==Zadanie 7.1==
Udowodnić, że
jest (bi)funktorem.
Rozwiązanie:
Zbierzmy wszystkie potrzebne dane: potrzebne są nam obiekty
, morfizmy
,
, funktory
oraz transformacje naturalne
i
.
Zachowywanie identyczności:
Zauważmy, że korzystamy z definicji funktora ewaluacji, definicji transformacji naturalnej
i faktu, że
zachowuje identyczności.
Zachowywanie złożenia:
Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \mathrm{ev}_{\mathbf{C}^{op}}((\phi, f),(\psi, g)) &=& \mathrm{ev}_{\mathbf{C}^{op}}(\phi\circ \psi, f\circ_{\mathbf{C}^{op}} g)= \mathrm{ev}_{\mathbf{C}^{op}}(\phi\circ \psi, g\circ f)=(\phi\circ \psi)_X \circ H(g\circ f)= \phi_X\circ \psi_X \circ H(f)\circ H(g)= \phi_X\circ \psi_X \circ H(f)\circ H(g)=\phi_X\circ F(f)\circ \psi_Y\circ H(g)=\mathrm{ev}_{\mathbf{C}^{op}}(\phi,f)\circ \mathrm{ev}_{\mathbf{C}^{op}}(\psi, g). }
Wykorzystaliśmy kolejno: definicję złożenia w produkcie, definicję złożenia w
, definicję
, kontrawariantność
, naturalność
wyrażoną diagramem:
i na końcu znów definicję
.
==Zadanie 7.2==
Udowodnić, że obiekty
lokalnie małej kategorii
są izomorficzne, jeśli dla każdego obiektu
istnieje bijekcja
, która spełnia warunek naturalności: dla każdej
diagram
komutuje.
Wskazówka:
Jakie własności mają funktory pełne i wierne?
==Zadanie 7.3==
Znaleźć reprezentację kontrawariantnego funktora potęgowego.
Wskazówka:
Wiemy (Zadanie 5.5), że kontrawariantny funktor potęgowy jest izomorficzny z
.
Rozwiązanie:
Udowodnimy, że
(jak zwykle
) jest reprezentacją
. W myśl Lematu 7.5 wystarczy pokazać, że dla dowolnego zbioru
i elementu
istnieje dokładnie jedna funkcja
taka, że
, czyli
. Zauważmy, że funkcja charakterystyczna
zbioru
spełnia ostatnie równanie. Jeśli zaś
dla pewnej funkcji
, to dla dowolnego
mamy
dokładnie wtedy, gdy
, dokładnie wtedy, gdy
. Ponieważ
ma tylko dwa elementy, wnioskujemy, że
. Z dowolności
wynika
, czyli funkcja charakterystyczna jest jedyna. To kończy dowód.
==Zadanie 7.4==
Rozwiązać Zadanie 7.2 bez odwoływania się do własności funktora
.
Wskazówka:
Nie wolno więc bezpośrednio odwołać się do faktu, że
jako pełny i wierny funktor odzwierciedla izomorfizmy.
==Zadanie 7.5==
Wykazać, że reprezentacje funktora
są ze sobą izomorficzne.
==Zadanie 7.6==
Udowodnij, że dla lokalnie małej kategorii
, operacja
jest bifunktorem.
Wskazówka:
Zamiast dowodu bezpośredniego, wykorzystaj Zadanie 5.3 charakteryzujące bifunktory.