Teoria kategorii dla informatyków/Ćwiczenia 15: Algebry i koalgebry endofunktorów

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

==Zadanie 15.1==

Udowodnij, że koalgebry i ich homomorfizmy tworzą kategorię.

Rozwiązanie:

==Zadanie 15.2==

Udowodnij, że -algebra jest początkowa.

Wskazówka:
Rozwiązanie:


==Zadanie 15.3==

Zdefiniować dodawanie liczb naturalnych przez indukcję, korzystając z początkowości algebry .

Wskazówka:
Rozwiązanie:


==Zadanie 15.4==

Pokaż, że dla koalgebr , , funkcja jest homomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jej graf jest bisymulacją.

Rozwiązanie:


==Zadanie 15.5==

Niech . Wskaż bisymulacje między -koalgebrami i .

Wskazówka:
Rozwiązanie:


==Zadanie 15.6==

Udowodnij, że: (a) przekątna jest bisymulacją na ; (b) relacja odwrotna do bisymulacji jest bisymulacją.

Wskazówka:
Rozwiązanie:


==Zadanie 15.7==

Zdefiniuj koindukcyjnie dwie operacje , na nieskończonych listach, tak aby:


Rozwiązanie:


==Zadanie 15.8==

Udowodnij koindukcyjnie, że dla funkcji , , zdefiniowanych podczas wykładu zachodzi równość:

Wskazówka:
Rozwiązanie: