Teoria kategorii dla informatyków/Ćwiczenia 14: Teoria dziedzin III

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

==Zadanie 14.1==

Udowodnić, że w są granice dowolnych diagramów.

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 14.2==

Udowodnić Lemat 14.5.

Rozwiązanie:


Poniższe zadania zawierają przykłady rozwiązań rekursywnych równań w kategorii . Wszystkie te rozwiązania konstruujemy w następujący sposób: mając dany lokalnie ciągły funktor , definiujemy rekursywnie ciąg kolejnych dcpo, poczynając od posetu jednoelementowego (czyli elementu końcowego w ):



wraz z odpowiednimi, naturalnymi parami e-p. Taki ciąg tworzy diagram. Funktor , zgodnie z Lematem 14.7, rozszerza się do funktora ciągłego, a zatem Lemat 14.5 mówi, że dla granicy diagramu mamy . W poniższych zadaniach zamiast podawania szczegółowych dowodów kładziemy nacisk na intuicyjne zrozumienie konstrukcji dla prostych funktorów.

==Zadanie 14.3==

Znaleźć punkt stały funktora , który dodaje element najmniejszy: .

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 14.4==

Znajdź rozwiązanie równania:

gdzie jest koproduktem w kategorii .

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 14.5==

Znaleźć rozwiązanie równania:

gdzie jest sumą rozłączna i , do której dodany jest nowy element najmniejszy.

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 14.6==

Rozwiązać równanie:

Rozwiązanie:


==Zadanie 14.7==

Rozwiązać równanie:

gdzie: to znane z Zadania 14.4 płaskie liczby naturalne, zaś jest funktorem przypisującym dcpo , ich produkt zredukowany (ang. smash product) . Produkt zredukowany jest ilorazem produktu przez relację równoważności , która identyfikuje ze sobą wszystkie elementy produktu, w których na choćby jednej współrzędnej znajduje się .

Rozwiązanie: