Teoria kategorii dla informatyków/Ćwiczenia 12: Teoria dziedzin I

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

==Zadanie 12.1==

Niech będzie częściowym porządkiem i niech . Pokaż, że jeśli to istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje i w obu przypadkach te suprema są sobie równe.

Wskazówka:
Rozwiązanie:


==Zadanie 12.2==

Niech będzie skierowaną przez inkluzję rodziną skierowanych podzbiorów posetu . Udowodnij, że jest skierowanym podzbiorem .

Wskazówka:
Rozwiązanie:


==Zadanie 12.3==

Niech będzie dowolną indeksowaną rodziną podzbiorów częściowego porządku posiadających suprema w . Pokaż, że zbiory oraz mają te same ograniczenia górne (a co za tym suprema, o ile chociaż jedno z nich istnieje).

Wskazówka:
Rozwiązanie:


==Zadanie 12.4==

Niech będzie częściowym porządkiem, oraz . Udowodnij, że jest skierowany wtedy i tylko wtedy, gdy jest skierowany. Wyciągnij wniosek, że dowolny podzbiór posetu jest skierowany wtedy i tylko wtedy, gdy jego domknięcie dolne jest skierowany.

Rozwiązanie:


==Zadanie 12.5==

Niech będzie częściowym porządkiem. Pokaż, że jeśli jest podzbiorem skierowanym , który posiada supremum, zaś pewnym podzbiorem oraz , to jest skierowany i jego supremum jest równe supremum .

Wskazówka:
Rozwiązanie:


==Zadanie 12.6==

Niech będzie częściowym porządkiem. Udowodnij, że dwa poniższe warunki są równoważne: (i) każdy podzbiór ograniczony z góry posiada supremum; (ii) każdy niepusty podzbiór posiada infimum.

Rozwiązanie:


==Zadanie 12.7==

Wskaż taki częściowy porządek , że:

  1. jest dcpo, ale nie jest bc-zupełny,
  2. jest ciągły, ale nie jest algebraiczny,
  3. jest nieciągły i jest dcpo,
  4. nie jest dcpo, ale jest ciągły,
  5. jego relacja aproksymacji jest pusta.


Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 12.8==

Pokazać, że w przestrzeni topologicznej , która jest zachodzi , gdzie jest porządkiem specjalizacji.

Wskazówka:
Rozwiązanie:


==Zadanie 12.9==

Niech oznacza topologię Scotta na posecie ciągłym . Pokaż, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\uparrowarrow”): {\displaystyle \mathbf{int}_{\sigma}(\uparrowarrow x) = \Uparrow x} dla dowolnego .

Wskazówka:
Rozwiązanie:


==Zadanie 12.10==

Pokazać, że topologia Scotta na dowolnym posecie ciągłym ma bazę złożoną z filtrów.

Wskazówka:
Rozwiązanie: