Teoria kategorii dla informatyków/Ćwiczenia 8: Diagramy, granice i kogranice

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Na początku zobaczmy, że istnienie granic da się w pełni wyrazić w języku funktorów reprezentowalnych.


==Zadanie 8.1==

Niech będzie kategorią, - kategorią lokalnie małą, diagramem. Udowodnić, że ma granicę wtedy i tylko wtedy, gdy funktor jest reprezentowalny.

Funktor ten definiujemy następująco:

(zbiór stożków o wierzchołku ),
Rozwiązanie:

==Zadanie 8.2==

Udowodnij następujące twierdzenie Petera Freyda: Jeśli mała kategoria jest zupełna, to jest preporządkiem.

Wskazówka:
Rozwiązanie:


==Zadanie 8.3==

Niech będzie kategorią, w której istnieją wszystkie granice typu . Udowodnij, że jest funktorem typu .

Wskazówka:
Rozwiązanie:


Uwaga
Mówimy, że funktor zachowuje granice typu , jeśli z faktu, że jest granicą diagramu wynika, że stożek jest granicą diagramu . W skrócie można to zapisać tak:

Funktor zachowujący wszystkie granice nazywa się ciągłym.


==Zadanie 8.4==

Udowodnić, że hom-funktory są ciągłe.

Wskazówka:
Rozwiązanie:


==Zadanie 8.5==

Pokażmy, że dla lokalnie małej kategorii , funktor ewaluacji

znany z Wykładu 7. i Zadania 7.1 jest ciągły.

Rozwiązanie:


==Zadanie 8.6==

Udowodnij, że funktor Yonedy jest ciągły.

Wskazówka:
Rozwiązanie:


==Zadanie 8.7==

Pokaż, że hom-funktor jest ciągły, tj.

Wskazówka:
Rozwiązanie: