Teoria informacji/TI Ćwiczenia 11: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
 
 
Linia 13: Linia 13:
  
 
{{cwiczenie|[Kody wykrywające i poprawiające błędy]|kwb|
 
{{cwiczenie|[Kody wykrywające i poprawiające błędy]|kwb|
Jaka musi być odległość pomiędzy słowami kodowymi aby możliwe było wykrycie <math>r</math> błędów podczas transmisji?
+
Jaka musi być odległość pomiędzy słowami kodowymi, aby możliwe było wykrycie <math>r</math> błędów podczas transmisji?
Jaka musi być odległość aby możliwe było naprawienie <math>r</math> błędów?}}
+
Jaka musi być odległość, aby możliwe było naprawienie <math>r</math> błędów?}}
  
  
Linia 21: Linia 21:
 
=== Zadanie 1 - Kanał bajtowy ===
 
=== Zadanie 1 - Kanał bajtowy ===
  
Kanał Q na wejściu przekształca ośmiobitowe wejście na ośmiobitowe wyjście, w ten sposób że zawsze dokładnie jeden bit z ośmiu zostanie odwrócony. Każdy bit ma taką samą szansę na bycie odwróconym, a pozostałe 7 bitów jest przekazywanych poprawnie. Oblicz przepustowość tego kanału.
+
Kanał Q na wejściu przekształca ośmiobitowe wejście na ośmiobitowe wyjście w ten sposób, że zawsze dokładnie jeden bit z ośmiu zostanie odwrócony. Każdy bit ma taką samą szansę na bycie odwróconym, a pozostałe 7 bitów jest przekazywanych poprawnie. Oblicz przepustowość tego kanału.
  
Zaprojektuj kod który pozwala przekazywać bezbłędnie (z zerowym prawdopodobieństwem błędu) informacje przez ten kanał z szybkością 5 bitów/słowo.
+
Zaprojektuj kod, który pozwala przekazywać bezbłędnie (z zerowym prawdopodobieństwem błędu) informacje przez ten kanał z szybkością 5 bitów/słowo.
  
 
{{wskazowka|||  
 
{{wskazowka|||  
Linia 36: Linia 36:
 
=== Zadanie 2 - Przekazywanie skorelowanych danych ===
 
=== Zadanie 2 - Przekazywanie skorelowanych danych ===
  
Wyobraźmy sobie że chcemy przekazywać dane z dwóch źródeł <math>A</math> i <math>B</math> do centrum <math>C</math> przez wierne jednokierunkowe kanały. Sygnały <math>x^{(A)}</math> i <math>x^{(B)}</math> są silnie skorelowane, tak że ich entropia łączna jest niewiele większa niż entropia każdego z nich. Przykładowo <math>C</math> może być centrum meteorologicznym, które chce otrzymywać w sposób ciągły informacje z dwóch niezbyt odległych punktów A i B dotyczące tego czy w danym punkcie pada czy nie. Rozkład prawdopodobieństwa pary <math>(x^{(A)},x^{(B)})</math> może być następujący:
+
Wyobraźmy sobie, że chcemy przekazywać dane z dwóch źródeł <math>A</math> i <math>B</math> do centrum <math>C</math> przez wierne jednokierunkowe kanały. Sygnały <math>x^{(A)}</math> i <math>x^{(B)}</math> są silnie skorelowane, tak że ich entropia łączna jest niewiele większa niż entropia każdego z nich. Przykładowo, <math>C</math> może być centrum meteorologicznym, które chce otrzymywać w sposób ciągły informacje z dwóch niezbyt odległych punktów A i B, dotyczące tego, czy w danym punkcie pada, czy nie. Rozkład prawdopodobieństwa pary <math>(x^{(A)},x^{(B)})</math> może być następujący:
 
<center><math>
 
<center><math>
 
\begin{matrix}   
 
\begin{matrix}   
Linia 52: Linia 52:
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Zależy nam na tym żeby ograniczać komunikację (bo np. jest kosztowna). Zaprojektuj mechanizm kodowania dla źródeł  
+
Zależy nam na tym, żeby ograniczać komunikację (bo np. jest kosztowna). Zaprojektuj mechanizm kodowania dla źródeł  
<math>A</math> i <math>B</math> taki który wykorzystuje sumarycznie mniej niż dwa bity na każdą przekazaną parę. Jaka jest minimalna wymagana liczba bitów/parę które muszą przekazać źródła żeby centrum mogło odtworzyć wartości obu zmiennych?
+
<math>A</math> i <math>B</math> taki, który wykorzystuje sumarycznie mniej niż dwa bity na każdą przekazaną parę. Jaka jest minimalna wymagana liczba bitów/parę, które muszą przekazać źródła żeby centrum mogło odtworzyć wartości obu zmiennych?
  
  
 
=== Zadanie 3 - Kanał z wieloma wejściami ===
 
=== Zadanie 3 - Kanał z wieloma wejściami ===
  
Wyobraźmy sobie kanał który ma dwa wejścia i jedno wyjście - na przykład dzieloną linię telefoniczną. W najprostszym modelu wejścia będą binarne <math>x^A</math> i <math>x^B</math>, a wyjście <math>y</math> trynarne, równe sumie wejść: 0, 1 lub 2. Nie ma żadnych zakłóceń transmisji. Nadawcy A i B nie mogą się ze sobą komunikować, i nie słyszą wyjścia z kanału. Jeśli na wyjściu jest 0, odbiorca wie na pewno że oba wejścia mają wartość 0. Podobnie jeśli na wyjściu jest 2 - oba wejścia musiały być ustawione na 1. Ale jeśli na wyjściu jest 1, wejściowy stan może być (0,1) lub (1,0).  
+
Wyobraźmy sobie kanał, który ma dwa wejścia i jedno wyjście - na przykład dzieloną linię telefoniczną. W najprostszym modelu wejścia będą binarne <math>x^A</math> i <math>x^B</math>, a wyjście <math>y</math> trynarne, równe sumie wejść: 0, 1 lub 2. Nie ma żadnych zakłóceń transmisji. Nadawcy A i B nie mogą się ze sobą komunikować i nie słyszą wyjścia z kanału. Jeśli na wyjściu jest 0, odbiorca wie na pewno, że oba wejścia mają wartość 0. Podobnie jeśli na wyjściu jest 2 - oba wejścia musiały być ustawione na 1. Ale jeśli na wyjściu jest 1, wejściowy stan może być (0,1) lub (1,0).  
 
Łatwo zaprojektować system kodowania dla A i B który osiąga sumaryczną szybkość transmisji <math>R_A+R_B=1</math>. Czy da się to zrobić lepiej? Zaprojektuj kod lepiej wykorzystujący ten kanał i znajdź górną granicę na sumaryczną szybkość transmisji źródeł.
 
Łatwo zaprojektować system kodowania dla A i B który osiąga sumaryczną szybkość transmisji <math>R_A+R_B=1</math>. Czy da się to zrobić lepiej? Zaprojektuj kod lepiej wykorzystujący ten kanał i znajdź górną granicę na sumaryczną szybkość transmisji źródeł.

Aktualna wersja na dzień 10:38, 20 wrz 2006

Ćwiczenia

Ćwiczenie [Kanał Q]

Znajdź optymalny rozkład prawdopodobieństwa wejściowego i przepustowość kanału opisanego macierzą


Ćwiczenie [Kody wykrywające i poprawiające błędy]

Jaka musi być odległość pomiędzy słowami kodowymi, aby możliwe było wykrycie błędów podczas transmisji?

Jaka musi być odległość, aby możliwe było naprawienie błędów?


Zadania domowe

Zadanie 1 - Kanał bajtowy

Kanał Q na wejściu przekształca ośmiobitowe wejście na ośmiobitowe wyjście w ten sposób, że zawsze dokładnie jeden bit z ośmiu zostanie odwrócony. Każdy bit ma taką samą szansę na bycie odwróconym, a pozostałe 7 bitów jest przekazywanych poprawnie. Oblicz przepustowość tego kanału.

Zaprojektuj kod, który pozwala przekazywać bezbłędnie (z zerowym prawdopodobieństwem błędu) informacje przez ten kanał z szybkością 5 bitów/słowo.

Wskazówka

{{{3}}}


Zadanie 2 - Przekazywanie skorelowanych danych

Wyobraźmy sobie, że chcemy przekazywać dane z dwóch źródeł i do centrum przez wierne jednokierunkowe kanały. Sygnały i są silnie skorelowane, tak że ich entropia łączna jest niewiele większa niż entropia każdego z nich. Przykładowo, może być centrum meteorologicznym, które chce otrzymywać w sposób ciągły informacje z dwóch niezbyt odległych punktów A i B, dotyczące tego, czy w danym punkcie pada, czy nie. Rozkład prawdopodobieństwa pary może być następujący:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{matrix}”): {\displaystyle \begin{matrix} & x^{(A)} \\ x^{(B)} & \begin{matrix} \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \left| \begin{matrix} 0 & 1 \\ \hline 0,49 & 0,01\\ 0,01 & 0,49 \end{matrix} \end{matrix} }

Zależy nam na tym, żeby ograniczać komunikację (bo np. jest kosztowna). Zaprojektuj mechanizm kodowania dla źródeł i taki, który wykorzystuje sumarycznie mniej niż dwa bity na każdą przekazaną parę. Jaka jest minimalna wymagana liczba bitów/parę, które muszą przekazać źródła żeby centrum mogło odtworzyć wartości obu zmiennych?


Zadanie 3 - Kanał z wieloma wejściami

Wyobraźmy sobie kanał, który ma dwa wejścia i jedno wyjście - na przykład dzieloną linię telefoniczną. W najprostszym modelu wejścia będą binarne i , a wyjście trynarne, równe sumie wejść: 0, 1 lub 2. Nie ma żadnych zakłóceń transmisji. Nadawcy A i B nie mogą się ze sobą komunikować i nie słyszą wyjścia z kanału. Jeśli na wyjściu jest 0, odbiorca wie na pewno, że oba wejścia mają wartość 0. Podobnie jeśli na wyjściu jest 2 - oba wejścia musiały być ustawione na 1. Ale jeśli na wyjściu jest 1, wejściowy stan może być (0,1) lub (1,0). Łatwo zaprojektować system kodowania dla A i B który osiąga sumaryczną szybkość transmisji . Czy da się to zrobić lepiej? Zaprojektuj kod lepiej wykorzystujący ten kanał i znajdź górną granicę na sumaryczną szybkość transmisji źródeł.