Teoria kategorii dla informatyków/Ćwiczenia 9: Sprzężenia I: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
Linia 138: Linia 138:
 
Niech <math>P</math> będzie posetem ciągłym i dcpo. Wtedy relacja aproksymacji <math>\ll\colon P\to \mathcal{I}(P)</math> jest dobrze zdefiniowana (tj. ma odpowiedni typ). Musimy pokazać, że:
 
Niech <math>P</math> będzie posetem ciągłym i dcpo. Wtedy relacja aproksymacji <math>\ll\colon P\to \mathcal{I}(P)</math> jest dobrze zdefiniowana (tj. ma odpowiedni typ). Musimy pokazać, że:
  
<center><math>\ll x\subseteq I\iff x\leq \bigvee{}^\downarrow I</math></center>
+
<center><math>\Downarrow x\subseteq I\iff x\leq \bigvee{}^\downarrow I</math></center>
  
dla dowolnego ideału <math>I\in \mathcal{I}(P)</math> oraz elementu <math>x\in P</math>. Załóżmy, że <math>\ll x\subseteq I</math>. Wtedy <math>x=\bigvee{}^\downarrow x\leq \bigvee{}^\downarrow I</math>, co wynika z ciągłości <math>P</math> i faktu, że <math>I</math> jest większym zbiorem niż <math>\ll x</math>. Odwrotnie, jeśli <math>x\leq \bigvee{}^\downarrow I</math>, to ponieważ <math>I</math> jest zbiorem skierowanym, dla dowolnego <math>y\ll x</math> mamy <math>y\leq i</math> dla pewnego <math>i\in I</math> (wprost z definicji relacji aproksymacji). A zatem <math>\ll x\subseteq I</math>. </div></div>
+
dla dowolnego ideału <math>I\in \mathcal{I}(P)</math> oraz elementu <math>x\in P</math>. Załóżmy, że <math>\Downarrow x\subseteq I</math>. Wtedy <math>x=\bigvee{}^\downarrow x\leq \bigvee{}^\downarrow I</math>, co wynika z ciągłości <math>P</math> i faktu, że <math>I</math> jest większym zbiorem niż <math>\ll x</math>. Odwrotnie, jeśli <math>x\leq \bigvee{}^\downarrow I</math>, to ponieważ <math>I</math> jest zbiorem skierowanym, dla dowolnego <math>y\ll x</math> mamy <math>y\leq i</math> dla pewnego <math>i\in I</math> (wprost z definicji relacji aproksymacji). A zatem <math>\Downarrow x\subseteq I</math>. </div></div>

Wersja z 10:45, 5 paź 2006


==Zadanie 9.1==

Znaleźć lewe sprzężenie dla funktora zapominania , o ile istnieje.

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 9.2==

Udowodnij, że produkt jest prawym sprzężeniem przekątnej, a koprodukt - lewym sprzężeniem.

Wskazówka:
Rozwiązanie:


==Zadanie 9.3==

Znaleźć lewe i prawe sprzężenie do funktora diagonalnego typu , gdzie jest dowolną kategorią, zaś - dyskretną kategorią jednoobiektową.

Wskazówka:
Rozwiązanie:


Szereg kolejnych zadań dotyczy sprzężeń między częściowymi porządkami.

==Zadanie 9.4==

Wykaż, że topologiczna operacja wnętrza jest prawym sprzężeniem do inkluzji zbiorów otwartych w podzbiory .

Wskazówka:
Rozwiązanie:


==Zadanie 9.5==

Udowodnij, że operacje obrazu i przeciwobrazu funkcji są sprzężeniami na zbiorach potęgowych.

Rozwiązanie:


==Zadanie 9.6==

Niech będzie językiem pierwszego rzędu. Dla listy różnych zmiennych definiujemy jako zbiór tych formuł języka , których wszystkie zmienne wolne znajdują się na liście (oczywiście nie wszystkie zmienne muszą występować w formule ). Para jest preporządkiem względem syntaktycznej relacji dedukcji . Niech . Wówczas , jest funktorem, ponieważ w trywialnie implikuje w . Udowodnić, że kwantyfikator ogólny jest prawym sprzężeniem do , tj. . Jakie jest twierdzenie dualne?

Rozwiązanie:


==Zadanie 9.7==

Niech będzie dcpo, jak definiujemy to w Wykładzie 12. Wykazać, że domknięcie dolne jest prawym sprzężeniem do operacji supremum skierowanego .

Rozwiązanie:


==Zadanie 9.8==

Czy operacja , jak zdefiniowana w Zadaniu 9.7 ma lewe sprzężenie?

Wskazówka:
Rozwiązanie: