==Zadanie 2.1==
Udowodnij, że jeśli
jest obiektem końcowym w kategorii
, to każdy morfizm, którego dziedziną jest
, jest sekcją.
Wskazówka:
Wykorzystujemy własność uniwersalną
.
==Zadanie 2.2==
Udowodnij Fakt 2.5.
Wskazówka:
Aby efektywnie rozwiązywać zadania tego typu, warto nie podawać wielu szczegółów, które zaciemniają obraz: np. nazwy dziedzin i kodziedzin istniejących morfizmów nie grają roli w rozwiązaniu. Zakładamy więc od tej pory milcząco, że jeśli w rozwiązaniu składamy morfizmy, to jest to a priori możliwe.
Rozwiązanie:
- Chcemy wykazać, że jeśli
jest mono, to
jest mono. Trzeba pokazać, że
skraca się z prawej strony. Niech więc
. Wtedy
. Z założenia,
jest mono, czyli da się skrócić z prawej strony, co daje
, co należało pokazać.
- Pokażmy, że złożenie monomorfizmów jest monomorfizmem. Niech
będą mono. Załóżmy
dla pewnych morfizmów
. Wtedy z monomorficzności
otrzymujemy
. Monomorficzność
daje zatem
, co należało pokazać.
- Dowód faktu, że jeśli
jest epi, to
jest epi, jest dualny do dowodu własności (1). To kończy dowód. (Niewprawnym czytelnikom należy się wyjaśnienie: jeśli
jest epi w
, to
jest mono w
. Własność (1) udowodniona powyżej implikuje, że
jest mono w
, a Fakt 2.4 implikuje, że
jest epi w
. Dualność jest szerzej omówiona na początku Wykładu 3.).
- Pokażmy, że w
,
jest epi wtedy i tylko wtedy, gdy
jest surjekcją. Załóżmy najpierw, że
jest surjekcją. Weźmy
takie, że
. Ale dowolny
jest postaci
dla
. A zatem
. Funkcje
i
są równe na wszystkich elementach
, czyli
. Wniosek:
jest epi. Załóżmy teraz, że
nie jest surjekcją. Wtedy istnieje
, który nie jest obrazem przez funkcję
żadnego elementu ze zbioru
. Weźmy
i funkcje
jak następuje:
dla każdego
;
i
dla
. Przy takich definicjach mamy
, ale
. To dowodzi, że
nie jest epimorfizmem.
- Dowód faktu, że złożenie epimorfizmów jest epimorfizmem jest dualny do własności (2) powyżej.
==Zadanie 2.3==
Udowodnij Fakt 2.9.
Rozwiązanie:
- Jeśli
jest sekcją, to
jest sekcją. Rzeczywiście, skoro
jest sekcją, to ma lewą odwrotność
, tzn. istnieje
takie, że
. Wtedy
jest lewą odwrotnością
.
- Złożenie sekcji jest sekcją. To prawda: niech
będą składalnymi sekcjami z lewymi odwrotnościami odpowiednio
i
. Rozważamy
. Wtedy
jest poprawnie zdefiniowane i
, co należało pokazać.
- Pokażemy, że każdy funktor zachowuje sekcje. Niech
będzie sekcją z lewą odwrotnością
, zaś
funktorem. Wtedy z własności funktora wynika, że:
a to oznacza, że
jest sekcją z lewą odwrotnością
.
- Pokażemy, że każdy pełny i wierny funktor odzwierciedla sekcje. Niech
będzie morfizmem takim, że
jest sekcją. To znaczy (używamy tu również pełności
), iż istnieje
tak, że
. Ale z własności funktora wynika, że
. Wierność
implikuje zatem
. To świadczy o tym, że
jest sekcją.
- Złożenie retrakcji jest retrakcją. Rzeczywiście: jeśli
są składalnymi retrakcjami w
, to
są składalnymi sekcjami w
. Dalszy ciąg dowodu wynika natychmiast z (2) powyżej i dualności sekcji i retrakcji.
- Jeśli
jest retrakcją, to
jest retrakcją. Dowód dualny do (1) powyżej.
- Każdy funktor zachowuje retrakcje. Dowód dualny do (3) powyżej: dostajemy go za darmo!
- Każdy pełny i wierny funktor odzwierciedla retrakcje - dowód dualny do (4) powyżej - znów za darmo!
- Morfizm
jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest sekcją i retrakcją jednocześnie: jest oczywiste, że jeśli
jest izomorfizmem, to ma lewą i prawą odwrotność. Jeśli zaś
jest sekcją i retrakcją, to istnieją dwa morfizmy
takie, że
i
. Wtedy
. Strzałka
, będąc lewą i prawą odwrotnością
, świadczy o tym, że
jest izomorfizmem.
- Każdy pełny i wierny funktor odzwierciedla izomorfizmy. Rzeczywiście, jak pokazaliśmy powyżej, taki funktor odzwierciedla sekcje i retrakcje, czyli odzwierciedla izomorfizm na izomorfizm.
==Zadanie 2.4==
Wykaż, że zrozumienie relacji pomiędzy sekcjami i monomorfizmami oraz retrakcjami i epimorfizmami zawsze da się jeszcze trochę utrudnić, tzn. udowodnij, że:
- morfizm
jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest retrakcją i monomorfizmem;
- morfizm
jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest sekcją i epimorfizmem;
- każdy wierny funktor odzwierciedla monomorfizmy i epimorfizmy;
- każdy funktor reprezentowalny zachowuje monomorfizmy.
Wskazówka:
Jedynym zadaniem nietrywialnym jest ostatnie, gdzie należy najpierw udowodnić tezę dla hom-funktora
,
- patrz Przykład 5.7.
Rozwiązanie:
(1) W świetle tego co wiemy do tej pory, wystarczy pokazać, że monomorficzna retrakcja
jest izomorfizmem. Skoro
jest retrakcją, to dla pewnej strzałki
mamy
. Więc
. Ale z monomorficzności
wynika, że możemy w ostatnim równaniu skrócić
z lewej strony, czyli
. To znaczy, że
jest izomorfizmem z odwrotnością
. (2) jest zdaniem dualnym do (1), a więc dowód mamy za darmo. (3) Niech
będzie taką strzałką, że
jest mono. Załóżmy, że
. Funktory zachowują złożenia, co daje
. Z założenia,
, a z wierności:
, co należało pokazać. Dowód dla epimorfizmu jest dualny. (4) Niech
będzie mono. Przypuśćmy, że
dla pewnych strzałek
, gdzie
(Zwróćmy uwagę, że kontrawariantność funktora implikuje, że
.) To znaczy, że dla dowolnego
mamy
, czyli
. Ale
jest mono; stąd
dla każdego
. W
ta równość oznacza, że
, co pokazuje, że hom-funktory odzwierciedlają monomorfizmy. Jeśli teraz
jest reprezentowalny, tzn.
dla pewnego
- porównaj z Definicją 7.4 - to istnieją dwie bijekcje w
- mianowicie
i
takie, że poniższy diagram komutuje:
Załóżmy zatem, że
dla pewnych strzałek
.
Patrząc na diagram powyżej, widzimy, że
, i każda z tych trzech strzałek jest mono (obie
-ty są bijekcjami - czyli injekcjami w szczególności). A zatem
. Wykazaliśmy, że
jest monomorfizmem, q.e.d.
==Zadanie 2.5==
Udowodnij, że w
zdanie każdy epimorfizm jest retrakcją, jest równoważny pewnikowi wyboru.
Rozwiązanie:
Załóżmy najpierw, że każdy epimorfizm jest retrakcją. Niech
będzie dowolną rodziną niepustych, parami rozłącznych zbiorów.
Konstruujemy epimorfizm (surjekcję)
jako
. Skoro
jest retrakcją, to ma prawą odwrotność: istnieje funkcja
taka, że
. Ostatnie równanie oznacza, że
, co jest równoważne informacji, że
. Odwrotnie, załóżmy pewnik wyboru. Niech
będzie dowolnym epimorfizmem (surjekcją). Rozważmy rodzinę
.
Ta rodzina jest parami rozłączna i niepusta, bo
jest funkcją. Ponadto
. Pewnik wyboru mówi więc, że istnieje funkcja
, która ma własność
. Innymi słowy,
, co oznacza
. albo
. Pokazaliśmy, że
jest prawą odwrotnością
, co świadczy o tym, że
jest retrakcją.
==Zadanie 2.6==
Udowodnij Twierdzenie 2.12, tzn. pokaż, że retrakt dziedziny ciągłej jest dziedziną ciągłą.
Rozwiązanie:
Pokażemy najpierw zupełność
. Niech
będzie skierowanym podzbiorem
. Ponieważ
jest funkcją monotoniczną, obraz
jest skierowanym podzbiorem dziedziny ciągłej
. A zatem posiada supremum
i jasne jest, że element
jest ograniczeniem górnym zbioru
w
. Niech
będzie dowolnym innym ograniczeniem górnym
, tzn.
. Wtedy
, czyli
. Funkcja
jest monotoniczna, a zatem
. To dowodzi, że
jest najmniejszym ograniczeniem górnym
, czyli jego supremum. Pokazaliśmy, że dowolny zbiór skierowany
w
ma supremum, czyli że
jest posetem zupełnym. Zauważmy, że w tym dowodzie ciągłość funkcji nie została wykorzystana; przyda się nam natomiast w następnym paragrafie.
Niech
aproksymuje
dla
. Pokażemy, że
. Niech
będzie skierowanym podzbiorem
, który posiada supremum
. Z ciągłości
wynika, że
, a zatem dla pewnego
musimy mieć
. To implikuje
, co dowodzi
. Ciągłość
implikuje, że
jest supremum zbioru
, który jest skierowanym podzbiorem
. Jak łatwo się przekonać, to znaczy, że
jest bazą dla
, czyli
jest ciągły.
==Zadanie 2.7==
Udowodnij Twierdzenie 2.13, tzn. pokaż, że każda dziedzina ciągłą jest retraktem dziedziny algebraicznej.
Rozwiązanie:
Para
jest oczywiście częściowym porządkiem. Dla dowolnego
mamy:
ponieważ
jest dolny (suma jest skierowana, bo
jest skierowany). Pokażemy, że w
mamy:
Załóżmy, że
. Skoro
, to istnieje
taki, że
. Z drugiej strony załóżmy, że dla pewnych
oraz
zachodzi
. Niech
będzie skierowanym podzbiorem
takim, że
. Skoro
, to istnieje
taki, że
, co implikuje
. To dowodzi
.
Zauważmy, że z równoważności
wynika, iż
w
dla dowolnego
. A zatem na podstawie równości
łatwo wywnioskować, że
jest bazą złożoną z elementów zwartych
. A zatem
jest posetem
algebraicznym. Jest to również dcpo, ponieważ dla dowolnej skierowanej rodziny ideałów
suma
jest zbiorem skierowanym (patrz Zadanie 12.2) oraz dolnym (jako suma zbiorów dolnych), a zatem
jest supremum
w
.
Przypomnijmy, jak wygląda nasza para sekcja-retrakcja:
dana jest jako
oraz
dana jako
. Funkcja
jest monotoniczna, więc dla dowolnego zbioru skierowanego
mamy
. Ale odwrotna inkluzja wynika z własności aproksymacji: jeśli
, tzn.
, to istnieje
taki, że
. Tym bardziej więc
. Obie inkluzje dają równość
, czyli pokazują, że
jest funkcją ciągłą w sensie Scotta. Ciągłość
łatwo wynika z Zadania 12.2.
W końcu sprawdzamy dla dowolnego
:
ponieważ ostatnia równość jest stwierdzeniem ciągłości
. Wniosek:
, a zatem obie funkcje tworzą parę sekcja-retrakcja.
==Zadanie 2.8==
Udowodnij, że w parze e-p, funkcja
jest injekcją, zachowuje istniejące suprema i relację aproksymacji, zaś funkcja
jest surjekcją i zachowuje istniejące infima. Co więcej, pokaż, że funkcje
i
wzajemnie się wyznaczają, to znaczy, jeśli
zanurzeniem w pewnej parze e-p, to projekcja
może być wydefiniowana z
jako
dla
i vice versa: jeśli
jest projekcją w parze e-p, to
dla
.
Rozwiązanie:
Niech
ma supremum
. Oczywiście
. Ale jeśli
dla pewnego
, to
, więc
i konsekwentnie
. Wniosek:
. Dualnie,
zachowuje istniejące infima.
Aby stwierdzić, że
zachowuje relację aproksymacji, niech
w
. Załóżmy, że dla pewnego zbioru skierowanego
mamy
. Wtedy
. Ten ostatni zbiór jest skierowany, więc istnieje
taki, że
- z definicji relacji aproksymacji, oczywiście. A zatem
, co dowodzi, że
.
Pokażmy na koniec, że
dla
(dowód na postać
jest analogiczny, więc go pominiemy). Oczywiście
, tzn.
. A zatem
. Ale jeśli
, to
, czyli
. Stąd
. To kończy dowód.
==Zadanie 2.9==
Udowodnij, że w
morfizm
jest retrakcją wtedy i tylko wtedy, gdy jest retrakcją topologiczną, tj.: Istnieje podprzestrzeń
przestrzeni
oraz
ciągła oraz
homeomorfizm takie, że
oraz diagram
komutuje.
Rozwiązanie:
Niech
będzie retrakcją w
. Istnieje sekcja
, tzn.
. Definiujemy:
wraz z topologią indukowaną z
.
Zauważmy, że funkcja
ma własność
, ponieważ:
. Co więcej, jest ciągła jako złożenie funkcji ciągłych. Inna funkcja
spełnia:
oraz
, jest więc dobrze określoną bijekcją z odwrotnością
. Jest też funkcją ciągłą i otwartą, czyli homeomorfizmem.
Odwrotnie, niech
faktoryzuje się, jak na diagramie powyżej. Definiujemy
, gdzie
jest zanurzeniem (jest to funkcja ciągła, bo
ma topologię podprzestrzeni
). Mamy
, a zatem
jest retrakcją w
.
W całym dowodzie pozwoliliśmy sobie dla prostoty opuścić symbol złożenia funkcji.