Teoria kategorii dla informatyków/Ćwiczenia 7: Lemat Yonedy i funktory reprezentowalne

==Zadanie 7.1==

Udowodnić, że $\mathrm {\mathrm {ev} } _{\mathbf {C} ^{op}}$ jest (bi)funktorem.

Wskazówka:

Należy zachować spokój.

Rozwiązanie:

Zbierzmy wszystkie potrzebne dane: potrzebne są nam obiekty $X,Y,Z\in \mathbf {C} _{0}$, morfizmy $f\colon X\to Y$, $g\colon Y\to Z$, funktory $F,G,H\colon \mathbf {C} ^{op}\to \mathbf {Set}$ oraz transformacje naturalne $\phi \colon F\to G$ i $\psi \colon G\to H$.

Zachowywanie identyczności:

$\mathrm {ev} _{\mathbf {C} ^{op}}(1_{F},1_{X})=(1_{F})_{X}\circ F(1_{X})=1_{F(X)}\circ 1_{F(X)}=1_{F(X)}=1_{\mathrm {ev} _{\mathbf {C} ^{op}}(F,X)}.$

Zauważmy, że korzystamy z definicji funktora ewaluacji, definicji transformacji naturalnej $1_{X}$ i faktu, że $F$ zachowuje identyczności.

Zachowywanie złożenia:

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \mathrm{ev}_{\mathbf{C}^{op}}((\phi, f),(\psi, g)) &=& \mathrm{ev}_{\mathbf{C}^{op}}(\phi\circ \psi, f\circ_{\mathbf{C}^{op}} g)= \mathrm{ev}_{\mathbf{C}^{op}}(\phi\circ \psi, g\circ f)=(\phi\circ \psi)_X \circ H(g\circ f)= \phi_X\circ \psi_X \circ H(f)\circ H(g)= \phi_X\circ \psi_X \circ H(f)\circ H(g)=\phi_X\circ F(f)\circ \psi_Y\circ H(g)=\mathrm{ev}_{\mathbf{C}^{op}}(\phi,f)\circ \mathrm{ev}_{\mathbf{C}^{op}}(\psi, g). }

Wykorzystaliśmy kolejno: definicję złożenia w produkcie, definicję złożenia w $\mathbf {C} ^{op}$, definicję $\mathrm {ev} _{\mathbf {C} ^{op}}$, kontrawariantność $H$, naturalność $\psi$ wyrażoną diagramem:

i na końcu znów definicję $\mathrm {ev} _{\mathbf {C} ^{op}}$.

==Zadanie 7.2==

Udowodnić, że obiekty $A,B\in \mathbf {C} _{0}$ lokalnie małej kategorii $\mathbf {C}$ są izomorficzne, jeśli dla każdego obiektu $X\in \mathbf {C} _{0}$ istnieje bijekcja $f_{X}\colon \mathrm {Hom} (X,A)\to \mathrm {Hom} (X,B)$, która spełnia warunek naturalności: dla każdej $g\colon X\to Z$ diagram

komutuje.

Wskazówka:

Jakie własności mają funktory pełne i wierne?

Rozwiązanie:

Założenia implikują, że $\alpha _{X}$ jest naturalną bijekcją pomiędzy funktorami ${\mathcal {Y}}(A)$ i ${\mathcal {Y}}(B)$ w $[\mathbf {C} ^{op},\mathbf {Set} ]$, w skrócie ${\mathcal {Y}}(A)\cong {\mathcal {Y}}(B)$. Ponieważ ${\mathcal {Y}}$ jest funktorem pełnym i wiernym, więc odzwierciedla izomorfizmy (patrz Fakt 2.9). A to oznacza, że ${\mathcal {Y}}(A)\cong {\mathcal {Y}}(B)$ implikuje $A\cong B$, co pozwala nam wywnioskować $A\cong B$ i kończy dowód.

==Zadanie 7.3==

Znaleźć reprezentację kontrawariantnego funktora potęgowego.

Wskazówka:

Wiemy (Zadanie 5.5), że kontrawariantny funktor potęgowy jest izomorficzny z ${\mathcal {Y}}(2)=\mathrm {Hom} (-,2)$.

Rozwiązanie:

Udowodnimy, że $(2,\{1\})$ (jak zwykle $2:=\{0,1\}$) jest reprezentacją ${\mathcal {P}}\colon \mathbf {Set} ^{op}\to \mathbf {Set}$. W myśl Lematu 7.5 wystarczy pokazać, że dla dowolnego zbioru $Y$ i elementu $Z\in {\mathcal {P}}(Y)$ istnieje dokładnie jedna funkcja $f\colon Y\to 2$ taka, że ${\mathcal {P}}(f)(\{1\})=Z$, czyli $f^{-1}[\{1\}]=Z$. Zauważmy, że funkcja charakterystyczna $\chi _{Z}$ zbioru $Z$ spełnia ostatnie równanie. Jeśli zaś Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g^{-1}[\{ 1\}]=Z} dla pewnej funkcji Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g\colon Y\to 2} , to dla dowolnego Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle y\in Y} mamy Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g(y)=1} dokładnie wtedy, gdy Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle y\in Z} , dokładnie wtedy, gdy Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \chi_Z(y)=1} . Ponieważ Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle 2} ma tylko dwa elementy, wnioskujemy, że Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g(y)=\chi_Z(y)} . Z dowolności Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle y\in Y} wynika $g=\chi _{Z}$, czyli funkcja charakterystyczna jest jedyna. To kończy dowód.

==Zadanie 7.4==

Rozwiązać Zadanie 7.2 bez odwoływania się do własności funktora ${\mathcal {Y}}$.

Wskazówka:

Nie wolno więc bezpośrednio odwołać się do faktu, że ${\mathcal {Y}}$ jako pełny i wierny funktor odzwierciedla izomorfizmy.

Rozwiązanie:

Z założenia wynik, że $\alpha \colon {\mathcal {Y}}(A)\to {\mathcal {Y}}(B)$ jest naturalnym izomorfizmem. Zdefiniujmy dwie funkcje:

$f:=\alpha _{A}(1_{A})\in {\mathcal {Y}}(B)(A)=\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(A,B),$

$f:=\alpha _{B}^{-1}(1_{B})\in {\mathcal {Y}}(A)(B)=\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(B,A).$

Założenie naturalności transformacji $\alpha$ okazuje się być kluczem do rozwiązania: skoro diagram

komutuje, to znaczy, że $f\circ g=1_{B}$. Dualnie, $g\circ f=1_{A}$. A zatem $A\cong B$.

==Zadanie 7.5==

Wykazać, że reprezentacje funktora $F\colon \mathbf {C} ^{op}\to \mathbf {Set}$ są ze sobą izomorficzne.

Wskazówka:

Wykorzystać Lemat 7.5.

Rozwiązanie:

Niech $(X,e),(X'e')$ będą reprezentacjami funktora $F$. Ponieważ $e'\in F(X')$, więc Lemat 7.5 daje $f\colon X'\to X$ taką, że $F(f)(e)=e'$. Analogicznie istnieje $h\colon X\to X'$ z $F(h)(e')=e$. A zatem $F(h\circ f)=F(f)(F(h)(e'))=e'$ (złożenie jest napisane poprawnie, bo $F$ jest kontrawariantny!). Ponieważ również $F(1_{X'})(e')=e'$, to uniwersalność z drugiego warunku Lematu 7.5 implikuje $h\circ f=1_{X'}$. Analogicznie pokazujemy $f\circ h=1_{X}$, co świadczy o tym, że strzałki $f$ i $h$ ustanawiają izomorfizm $X\cong X'$, zaś strzałki $F(f)$ i $F(h)$ dają bijekcję $F(X)\cong F(X')$, która przeprowadza element $e$ w $e'$ i vice versa.

==Zadanie 7.6==

Udowodnij, że dla lokalnie małej kategorii $\mathbf {C}$, operacja $\mathrm {Hom} _{C}\colon \mathbf {C} ^{op}\times \mathbf {C} \to \mathbf {Set}$ jest bifunktorem.

Wskazówka:

Zamiast dowodu bezpośredniego, wykorzystaj Zadanie 5.3 charakteryzujące bifunktory.

Rozwiązanie:

Na podstawie Przykładu 5.7 prezentowanego podczas Wykładu 5. i Zadania 5.8, wiemy, że operacje $\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(-,X)$ i $\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(X,-)$ są funktorami dla każdego $X\in \mathbf {C} _{0}$. Wystarczy zatem skorzystać z Zadania 5.3 i pokazać następującą równość:

$\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(A',g)\circ \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(f,B)=\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(f,B')\circ \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(A,g),$

dla dowolnych strzałek $f\colon A'\to A$ i $g\colon B\to B'$. Zróbmy to zadanie bardzo powoli - najpierw ustalamy typy wszystkich operacji:

$\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(A',g)\colon \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(A',B)\to \mathrm {Hom} (A',B')$

$\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(A,g)\colon \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(A,B)\to \mathrm {Hom} (A,B')$

$\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(f,B')\colon \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(A,B')\to \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(A',B')$

$\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(f,B)\colon \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(A,B)\to \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(A',B).$

A teraz przechodzimy do właściwego dowodu:

$(\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(A',g)\circ \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(f,B))(p\colon A\to B)=\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(A',g)(p\circ f)=g\circ p\circ f)=\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(f,B')(g\circ p)=\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(f,B')\circ \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(A,g)(p).$