Teoria kategorii dla informatyków/Ćwiczenia 7: Lemat Yonedy i funktory reprezentowalne: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
m
 
Linia 1: Linia 1:
 
  
 
==Zadanie 7.1== {{kotwica|mod7:zad1|}}
 
==Zadanie 7.1== {{kotwica|mod7:zad1|}}
Linia 78: Linia 77:
 
Z założenia wynik, że <math>\alpha\colon \mathcal{Y}(A)\to \mathcal{Y}(B)</math> jest naturalnym izomorfizmem. Zdefiniujmy dwie funkcje:
 
Z założenia wynik, że <math>\alpha\colon \mathcal{Y}(A)\to \mathcal{Y}(B)</math> jest naturalnym izomorfizmem. Zdefiniujmy dwie funkcje:
  
<center><math>f := \alpha_A(1_A)\in \mathcal{Y}(B)(A) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(A,B)</math></center>
+
<center><math>f := \alpha_A(1_A)\in \mathcal{Y}(B)(A) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(A,B),</math></center>
  
  
Linia 115: Linia 114:
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">'''Rozwiązanie:''' <div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">'''Rozwiązanie:''' <div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
  
Na podstawie [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/Wykład_5:_Funktory_i_transformacje_naturalne#mod5:ex:homfunktory|Przykładu 5.7]] prezentowanego podczas Wykładu [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/Wykład_5:_Funktory_i_transformacje_naturalne#wyklad5|5]] i Zadania [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/Ćwiczenia_5:_Funktory_i_transformacje_naturalne#mod5:zad8|5.8]], wiemy, że operacje <math>\mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(-,X)</math> i <math>\mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(X,-)</math> są funktorami dla każdego <math>X\in \mathbf{C}_0</math>. Wystarczy zatem skorzystać z [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/Ćwiczenia_5:_Funktory_i_transformacje_naturalne#mod5:zad3|Zadania 5.3]] i pokazać następującą równość:
+
Na podstawie [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/Wykład_5:_Funktory_i_transformacje_naturalne#mod5:ex:homfunktory|Przykładu 5.7]] prezentowanego podczas Wykładu [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/Wykład_5:_Funktory_i_transformacje_naturalne#wyklad5|5]]. i Zadania [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/Ćwiczenia_5:_Funktory_i_transformacje_naturalne#mod5:zad8|5.8]], wiemy, że operacje <math>\mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(-,X)</math> i <math>\mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(X,-)</math> są funktorami dla każdego <math>X\in \mathbf{C}_0</math>. Wystarczy zatem skorzystać z [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/Ćwiczenia_5:_Funktory_i_transformacje_naturalne#mod5:zad3|Zadania 5.3]] i pokazać następującą równość:
  
 
<center><math>\mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(A',g)\circ \mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(f,B)=\mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(f,B')\circ \mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(A,g),</math></center>
 
<center><math>\mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(A',g)\circ \mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(f,B)=\mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(f,B')\circ \mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(A,g),</math></center>
Linia 130: Linia 129:
  
  
<center><math>\mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(f,B)\colon \mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(A,B)\to \mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(A',B)</math></center>
+
<center><math>\mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(f,B)\colon \mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(A,B)\to \mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(A',B).</math></center>
  
 
A teraz przechodzimy do właściwego dowodu:
 
A teraz przechodzimy do właściwego dowodu:

Aktualna wersja na dzień 11:25, 27 lis 2006

==Zadanie 7.1==

Udowodnić, że jest (bi)funktorem.

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 7.2==

Udowodnić, że obiekty lokalnie małej kategorii są izomorficzne, jeśli dla każdego obiektu istnieje bijekcja , która spełnia warunek naturalności: dla każdej diagram

Tk-7.8.png

komutuje.

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 7.3==

Znaleźć reprezentację kontrawariantnego funktora potęgowego.

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 7.4==

Rozwiązać Zadanie 7.2 bez odwoływania się do własności funktora .

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 7.5==

Wykazać, że reprezentacje funktora są ze sobą izomorficzne.

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 7.6==

Udowodnij, że dla lokalnie małej kategorii , operacja jest bifunktorem.

Wskazówka:
Rozwiązanie: