Teoria informacji/TI Ćwiczenia 3
Ćwiczenia
Ćwiczenie 1 [Sfałszowana moneta]
Monetę nazywamy sfałszowaną, jeśli prawdopodobieństwo wypadnięcia orła jest inne niż reszki.
Jak przy pomocy sfałszowanej monety dokonać sprawiedliwego losowania między dwiema osobami?
Ćwiczenie 2 [Moneta dla trzech]
Ćwiczenie 3 [Magiczna sztuczka]
W pewnej magicznej sztuczce bierze udział magik, jego asystent i ochotnik z widowni. Asystent, którego nadnaturalne zdolności mają być pokazane, jest zamykany w dźwiękoszczelnym pomieszczeniu. Magik daje ochotnikowi 6 pustych kart: 5 białych i jedną zieloną. Ochotnik ma na każdej z kart napisać inną liczbę naturalną pomiędzy 1 a 100. Ochotnik zatrzymuje zieloną kartę, i oddaje pozostałe karty magikowi. Magik, który widział wszystkie pisane liczby, ustawia białe karty w jakiejś kolejności i przekazuje je asystentowi. Asystent po obejrzeniu kart ogłasza jaki numer został napisany na zielonej karcie.
Wyjaśnij jak ta sztuczka działa.
Ćwiczenie 4 [Entropia jako metryka]
Dla rozkładów X i Y definiujemy funkcję
. Pokaż, że funkcja ta spełnia warunki metryki:- a)
- b)
- c) istnieje bijekcja między X a Y
- d)
Zadania domowe
Zadanie 1 - Efektywne testy przesiewowe
Załóżmy, że mamy do przebadania pod kątem obecności jakiegoś wirusa
próbek krwi. Prawdopodobieństwo pozytywnego wyniku dla każdej próbki jest niewielkie (np. ), a każdy test jest kosztowny. Zamiast badać każdą próbkę osobno, możemy badać zmieszane fragmenty próbek. Zakładamy wtedy, że wynik jest pozytywny jeśli choć jedna z wymieszanych próbek zawierała wirusa. Zakładamy też, że każdą próbkę możemy podzielić na wystarczająco wiele fragmentów. Ostatecznie musimy jednak dla każdej próbki wiedzieć bez wątpliwości czy zawiera wirusa, czy nie. O ile możemy zmniejszyć oczekiwaną liczbę testów do wykonania? Zaprojektuj efektywne badanie dla i i policz oczekiwaną liczbę testów.
Zadanie 2 - Optymalność kodu Huffmana
Udowodnij, że kod Huffmana dla źródeł binarnych ma optymalną długość. Zacznij od udowodnienia, że każde źródło ma kod optymalny, w którym dwa najdłuższe słowa kodowe są rodzeństwem (różnią się tylko ostatnim bitem). Uogólnij to rozumowanie na źródła o dowolnej ilości symboli i udowodnij optymalność kodu Huffmana w ogólnym przypadku.
Jeśli kod Huffmana jest optymalny, dlaczego używa się wielu różnych metod kompresji?