Teoria kategorii dla informatyków/Ćwiczenia 7: Lemat Yonedy i funktory reprezentowalne: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
m
 
(Nie pokazano 1 pośredniej wersji utworzonej przez tego samego użytkownika)
Linia 1: Linia 1:
 +
 
==Zadanie 7.1== {{kotwica|mod7:zad1|}}
 
==Zadanie 7.1== {{kotwica|mod7:zad1|}}
  
Linia 46: Linia 47:
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">'''Rozwiązanie:''' <div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">'''Rozwiązanie:''' <div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
  
Założenia implikują, że <math>\alpha_X</math> jest naturalną bijekcją pomiędzy funktorami <math>\mathcal{Y}(A)</math> i <math>\mathcal{Y}(B)</math> w <math>[\mathbf{C}^{op}, \mathbf{Set}]</math>, w skrócie <math>\mathcal{Y}(A)\cong \mathcal{Y}(B)</math>. Ponieważ <math>\mathcal{Y}</math> jest funktorem pełnym i wiernym, więc odzwierciedla izomorfizmy (patrz Zadanie [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/TKI_Ćwiczenia_2#mod2:fact:section| ?]]). A to oznacza, że <math>\mathcal{Y}(A)\cong \mathcal{Y}(B)</math> implikuje <math>A\cong B</math>, co pozwala nam wywnioskować <math>A\cong B</math> i kończy dowód.  
+
Założenia implikują, że <math>\alpha_X</math> jest naturalną bijekcją pomiędzy funktorami <math>\mathcal{Y}(A)</math> i <math>\mathcal{Y}(B)</math> w <math>[\mathbf{C}^{op}, \mathbf{Set}]</math>, w skrócie <math>\mathcal{Y}(A)\cong \mathcal{Y}(B)</math>. Ponieważ <math>\mathcal{Y}</math> jest funktorem pełnym i wiernym, więc odzwierciedla izomorfizmy (patrz [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/Ćwiczenia_2:_Morfizmy_specjalne#mod2:fact:section|Fakt 2.9]]). A to oznacza, że <math>\mathcal{Y}(A)\cong \mathcal{Y}(B)</math> implikuje <math>A\cong B</math>, co pozwala nam wywnioskować <math>A\cong B</math> i kończy dowód.  
 
</div></div>
 
</div></div>
  
Linia 55: Linia 56:
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">'''Wskazówka:''' <div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">'''Wskazówka:''' <div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
  
Wiemy (Zadanie [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/TKI_Ćwiczenia_5#mod5:zad6|5.5]]), że kontrawariantny funktor potęgowy jest izomorficzny z <math>\mathcal{Y}(2) = \mathrm{Hom}(-,2)</math>.
+
Wiemy (Zadanie [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/Ćwiczenia_5:_Funktory_i_transformacje_naturalne#mod5:zad6|5.5]]), że kontrawariantny funktor potęgowy jest izomorficzny z <math>\mathcal{Y}(2) = \mathrm{Hom}(-,2)</math>.
 
</div></div>
 
</div></div>
  
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">'''Rozwiązanie:''' <div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">'''Rozwiązanie:''' <div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
  
Udowodnimy, że <math>(2,\{ 1\})</math> (jak zwykle <math>2:=\{0,1\}</math>) jest reprezentacją <math>\mathcal{P}\colon \mathbf{Set}^{op}\to \mathbf{Set}</math>. W myśl Lematu [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/TKI_Moduł_7#mod7:lemma:rep|7.5]] wystarczy pokazać, że dla dowolnego zbioru <math>Y</math> i elementu <math>Z\in \mathcal{P}(Y)</math> istnieje dokładnie jedna funkcja <math>f\colon Y\to 2</math> taka, że <math>\mathcal{P}(f)(\{ 1\})=Z</math>, czyli <math>f^{-1}[\{ 1\}]=Z</math>. Zauważmy, że funkcja charakterystyczna <math>\chi_Z</math> zbioru <math>Z</math> spełnia ostatnie równanie. Jeśli zaś <math>g^{-1}[\{ 1\}]=Z</math> dla pewnej funkcji <math>g\colon Y\to 2</math>, to dla dowolnego <math>y\in Y</math> mamy <math>g(y)=1</math> dokładnie wtedy, gdy <math>y\in Z</math>, dokładnie wtedy, gdy <math>\chi_Z(y)=1</math>. Ponieważ <math>2</math> ma tylko dwa elementy, wnioskujemy, że <math>g(y)=\chi_Z(y)</math>. Z dowolności <math>y\in Y</math> wynika <math>g=\chi_Z</math>, czyli funkcja charakterystyczna jest jedyna. To kończy dowód.
+
Udowodnimy, że <math>(2,\{ 1\})</math> (jak zwykle <math>2:=\{0,1\}</math>) jest reprezentacją <math>\mathcal{P}\colon \mathbf{Set}^{op}\to \mathbf{Set}</math>. W myśl [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/Wykład_7:_Lemat_Yonedy_i_funktory_reprezentowalne#mod7:lemma:rep|Lematu 7.5]] wystarczy pokazać, że dla dowolnego zbioru <math>Y</math> i elementu <math>Z\in \mathcal{P}(Y)</math> istnieje dokładnie jedna funkcja <math>f\colon Y\to 2</math> taka, że <math>\mathcal{P}(f)(\{ 1\})=Z</math>, czyli <math>f^{-1}[\{ 1\}]=Z</math>. Zauważmy, że funkcja charakterystyczna <math>\chi_Z</math> zbioru <math>Z</math> spełnia ostatnie równanie. Jeśli zaś <math>g^{-1}[\{ 1\}]=Z</math> dla pewnej funkcji <math>g\colon Y\to 2</math>, to dla dowolnego <math>y\in Y</math> mamy <math>g(y)=1</math> dokładnie wtedy, gdy <math>y\in Z</math>, dokładnie wtedy, gdy <math>\chi_Z(y)=1</math>. Ponieważ <math>2</math> ma tylko dwa elementy, wnioskujemy, że <math>g(y)=\chi_Z(y)</math>. Z dowolności <math>y\in Y</math> wynika <math>g=\chi_Z</math>, czyli funkcja charakterystyczna jest jedyna. To kończy dowód.
 
</div></div>
 
</div></div>
  
 
==Zadanie 7.4== {{kotwica|mod7:zad4|}}
 
==Zadanie 7.4== {{kotwica|mod7:zad4|}}
  
Rozwiązać Zadanie [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/TKI_Ćwiczenia_7#mod7:zad2|7.2]] bez odwoływania się do własności funktora <math>\mathcal{Y}</math>.  
+
Rozwiązać [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/Ćwiczenia_7:_Lemat_Yonedy_i_funktory_reprezentowalne#mod7:zad2|Zadanie 7.2]] bez odwoływania się do własności funktora <math>\mathcal{Y}</math>.  
  
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">'''Wskazówka:''' <div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">'''Wskazówka:''' <div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
Linia 76: Linia 77:
 
Z założenia wynik, że <math>\alpha\colon \mathcal{Y}(A)\to \mathcal{Y}(B)</math> jest naturalnym izomorfizmem. Zdefiniujmy dwie funkcje:
 
Z założenia wynik, że <math>\alpha\colon \mathcal{Y}(A)\to \mathcal{Y}(B)</math> jest naturalnym izomorfizmem. Zdefiniujmy dwie funkcje:
  
<center><math>f := \alpha_A(1_A)\in \mathcal{Y}(B)(A) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(A,B)</math></center>
+
<center><math>f := \alpha_A(1_A)\in \mathcal{Y}(B)(A) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(A,B),</math></center>
  
  
Linia 94: Linia 95:
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">'''Wskazówka:''' <div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">'''Wskazówka:''' <div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
  
Wykorzystać Lemat [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/TKI_Moduł_7#mod7:lemma:rep|7.5]].
+
Wykorzystać [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/Wykład_7:_Lemat_Yonedy_i_funktory_reprezentowalne#mod7:lemma:rep|Lemat 7.5]].
 
</div></div>
 
</div></div>
  
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">'''Rozwiązanie:''' <div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">'''Rozwiązanie:''' <div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
  
Niech <math>(X,e),(X'e')</math> będą reprezentacjami funktora <math>F</math>. Ponieważ <math>e'\in F(X')</math>, więc Lemat [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/TKI_Moduł_7#mod7:lemma:rep|7.5]] daje <math>f\colon X'\to X</math> taką, że <math>F(f)(e)=e'</math>. Analogicznie istnieje <math>h\colon X\to X'</math> z <math>F(h)(e')=e</math>. A zatem <math>F(h\circ f)=F(f)(F(h)(e'))=e'</math> (złożenie jest napisane poprawnie, bo <math>F</math> jest kontrawariantny!). Ponieważ również <math>F(1_{X'})(e')=e'</math>, to uniwersalność z drugiego warunku Lematu [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/TKI_Moduł_7#mod7:lemma:rep|7.5]] implikuje <math>h\circ f = 1_{X'}</math>. Analogicznie pokazujemy <math>f\circ h = 1_X</math>, co świadczy o tym, że strzałki <math>f</math> i <math>h</math> ustanawiają izomorfizm <math>X\cong X'</math>, zaś strzałki <math>F(f)</math> i <math>F(h)</math> dają bijekcję <math>F(X)\cong F(X')</math>, która przeprowadza element <math>e</math> w <math>e'</math> i vice versa.
+
Niech <math>(X,e),(X'e')</math> będą reprezentacjami funktora <math>F</math>. Ponieważ <math>e'\in F(X')</math>, więc [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/Wykład_7:_Lemat_Yonedy_i_funktory_reprezentowalne#mod7:lemma:rep|Lemat 7.5]] daje <math>f\colon X'\to X</math> taką, że <math>F(f)(e)=e'</math>. Analogicznie istnieje <math>h\colon X\to X'</math> z <math>F(h)(e')=e</math>. A zatem <math>F(h\circ f)=F(f)(F(h)(e'))=e'</math> (złożenie jest napisane poprawnie, bo <math>F</math> jest kontrawariantny!). Ponieważ również <math>F(1_{X'})(e')=e'</math>, to uniwersalność z drugiego warunku [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/Wykład_7:_Lemat_Yonedy_i_funktory_reprezentowalne#mod7:lemma:rep|Lematu 7.5]] implikuje <math>h\circ f = 1_{X'}</math>. Analogicznie pokazujemy <math>f\circ h = 1_X</math>, co świadczy o tym, że strzałki <math>f</math> i <math>h</math> ustanawiają izomorfizm <math>X\cong X'</math>, zaś strzałki <math>F(f)</math> i <math>F(h)</math> dają bijekcję <math>F(X)\cong F(X')</math>, która przeprowadza element <math>e</math> w <math>e'</math> i vice versa.
 
</div></div>
 
</div></div>
  
Linia 108: Linia 109:
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">'''Wskazówka:''' <div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">'''Wskazówka:''' <div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
  
Zamiast dowodu bezpośredniego, wykorzystaj Zadanie [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/TKI_Ćwiczenia_5#mod5:zad3|5.3]] charakteryzujące bifunktory.   
+
Zamiast dowodu bezpośredniego, wykorzystaj [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/Ćwiczenia_5:_Funktory_i_transformacje_naturalne#mod5:zad3|Zadanie 5.3]] charakteryzujące bifunktory.   
 
</div></div>
 
</div></div>
  
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">'''Rozwiązanie:''' <div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">'''Rozwiązanie:''' <div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
  
Na podstawie Przykładu [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/TKI_Moduł_5#mod5:ex:homfunktory|5.7]] prezentowanego podczas Wykładu [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/TKI_Moduł_5#wyklad5|5]] i Zadania [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/TKI_Ćwiczenia_5#mod5:zad8|5.8]], wiemy, że operacje <math>\mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(-,X)</math> i <math>\mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(X,-)</math> są funktorami dla każdego <math>X\in \mathbf{C}_0</math>. Wystarczy zatem skorzystać z Zadania [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/TKI_Ćwiczenia_5#mod5:zad3|5.3]] i pokazać następującą równość:
+
Na podstawie [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/Wykład_5:_Funktory_i_transformacje_naturalne#mod5:ex:homfunktory|Przykładu 5.7]] prezentowanego podczas Wykładu [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/Wykład_5:_Funktory_i_transformacje_naturalne#wyklad5|5]]. i Zadania [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/Ćwiczenia_5:_Funktory_i_transformacje_naturalne#mod5:zad8|5.8]], wiemy, że operacje <math>\mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(-,X)</math> i <math>\mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(X,-)</math> są funktorami dla każdego <math>X\in \mathbf{C}_0</math>. Wystarczy zatem skorzystać z [[Teoria_kategorii_dla_informatyków/Ćwiczenia_5:_Funktory_i_transformacje_naturalne#mod5:zad3|Zadania 5.3]] i pokazać następującą równość:
  
 
<center><math>\mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(A',g)\circ \mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(f,B)=\mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(f,B')\circ \mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(A,g),</math></center>
 
<center><math>\mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(A',g)\circ \mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(f,B)=\mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(f,B')\circ \mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(A,g),</math></center>
Linia 128: Linia 129:
  
  
<center><math>\mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(f,B)\colon \mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(A,B)\to \mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(A',B)</math></center>
+
<center><math>\mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(f,B)\colon \mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(A,B)\to \mathrm{Hom}_{\mathbf{C}}(A',B).</math></center>
  
 
A teraz przechodzimy do właściwego dowodu:
 
A teraz przechodzimy do właściwego dowodu:

Aktualna wersja na dzień 11:25, 27 lis 2006

==Zadanie 7.1==

Udowodnić, że jest (bi)funktorem.

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 7.2==

Udowodnić, że obiekty lokalnie małej kategorii są izomorficzne, jeśli dla każdego obiektu istnieje bijekcja , która spełnia warunek naturalności: dla każdej diagram

Tk-7.8.png

komutuje.

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 7.3==

Znaleźć reprezentację kontrawariantnego funktora potęgowego.

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 7.4==

Rozwiązać Zadanie 7.2 bez odwoływania się do własności funktora .

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 7.5==

Wykazać, że reprezentacje funktora są ze sobą izomorficzne.

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 7.6==

Udowodnij, że dla lokalnie małej kategorii , operacja jest bifunktorem.

Wskazówka:
Rozwiązanie: