Teoria kategorii dla informatyków/Ćwiczenia 11: Monady

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

==Zadanie 11.1==

Udowodnij, że jeśli oraz , to naturalność implikuje, że poniższy diagram:

Tk-11.5.png

komutuje.

Rozwiązanie:


==Zadanie 11.2==

Niech będzie monadą nad . Pokaż że dla dowolnego , para jest -algebrą.

Wskazówka:
Rozwiązanie:


==Zadanie 11.3==

Udowodnij Twierdzenie 11.2.

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 11.4==

Niech będzie monadą nad posetem . Pokaż, od jakiego sprzężenia pochodzi ta monada.

Wskazówka:
Rozwiązanie:


==Zadanie 11.5==

Udowodnij, że jest monadą nad dla kowariantnego funktora potęgowego .

Rozwiązanie:

==Zadanie 11.6==

Niech będzie monoidem. Udowodnij, że funktor

wraz z transformacjami naturalnymi oraz definiuje monadę , której -algebrami są -automaty.

Rozwiązanie:

==Zadanie 11.7==

Udowodnij, że funktor , który dodaje do posetu nowy element najmniejszy wraz z funktorem zapominania indukuje monadę nad . Jakie są algebry dla tej monady?

Wskazówka:
Rozwiązanie:

==Zadanie 11.8==

Wykaż, że algebrami dla monady nad indukowanej przez kowariantny funktor potęgowy są półkraty zupełne i homomorfizmy tych półkrat (tzn. funkcje zachowujące dowolne suprema).

Wskazówka:
Rozwiązanie:


==Zadanie 11.9==

Wykaż, że sprzężenie , od którego pochodzi monada jest obiektem końcowym pewnej kategorii, w następującym sensie: jeśli dla jest sprzężeniem, które indukuje , to istnieje dokładnie jeden funktor taki, że dwa poniższe diagramy komutują:

Tk-11.15.png

Taki funktor nazywa się funktorem porównawczym (ang. comparison functor) dla sprzężenia .

Uwaga
Dowodzi się, że sprzężenie rzeczywiście nie jest jedynym, które indukuje , a zatem w ogólności nie trywializuje się. Okazuje się, że dla można skonstruować tak zwaną kategorię Kliesliego oznaczaną , która jest w ogólności różna od i parę funktorów z , gdzie to sprzężenie indukuje . Dalsze wiadomości na ten temat można znaleźć na przykład w podręczniku Saundersa Mac Lane'a pt. Categories for the Working Mathematician, Springer, 1997.
Wskazówka:
Rozwiązanie: