją.Dowód

gdzie
jest dowolnym monoidem, tzn. że , co nieformalnie oznacza, że morfizmy i zgadzają się na liczbach dodatnich. Wówczas: i podobnie dowiedziemy, że dla dowolnego . To znaczy, że i zgadzają się na , i.e. . Jest jednak oczywiste, że injekcja nie jest surjekcją. A zatem w epimorfizmy i surjekcje to nie to samo.
Czy strzałka może być jednocześnie mono i epi? Oczywiście tak: łatwo przekonać się, że izomorfizmy są zawsze mono i epi (np. w Faktu 2.9).
bijekcje (izomorfizmy) są jednocześnie injekcjami (mono) i surjekcjami (epi)). Poprzedni przykład w wskazuje jednak, że stwierdzenie odwrotne jest w ogólności nieprawdziwe, tzn. strzałka mono i epi nie musi być izomorfizmem (poniżej zdefiniujemy pojęcia silniejsze od mono i epi, które w pełni opiszą izomorfizmy - patrz przedostatni punkt FaktuPoznajmy więc pewne szczególnie często spotykane mono i epi:
Definicja 2.7 [sekcja]
Morfizm
w kategorii jest sekcją, jeśli istnieje morfizm taki, że (mówi się wtedy, że ma lewą odwrotność).Każda sekcja jest mono: jeśli
jest sekcją, to równość dla pewnych strzałek implikuje .Nazwa sekcja pochodzi od pewnego znamienitego przykładu: jeśli
jest morfizmem w (albo w czy ), można rozważyć graf morfizmu jako podzbiór (odpowiednio: podprzestrzeń w lub podgrupę w ) produktu . Wówczas zanurzenie w zdefiniowane jako jest sekcją (obraz tego zanurzenia niejako przecina produkt, stąd nazwa).
Pojęciem dualnym do sekcji jest retrakcja. Nazwy retrakcja i retrakt pochodzą z Topologii. Teorię retraktów topologicznych stworzył i rozwinął profesor Karol Borsuk z Uniwersytetu Warszawskiego w pierwszej połowie XX wieku.
Definicja 2.8 [retrakcja]
Morfizm
w kategorii jest retrakcją, jeśli istnieje morfizm taki, że (mówi się wtedy, że ma prawą odwrotność). Jeśli taka retrakcja istnieje, to mówimy, że jest retraktem .Własności sekcji i retrakcji są silniejsze od własności monomorfizmów i epimorfizmów: sekcje i retrakcje zachowują się bardzo porządnie pod wpływem funktorów (definicja funktora - Definicja 5.1 - i podstawowe intuicje związane z tym pojęciem są tematem Wykładu 5).
Fakt 2.9
- Jeśli jest sekcją, to jest sekcją.
- Złożenie sekcji jest sekcją.
- Każdy funktor zachowuje sekcje (tzn. jeśli jest funktorem i jest sekcją, to jest sekcją).
- Każdy pełny i wierny funktor odzwierciedla sekcje (tzn. dla funktora pełnego i wiernego i morfizmu , jeśli jest sekcją w , to jest sekcją w ).
- Złożenie retrakcji jest retrakcją.
- Jeśli jest retrakcją, to jest retrakcją.
- Każdy funktor zachowuje retrakcje.
- Każdy pełny i wierny funktor odzwierciedla retrakcje.
- Morfizm jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest sekcją i retrakcją jednocześnie.
- Każdy pełny i wierny funktor odzwierciedla izomorfizmy.
Podsumujmy dyskusję: w ogólności sekcje i monomorfizmy (a także retrakcje i epimorfizmy) to nie to samo. Jeśli jednak w jakiejś kategorii strzałka, która jest mono i epi jest izomorfizmem, to taką kategorię nazywa się zbalansowaną (ang. balanced). Oto kategorie zbalansowane: zbiory
, przestrzenie wektorowe , grupy , grupy abelowe . Zbalansowane nie są zaś: relacje , posety , topologie , monoidy , pierścienie , kategorie , przestrzenie Banacha , i tak dalej.Obiekty początkowe i końcowe

Naszym następnym zadaniem jest abstrakcyjna charakteryzacja zbioru pustego i singletonów tak, by ich uniwersalne własności dały się wypowiedzieć w dowolnych innych kategoriach.
Definicja 2.10 [obiekt początkowy, obiekt końcowy]
W dowolnej kategorii
:- obiekt nazywamy początkowym, jeśli dla dowolnego obiektu istnieje dokładnie jeden morfizm

- obiekt nazywamy końcowym, jeśli dla dowolnego obiektu istnieje dokładnie jeden morfizm

Oczywiście pojęcia obiektu początkowego i końcowego są dualne: obiekt jest początkowy w wtedy i tylko wtedy, gdy jest końcowy w .
W
jedynym obiektem początkowym jest zbiór pusty. Rzeczywiście, ze zbioru pustego do dowolnego innego zbioru istnieje dokładnie jedna funkcja - funkcja pusta. Z drugiej strony, nie ma w funkcji, której dziedziną jest zbiór niepusty, a kodziedziną - zbiór pusty. To znaczy, że żaden inny zbiór, poza pustym, nie nadaje się na obiekt początkowy.Każdy singleton nadaje się na obiekt końcowy w
- to oczywiste, ale ani zbiór pusty, ani taki o mocy większej niż jeden, nie może być końcowy, bo funkcji weń będzie zbyt mało lub zbyt dużo.
Fakt 2.11
Obiekt początkowy (końcowy) jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu.
Dowód

Rzeczywiście, z początkowości obiektu
wynika, że istnieje dokładnie jedna strzałka typu ; skoro tak, to musi to być identyczność . Ponieważ na diagramie złożenie jest typu , więc . To samo rozumowanie dla daje nam . A zatem i są wzajemnie do siebie odwrotnymi izomorfizmami.Dowód dla obiektu końcowego jest dualny: wystarczy zauważyć, że
jest obiektem początkowym w i powtórzyć powyższe kroki.
Przykłady:
- W obiektem początkowym jest kategoria pusta, obiektem końcowym kategoria dyskretna (z jednym obiektem i jedną strzałką).
- W grupa jednoelementowa jest zarówno początkowa, jak i końcowa.
- W posecie element jest początkowy, jeśli jest elementem najmniejszym, element jest końcowy, jeśli jest elementem największym. Wnioskiem z tego jest, że w kategoriach nie muszą istnieć obiekty początkowe i końcowe (weźmy choćby odcinek z naturalnym porządkiem).
- W dowolnej kategorii 1.6). , jeśli , to identyczność jest obiektem końcowym w kategorii warstwowej (patrz Zadanie
Elementy i uogólnione elementy
Aby wyrazić zdanie teorii mnogości:
w języku teorii kategorii, posługujemy się faktem, że istnieje bijekcja między zbiorem i zbiorem funkcji , gdzie jest dowolnym ustalonym singletonem. Tak jest, posługujemy się faktem, że w istnieje izomorfizm . A zatem w funkcję nazywamy elementem . Podobnie w dowolnej kategorii , która posiada obiekt końcowy , strzałkę , gdzie , nazywamy elementem obiektu . Strzałki o dowolnej dziedzinie i kodziedzinie , np. dla , nazywamy uogólnionymi elementami . I to wszystko. Należy być tylko uważnym w użyciu elementów i uogólnionych elementów w dowolnych kategoriach, gdyż nie zawsze zachowują się tak, jak w , na co wskazują poniższe przykłady:- W rozważmy strzałki . Wówczas wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego elementu .
- Tymczasem w dla homomorfizmów zawsze mamy dla każdego elementu . Rzeczywiście, skoro , gdzie jest jedynką monoidu , to każdy homomorfizm typu musi odwzorowywać w jedynkę . To oznacza, że istnieje dokładnie jeden homomorfizm typu , czyli w szczególności .
Sekcje, retrakcje i pary e-p w kategoriach dziedzin
Ostatnia część wykładu jest poświęcona kilku szczególnym przykładom sekcji i retrakcji w kategoriach częściowych porządków (do których należą: kategoria posetów Wykład 12. , kategoria posetów zupełnych , kategoria dziedzin ciągłych i kategoria dziedzin algebraicznych ). Aby w pełni zrozumieć poniższy tekst, należy najpierw przeczytaćNiech będą częściowymi porządkami, niech strzałka (czyli funkcja monotoniczna) będzie sekcją i niech strzałka będzie retrakcją, czyli zakładamy . O parze mówimy jako o parze sekcja-retrakcja; poset - jak już wspominaliśmy - nazywamy retraktem posetu . Zauważmy, że sekcja jest zawsze injekcją, zaś retrakcja jest zawsze surjekcją, co jest odbiciem faktu, że sekcje są mono, zaś retrakcje epi. Co ciekawe, w przypadku, gdy obie funkcje są ciągłe (tzn. zachowują suprema zbiorów skierowanych), zachodzi następujące twierdzenie:
Twierdzenie 2.12 Niech
będzie parą sekcja-retrakcja pomiędzy posetami i i załóżmy, że obie funkcje są ciągłe. Wówczas:
A zatem każdy retrakt dziedziny ciągłej jest dziedziną ciągłą. Twierdzenie odwrotne również zachodzi, w nieco mocniejszej wersji:
Twierdzenie 2.13 Każda dziedzina ciągłą jest retraktem dziedziny algebraicznej, tzn. jeśli
jest dziedziną ciągłą z bazą , to funkcje , oraz , są ciągłe i tworzą parę sekcja-retrakcja. Poset jest zbiorem wszystkich -ideałów zbudowanych z elementów z , uporządkowanych względem inkluzji.
|
![]() |
Najciekawszymi przykładami par sekcja-retrakcja są tak zwane pary zanurzenie-projekcja, w skrócie pary e-p od angielskich słów embedding, projection.
Definicja 2.14
, nazywamy parą e-p, jeśli i .
Zauważmy, że para sekcja-retrakcja skonstruowana w Twierdzeniu 2.13 jest parą e-p. Przeróżne własności par e-p poznamy w Zadaniu 2.8 do wykładu. Ich niezwykłą użyteczność poznamy podczas Wykładu 14.