Teoria kategorii dla informatyków/Ćwiczenia 2: Morfizmy specjalne

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

==Zadanie 2.1==

Udowodnij, że jeśli jest obiektem końcowym w kategorii , to każdy morfizm, którego dziedziną jest , jest sekcją.

Wskazówka:
Rozwiązanie:


==Zadanie 2.2==

Udowodnij Fakt 2.5.

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 2.3==

Udowodnij Fakt 2.9.

Rozwiązanie:

==Zadanie 2.4==

Wykaż, że zrozumienie relacji pomiędzy sekcjami i monomorfizmami oraz retrakcjami i epimorfizmami zawsze da się jeszcze trochę utrudnić, tzn. udowodnij, że:

  1. morfizm jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest retrakcją i monomorfizmem;
  2. morfizm jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest sekcją i epimorfizmem;
  3. każdy wierny funktor odzwierciedla monomorfizmy i epimorfizmy;
  4. każdy funktor reprezentowalny zachowuje monomorfizmy.
Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 2.5==

Udowodnij, że w zdanie każdy epimorfizm jest retrakcją, jest równoważny pewnikowi wyboru.

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 2.6==


Udowodnij Twierdzenie 2.12, tzn. pokaż, że retrakt dziedziny ciągłej jest dziedziną ciągłą.

Rozwiązanie:

==Zadanie 2.7==

Udowodnij Twierdzenie 2.13, tzn. pokaż, że każda dziedzina ciągłą jest retraktem dziedziny algebraicznej.

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 2.8==

Udowodnij, że w parze e-p, funkcja jest injekcją, zachowuje istniejące suprema i relację aproksymacji, zaś funkcja jest surjekcją i zachowuje istniejące infima. Co więcej, pokaż, że funkcje i wzajemnie się wyznaczają, to znaczy, jeśli zanurzeniem w pewnej parze e-p, to projekcja może być wydefiniowana z jako dla i vice versa: jeśli jest projekcją w parze e-p, to dla .

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 2.9==


Udowodnij, że w morfizm jest retrakcją wtedy i tylko wtedy, gdy jest retrakcją topologiczną, tj.: Istnieje podprzestrzeń przestrzeni oraz ciągła oraz homeomorfizm takie, że

oraz diagram

Tk-2.11.png

komutuje.

Rozwiązanie: