Teoria kategorii dla informatyków/Ćwiczenia 5: Funktory i transformacje naturalne
Z Studia Informatyczne
< Teoria kategorii dla informatyków(Przekierowano z Teoria kategorii dla informatyków/TKI Ćwiczenia 5)
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania==Zadanie 5.1==
Udowodnij, że transformacja naturalna
funktorów typu jest naturalnym izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest izomorfizmem w kategorii .Wskazówka:
Rozwiązanie:
==Zadanie 5.2==
Udowodnij, że funktor inkluzji
zachowuje strukturę kategorii kartezjańsko zamkniętej, zaś funktor inkluzji tej struktury nie zachowuje w ogólności.Wskazówka:
Rozwiązanie:
==Zadanie 5.3==
Niech
będą kategoriami. Udowodnić, że operacja zdefiniowana na obiektach i strzałkach jest funktorem wtedy i tylko wtedy, gdy:- jest funktorem ze względu na każdy z argumentów osobno, tzn. dla każdego , jest funktorem i dla każdego , jest funktorem oraz:
- spełnia następujące prawo przemienności:

dla dowolnych
, .Rozwiązanie:
==Zadanie 5.4==
Zdefiniować produkt dwóch funktorów.
Wskazówka:
Rozwiązanie:
==Zadanie 5.5==
Udowodnij, że operacja
:jest funktorem. Udowodnij, że funktor ten jest naturalnie izomorfizczny z hom-funktorem
, gdzie jest dowolnym zbiorem dwuelementowym.Wskazówka:
Rozwiązanie:
==Zadanie 5.6==
Udowodnij, że dla zbiorów
istnieje następująca bijekcja pomiędzy zbiorami potęgowymi:Wskazówka:
Rozwiązanie:
==Zadanie 5.7==
Na dowolnym posecie
zadajemy tzw. topologię Aleksandrowa, deklarując zbiory górne jako otwarte. Pokaż, że ta konstrukcja da się rozszerzyć do funktora typu . Czy ten funktor jest pełny? Wierny?Wskazówka:
Rozwiązanie:
==Zadanie 5.8==
Zdefiniuj funktor dualny do hom-funktora zaproponowanego w Przykładzie 5.7.
Rozwiązanie: