Teoria informacji/TI Wykład 10

Z Studia Informatyczne
< Teoria informacji
Wersja z dnia 13:46, 29 lip 2006 autorstwa Stromy (dyskusja | edycje)
(różn.) ← poprzednia wersja | przejdź do aktualnej wersji (różn.) | następna wersja → (różn.)
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Efektywne kodowanie wiadomości

Dla pary wejście-wyjście (A,B), rozważmy dodatkową zmienną losową

możemy ją interpretować jako sygnaturę błędu w czasie transmisji. Zachodzi równość

Wynika to z definicji BSC:

i zauważenia że


Rozważmy teraz sekwencję par wejście-wyjście , zachowującą niezależność symboli. Implikuje to że zmienne losowe (gdzie są niezależne (zauważmy że implikacja w drugą stronę nie zawsze zachodzi): Używając notacji lub po prostu na oznaczenie możemy to zapisać

.

Używając niezależności symboli oraz TODO dostajemy

dla dowolnego . A więc


Załóżmy że dysponujemy opisanym wyżej symetrycznym kanałem w którym P>Q, i chcemy przesyłać nim wartości zmiennej losowej X o wartościach z . We wcześniejszych wykładach poznaliśmy techniki efektywnego kodowania wartości. Jeśli kanał jest wierny, wystarczy że znajdziemy optymalne kodowanie i będziemy wysyłać bit po bicie. Oczekiwana długość (czas) transmisji będzie ograniczony wtedy przez H(X)+1 (link TODO). Z drugiej strony, zawsze możemy zakodować używając ciągów długości , co daje nam ograniczenie na pesymistyczny czas transmisji (te dwa ograniczenia mogą nie dać się zachować jednocześnie dla żadnego kodowania).

Jeśli jednak kanał nie jest wierny, ta metoda będzie prowadziła do błędów. Przykład TODO pokazuje że będziemy musieli użyć redundantnego, a więc nieoptymalnego kodowania. Zajmiemy się teraz szukaniem metod pogodzenia tych dwóch przeciwstawnych celów:

  • używaniem jak najmniejszej redundancji
  • zmiejszenia prawdopodobieństwa błędu do jak najniższego poziomu

Ogólny schemat postępowania będzie następujący


Algorytm transmisji

(dla zmiennej losowej X o wartościach w  i kanału )
1. Wybierz  i  takie że 
2. Ustal bijekcję  (oczywiście taki kod będzie bezprefiksowy). 
3. Prześlij ciąg znaków  przez kanał  bit po bicie, 
otrzymując na wyjściu .
4. Aby odkodować wiadomość wybierz  takie dla którego  jest maksymalne


Zakładając że kanał jest bezstanowy i pozbawiony feedbacku (link TODO), mamy

Użyta reguła dekodowania wskazuje zatem dla każdego ciągu ciąg , najbliższy możliwy w sensie odległości Hamminga (jeśli jest kilka równie odległych to wybierany jest któryś z nich). Jest to tak zwana reguła dobrosąsiedzka.

Dla uproszczenia możemy utożsamić z C (za pomocą bijekcji ) i traktować X jako zmienną losową o wartościach w C.

Na opisaną powyżej procedurę możemy patrzeć jak na nowy kanał (z C do C):

z prawdopodobieństwem błędu


Naszą pierwszą obserwacją będzie fakt że najgorszym możliwym rozkładem X jest rozkład jednostajny ( dla )

Fakt

Niech X i U będą dwiema zmiennymi losowymi o wartościach w . U niech będzie miała rozkład losowy, a X dowolny. Wtedy istnieje permutacja taka że

Dowód

TODO End of proof.gif

Przy analizowaniu jakości naszych metod możemy zatem bez utraty ogólności zakładać że rozkład X jest jednostajny. W takim przypadku zależy jedynie od C, a więc możemy używać notacji .

Redundancję mierzymy porównując entropię C (o wartości ) (link TODO), z faktyczną długością kodu (w naszym przypadku n).


Definicja [Szybkość transmisji]

Szybkością transmisji kodu nazywamy wartość

Intuicyjnie możemy rozumieć że aby przesłać bitów informacji, używamy faktycznie n bitów, a więc przesyłamy bity z szybkością </math> bitów na znak.

Dwa warunki jakie postawiliśmy w TODO oznaczają teraz że chcemy zminimalizować zarówno jak i R(C).


Przykład [Wadliwa maszyna do pisania]

Wrócimy do przykładu wadliwej maszyny do pisania (link TODO). Z pewnością taki kanał generuje bardzo dużo błędów. Jednak jeśli użyjemy tylko nieparzystych liter () to będziemy mogli zawsze odkodować wiernie otrzymane znaki.

Czy możemy użyć tej obserwacji do przesyłania dowolnych wiadomości?

Najprostszym pomysłem jest kodowanie liter jako par, używając wciąż tylko połowy znaków, np.:

Szybkość transmisji w tym przypadku wynosi . Czy można to zrobić lepiej?

Jeśli mielibyśmy dodatkowy symbol, np. #, który potrafilibyśmy odkodować bezbłędnie, moglibyśmy zakodować symbole w następujący sposób:

Średnia długość kodu wynosi tu , a więc szybkość transmisji wynosi . Możemy tę metodę wykorzystać bez rozszerzania alfabetu, wybierając jedną literę, np. a, aby grała rolę #, i kodując a przez aa, b przez ca i c przez cc (aby zachować bezprefiksowość kodu). Uzyskamy wtedy szybkość transmisji niewiele mniejszą niż . Rozwinięcie tej metody pozwala podnieść szybkość transmisji do wartości bliskiej 1 (TODO ćwiczenie).


Przykład [Wielokrotny BSC]

W tym przykładzie rozważmy kanał BSC i poprawienie jego jakości przez wysłanie każdego bitu wielokrotnie (link TODO). Niech i niech . Wtedy dowolny ciąg bitów możemy zakodować jako , uzyskując kod o szybkości transmisji . Podobna analiza jak (link TODO) pokazuje że dla dowolnego k jesteśmy w stanie zmniejszyć do dowolnie małej wartości, wystarczająco wydłużając l. Oznacza to że teoretycznie, o ile kanał nie jest całkowicie chaotyczny (czyli ), możemy nim przesyłać wiadomości z dowolnie małym prawdopodobieństwem błędu - ale ceną za to jest spowalnianie prędkości transmisji prawie do zera.


Główne Twierdzenie Shannona mówi że sytuacja w rzeczywistości jest o wiele lepsza. Możemy osiągnąć to samo zachowując szybkość transmisji bliską pewnej stałej, konkretnie (link TODO) przepustowości kanału .

Zanim przejdziemy do samego twierdzenie pokażemy dolne ograniczenie, dowodzące że lepszej szybkości transmisji w ogólności nie da się uzyskać. Zaczniemy od dowiedzenia tego gdy prawdopodobieństwo błędu musi być zerowe, i w dalszej części pokażemy jak ten dowód rozszerza się na dodatnie prawdopodobieństwa. Tutaj może być dowolnym kanałem, ale jak zwykle zakładamy niezależność symboli.


Fakt [Przepustowość kanału]

Jeśli to

Dowód

Niech i będą zmiennymi z (link TODO) algortymu transmisji. Używając niezależności symboli możemy łatwo policzyć że
.

Wiemy ponadto (link TODO) że

Czyli

(z definicji )

Z drugiej strony mamy

(gdzie ). Tutaj ma wartość zero, ponieważ założenie implikuje że X jest funkcją Y (konkretnie . Ponadto gdyż X ma rozkład jednostajny. Ostatecznie zatem

jak zakładaliśmy. End of proof.gif

Fakt

Korzystając z ciągłości, możemy łatwo pokazać że osłabienie warunku do dla pewnego daje w powyższym dowodzie (dla pewnej ciągłej i ograniczonej funkcji ). Z tego dostajemy

i ostatecznie

Z grubsza oznacza to że jeśli chcemy uzyskać małe prawdopodobieństwo błędu, szybkość transmisji nie może być wiele większa niż .