Teoria kategorii dla informatyków/Ćwiczenia 9: Sprzężenia I

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

==Zadanie 9.1==

Znaleźć lewe sprzężenie dla funktora zapominania , o ile istnieje.

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 9.2==

Udowodnij, że produkt jest prawym sprzężeniem przekątnej, a koprodukt - lewym sprzężeniem.

Wskazówka:
Rozwiązanie:


==Zadanie 9.3==

Znaleźć lewe i prawe sprzężenie do funktora diagonalnego typu , gdzie jest dowolną kategorią, zaś - dyskretną kategorią jednoobiektową.

Wskazówka:
Rozwiązanie:


Szereg kolejnych zadań dotyczy sprzężeń między częściowymi porządkami.

==Zadanie 9.4==

Wykaż, że topologiczna operacja wnętrza jest prawym sprzężeniem do inkluzji zbiorów otwartych w podzbiory .

Wskazówka:
Rozwiązanie:


==Zadanie 9.5==

Udowodnij, że operacje obrazu i przeciwobrazu funkcji są sprzężeniami na zbiorach potęgowych.

Rozwiązanie:


==Zadanie 9.6==

Niech będzie językiem pierwszego rzędu. Dla listy różnych zmiennych definiujemy jako zbiór tych formuł języka , których wszystkie zmienne wolne znajdują się na liście (oczywiście nie wszystkie zmienne muszą występować w formule ). Para jest preporządkiem względem syntaktycznej relacji dedukcji . Niech . Wówczas , jest funktorem, ponieważ w trywialnie implikuje w . Udowodnić, że kwantyfikator ogólny jest prawym sprzężeniem do , tj. . Jakie jest twierdzenie dualne?

Rozwiązanie:


==Zadanie 9.7==

Niech będzie dcpo, jak definiujemy to w Wykładzie 12. Wykazać, że domknięcie dolne jest prawym sprzężeniem do operacji supremum skierowanego .

Rozwiązanie:


==Zadanie 9.8==

Czy operacja , jak zdefiniowana w Zadaniu 9.7 ma lewe sprzężenie?

Wskazówka:
Rozwiązanie: