Teoria kategorii dla informatyków/Ćwiczenia 15: Algebry i koalgebry endofunktorów: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
m (Zastępowanie tekstu - "\endaligned" na "\end{align}")
m (Zastępowanie tekstu - "\aligned" na "\begin{align}")
 
Linia 159: Linia 159:
 
Po drugie, sprawdzamy że:
 
Po drugie, sprawdzamy że:
  
<center><math>\aligned
+
<center><math>\begin{align}
 
(\mathtt{zip}(\mathtt{par}(\sigma),\mathtt{npar}(\sigma))',\sigma ') &=& (\mathtt{zip}(\mathtt{npar}(\sigma),\mathtt{par}(\sigma)'),\sigma ')\\
 
(\mathtt{zip}(\mathtt{par}(\sigma),\mathtt{npar}(\sigma))',\sigma ') &=& (\mathtt{zip}(\mathtt{npar}(\sigma),\mathtt{par}(\sigma)'),\sigma ')\\
 
&=&
 
&=&
Linia 180: Linia 180:
 
oraz
 
oraz
  
<center><math>\aligned
+
<center><math>\begin{align}
 
(\mathtt{zip}(\mathtt{npar}(\sigma),\mathtt{par}(\sigma''))',\sigma '') &=& (\mathtt{zip}(\mathtt{par}(\sigma '' ),\mathtt{npar}(\sigma)'),\sigma '')\\
 
(\mathtt{zip}(\mathtt{npar}(\sigma),\mathtt{par}(\sigma''))',\sigma '') &=& (\mathtt{zip}(\mathtt{par}(\sigma '' ),\mathtt{npar}(\sigma)'),\sigma '')\\
 
&=& (\mathtt{zip}(\mathtt{par}(\sigma''
 
&=& (\mathtt{zip}(\mathtt{par}(\sigma''

Aktualna wersja na dzień 12:41, 9 cze 2020

==Zadanie 15.1==

Udowodnij, że koalgebry i ich homomorfizmy tworzą kategorię.

Rozwiązanie:

==Zadanie 15.2==

Udowodnij, że -algebra jest początkowa.

Wskazówka:
Rozwiązanie:


==Zadanie 15.3==

Zdefiniować dodawanie liczb naturalnych przez indukcję, korzystając z początkowości algebry .

Wskazówka:
Rozwiązanie:


==Zadanie 15.4==

Pokaż, że dla koalgebr , , funkcja jest homomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jej graf jest bisymulacją.

Rozwiązanie:


==Zadanie 15.5==

Niech . Wskaż bisymulacje między -koalgebrami i .

Wskazówka:
Rozwiązanie:


==Zadanie 15.6==

Udowodnij, że: (a) przekątna jest bisymulacją na ; (b) relacja odwrotna do bisymulacji jest bisymulacją.

Wskazówka:
Rozwiązanie:


==Zadanie 15.7==

Zdefiniuj koindukcyjnie dwie operacje , na nieskończonych listach, tak aby:


Rozwiązanie:


==Zadanie 15.8==

Udowodnij koindukcyjnie, że dla funkcji , , zdefiniowanych podczas wykładu zachodzi równość:

Wskazówka:
Rozwiązanie: