Tekst źródłowy strony Sztuczna inteligencja/SI Moduł 4 - Wnioskowanie na podstawie wiedzy niepewnej i niepełnej

<!-- Wygenerowane przez tex2wikiu8.pl czas: wto lip 18 18:08:30 CEST 2006 -->

== Niedoskonała wiedza we wnioskowaniu ==

Metody wnioskowania w logice predykatów są - pod warunkiem
korzystania z poprawnego systemu wnioskowania - niezawodne jeśli
chodzi o prawdziwość wyciąganych wniosków. Oparte są one jednak na
koniecznym założeniu, że stwierdzenia zawarte w początkowej bazie
wiedzy i uznawane za prawdziwe są rzeczywiście prawdziwe. Pod
warunkiem ich prawdziwości prawdziwe są także stwierdzenia wyprowadzane w
wyniku wnioskowania. Założenie to może często nie być spełnione w
odniesieniu do wiedzy, którą posiada człowiek - a przecież od niego
musi pochodzić początkowa zawartość bazy wiedzy. Wiedza pochodząca od
człowieka może być niedoskonała. Stosując do takiej wiedzy metody
zakładające doskonałą wiedzę jesteśmy narażeni na uzyskiwanie
wniosków, które nie muszą być prawdziwe i o których prawdziwości nie
potrafimy nic powiedzieć. Celowe jest w związku z tym wyposażanie
systemów wnioskujących na podstawie niedoskonałej wiedzy w specjalne
mechanizmy jej przetwarzania, dzięki którym będzie możliwe
charakteryzowanie rodzaju i stopnia niedoskonałości wiedzy pochodzącej
od człowieka, a także nowej wiedzy wyprowadzonej na jej podstawie
przez system wnioskujący.

=== Rodzaje niedoskonałości wiedzy ===

Wnikając głębiej w naturę niedoskonałości ludzkiej wiedzy można
wskazać przynajmniej jej trzy podstawowe rodzaje:
: '''niepewność:'''  prawdziwość niektórych stwierdzeń nie jest pewna,
: '''niepełność:'''  niektóre prawdziwe stwierdzenia nie są znane, lecz nie można z tego powodu zakładać ich nieprawdziwości,
: '''niedokładność:'''  przynależność do niektórych relacji, odpowiadających predykatom występującym w stwierdzeniach, nie jest znana dokładnie.

W przypadku wiedzy niepewnej mamy do czynienia ze stwierdzeniami , o
których w ogólnym przypadku nie można powiedzieć z pewnością, że są
prawdziwe albo fałszywe. Potrzebne są w tym celu jakieś metody
charakteryzowania stopnia przekonania o prawdziwości stwierdzeń -
zarówno należących do początkowej bazy wiedzy, jak i uzyskiwanych w
wyniku głosowania. Niepełność wiedzy oznacza, że status prawdziwości
pewnych stwierdzeń potrzebnych do wnioskowania nie jest znany. Może to
wymagać założenia ich prawdziwości w celu przeprowadzenia
wnioskowania, lecz z pozostawieniem możliwości rewizji tego
wnioskowania, gdyby następnie pojawiła się wiedza zaprzeczająca temu
założeniu. Niedokładność polega na niemożliwości precyzyjnego
odróżnienia w dziedzinie, na temat której zapisujemy wiedzę, obiektów
należących do pewnej relacji od obiektów do niej nienależących.

=== Metody przetwarzania niedoskonałej wiedzy ===

Istnieje wiele technik przetwarzania wiedzy obarczonej różnymi
rodzajami niedoskonałości w taki sposób, aby prowadzone na jej
podstawie wnioskowanie prowadziło do wniosków, których „jakość”
można w pewien sposób scharakteryzować, czyli odpowiedzieć na pytanie,
jak bardzo doskonałe bądź niedoskonałe wnioski można wyciągnąć na
podstawie niedoskonałej wiedzy. Do najbardziej znanych metod należą:
: '''wnioskowanie probabilistyczne:'''  metoda przetwarzania wiedzy niepewnej oparta na bezpośrednim wykorzystaniu rachunku prawdopodobieństwa, w której poszczególnym stwierdzeniom przypisuje się prawdopodobieństwo ich prawdziwości,
: '''stopnie pewności:'''  metoda przetwarzania wiedzy niepewnej, w której poszczególnym stwierdzeniom przypisuje się liczbowe ''stopnie pewności'' wyrażające subiektywne przekonanie człowieka o ich prawdziwości,
: '''teoria Dempstera-Schaffera:'''  metoda przetwarzania wiedzy niepewnej, w której prawdopodobieństwa prawdziwości przypisuje się tylko wybranym stwierdzeniom bazowym, a ocenę wiarygodności innych stwierdzeń przeprowadza się na podstawie ich związków ze stwierdzeniami bazowymi,
: '''Logika rozmyta:'''  metoda przetwarzania wiedzy niedokładnej, w której rozważa się „częściową” przynależność do relacji,
: '''Logiki niemonotoniczne:'''  metody przetwarzania wiedzy niepełnej, w których dopuszcza się, że pojawienie się nowych stwierdzeń może anulować wyprowadzenie wcześniejszych formuł.

W dalszym ciągu skupimy się na dwóch podejściach: wnioskowaniu
probabilistycznym i logice rozmytej.

== Wnioskowanie bayesowskie ==

Wnioskowanie probabilistyczne nazywamy także wnioskowaniem
bayesowskim, ze względu na kluczową rolę, jaką w nim pełni wzór Bayesa
- jeden z klasycznych wyników rachunku prawdopodobieństwa. Dla
dowolnych dwóch zdarzeń <math>A \,</math> i <math>B \,</math> wzór opisuje następującą zależność
prawdopodobieństw warunkowych:

<!-- equation 1 -->
:{| width="100%"
| width="95%" align="left" | <math>\mathrm{Pr}(A|B) = \frac{\mathrm{Pr}(A)\mathrm{Pr}(B|A)}
{\mathrm{Pr}(B)}
 \,</math>
| align="right" | ''(1)''
|}
Zobaczymy, jak w najbardziej bezpośredni sposób można zależność taką
wykorzystać do wnioskowania.

=== Uprawdopodobnianie hipotez przez fakty ===

Przyjmijmy, że wśród stwierdzeń, jakie są przetwarzane przy
wnioskowaniu, wyróżnimi dwie kategorie:
: '''fakty:'''  stwierdzenia dotyczące dziedziny, których prawdziwość jest znana,
: '''hipotezy:'''  stwierdzenia o nieznanym prawdopodobieństwie prawdziwości.
Interesuje nas wnioskowanie o prawdziwości możliwych hipotez przy
założeniu prawdziwości pewnego zestawu faktów. Aby zademonstrować, jak
to jest możliwe, zapiszmy wzór Bayesa ze zmienionymi oznaczeniami:

<!-- equation 2 -->
:{| width="100%"
| width="95%" align="left" | <math>\mathrm{Pr}(h|F) = \frac{\mathrm{Pr}(h)\mathrm{Pr}(F|h)}
{\mathrm{Pr}(F)}
 \,</math>
| align="right" | ''(2)''
|}
gdzie <math>h \,</math> oznacza pewną hipotezę a <math>F \,</math> pewien zbiór faktów. Tak
interpretowany wzór Bayesa mówi, w jaki sposób na prawdopodobieństwo
rozważanej hipotezy wpływa znajomość faktów. Zwróćmy szczególną uwagę
na dwa występujące w nim prawdopodobieństwa dotyczące hipotezy:
: '''<math>\mathrm{Pr}(h) \,</math>:'''  prawdopodobieństwo ''a priori'' hipotezy <math>h \,</math> (bez znajomości lub uwzględniania żadnych faktów),
: '''<math>\mathrm{Pr}(h|F) \,</math>:'''  prawdopodobieństwo ''a posteriori'' hipotezy <math>h \,</math> po uwzględnieniu faktów <math>F \,</math>.
Możemy powiedzieć, że wzór Bayesa, podając przepis na wyznaczenie
prawdopodobieństwa ''a posteriori'', określa wpływ faktów na
uprawdopodobnienie (albo unieprawdopodobnienie) hipotezy.
Bezpośrednie zastosowanie w przedstawiony sposób wzoru Bayesa można
traktować jako elementarny krok wnioskowania bayesowskiego, który jest
w pewnym sensie odpowiednikiem zastosowania reguły wnioskowania w
logice.

Zauważmy, że prawdopodobieństwo występujące w mianowniku ułamka nie
zależy od rozważanej hipotezy. Wynika z tego, że gdyby interesowało
nas wyłącznie wybranie hipotezy najbardziej prawdopodobnej z pewnego
zestawu, wystarczy ograniczyć się do obliczenia licznika ułamka. Aby
poznać dokładne, bezwzględne wartości prawdopodobieństw
''a posteriori'' poszczególnych hipotez, należy wziąć pod uwagę sytuację,
w której mamy skończoną liczbę możliwych hipotez <math>h_1,h_2,\dots,h_n \,</math>
wykluczających się parami i wyczerpujących wszystkie możliwości (czyli
takich, że dokładnie jedna z nich jest prawdziwa).  Wówczas:

<!-- equation 3 -->
:{| width="100%"
| width="95%" align="left" | <math>\mathrm{Pr}(F) = \mathrm{Pr}(h_1)\mathrm{Pr}(F|h_1)+\dots+
\mathrm{Pr}(h_n)\mathrm{Pr}(F|h_n)
 \,</math>
| align="right" | ''(3)''
|}
czyli:

<!-- equation 4 -->
:{| width="100%"
| width="95%" align="left" | <math>\mathrm{Pr}(h_i|F) = \frac{\mathrm{Pr}(h_j)\mathrm{Pr}(F|h_i)}
{\sum_{j=1}^n\mathrm{Pr}(h_j)\mathrm{Pr}(F|h_j)}
 \,</math>
| align="right" | ''(4)''
|}
Oczywiście dla takich hipotez mamy:

<!-- equation 5 -->
:{| width="100%"
| width="95%" align="left" | <math>\sum_{i=1}^n \mathrm{Pr}(h_i|F) = 1
 \,</math>
| align="right" | ''(5)''
|}

W szczególności biorąc pod uwagę dwie wykluczające się hipotezy <math>h \,</math> i
<math>\neg h \,</math> dostajemy w ten sposób:

<!-- begin{align}  TODO: kolumny-->
:{| width="100%"
| width="1" align="right"|<!-- equation 6 --><math>\mathrm{Pr}(h|F) = \,</math>
| align="left" |<math>\frac{\mathrm{Pr}(h)\mathrm{Pr}(F|h)} {\mathrm{Pr}(h)\mathrm{Pr}(F|h)+ \mathrm{Pr}(\neg h)\mathrm{Pr}(F|\neg h)} \,</math>
| width="5%" align="right" | ''(6)''
|-
| width="1" align="right"|<!-- equation 7 --><math>\mathrm{Pr}(\neg h|F) = \,</math>
| align="left" |<math>\frac{\mathrm{Pr}(\neg h)\mathrm{Pr}(F|\neg h)} {\mathrm{Pr}(h)\mathrm{Pr}(F|h)+ \mathrm{Pr}(\neg h)\mathrm{Pr}(F|\neg h)} \,</math>
| width="5%" align="right" | ''(7)''
|-
|}
<!-- end{align} -->

=== Uwzględnianie pojedynczych faktów ===

Dotychczas pokazaliśmy, jak można wyznaczyć prawdopodobieństwo
''a posteriori'' hipotezy <math>h \,</math> na podstawie zbioru znanych faktów <math>F \,</math>, pod
warunkiem znajomości prawdopodobieństwa ''a priori''
<math>\mathrm{Pr}(h) \,</math> i prawdopodobieństwa faktów przy założeniu
prawdziwości hipotezy <math>\mathrm{Pr}(F|h) \,</math>. Koniecznośc ustalenia
prawdopodobieństwa ''a priori'' jest naturalną właściwością
wnioskowania bayesowskiego - za pomocą tego prawdopodobieństwa
wyrażamy aprioryczne przekonanie o prawdziwości hipotezy, bez
uwzględniania jakichkolwiek faktów. Bardziej problematyczne jest
określanie prawdopodobieństwa <math>\mathrm{Pr}(F|h) \,</math>, gdyż <math>F \,</math> może
oznaczać dowolny zbiór znanych faktów. Jeśli mamy ustalony pewien
zbiór <math>\mathbb{F} \,</math> wszystkich możliwych faktów, które mogą być
uwzględniane przy wnioskowaniu, to <math>F \,</math> może być jego dowolnym
podzbiorem. Bezpośrednie przypisanie każdemu podzbiorowi
prawdopodobieństwa na ogół przekraczałoby możliwości eksperta czy
użytkownika systemu wnioskującego.

Szczęśliwie przy pewnych założeniach można uniknąc konieczności
określania <math>\mathrm{Pr}(F|h) \,</math> dla dowolnego <math>F\subseteq\mathbb{F} \,</math>,
opierając się wyłącznie na prawdopodobieństwach dla pojedynczych
faktów <math>\mathrm{Pr}(f|h) \,</math>, gdzie <math>f\in\mathbb{F} \,</math>. Dla dowolnego faktu
<math>f_1 \,</math> możemy stosując wzór Bayesa uzyskać:

<!-- equation 8 -->
:{| width="100%"
| width="95%" align="left" | <math>\mathrm{Pr}(h|f_1) = \frac{\mathrm{Pr}(h)\mathrm{Pr}(f_1|h)}
{\mathrm{Pr}(f_1)}
 \,</math>
| align="right" | ''(8)''
|}
Jeśli teraz dokładając kolejny znany fakt <math>f_2 \,</math> rozważymy
dwuelementowy zbiór faktów <math>\{f_1,f_2\} \,</math>, otrzymujemy:

<!-- begin{align}  TODO: kolumny-->
:{| width="100%"
| width="1" align="right"|<!-- equation 8 --><math>\mathrm{Pr}(h|f_1\land f_2) = \,</math>
| align="left" |<math>\frac{\mathrm{Pr}(h|f_1)\mathrm{Pr}(f_2|f_1\land h)} {\mathrm{Pr}(f_2|f_1)}  \,</math>
| width="5%" align="right" | &nbsp;
|-
| width="1" align="right"|<!-- equation 9 --><math>= \,</math>
| align="left" |<math>\frac{\mathrm{Pr}(h)\mathrm{Pr}(f_1|h)\mathrm{Pr}(f_2|f_1\land h)} {\mathrm{Pr}(f_1)\mathrm{Pr}(f_2|f_1)} \,</math>
| width="5%" align="right" | ''(9)''
|-
| width="1" align="right"|<!-- equation 9 --><math>= \,</math>
| align="left" |<math>\frac{\mathrm{Pr}(h)\mathrm{Pr}(f_1|h)\mathrm{Pr}(f_2|f_1\land h)} {\mathrm{Pr}(f_1\land f_2)} \,</math>
| width="5%" align="right" | &nbsp;
|-
|}
<!-- end{align} -->

Jeśli teraz założymy, że pojedyncze fakty są  warunkowo niezależne
względem hipotezy, czyli:

<!-- begin{align}  TODO: kolumny-->
:{| width="100%"
| width="1" align="right"|<!-- equation 10 --><math>\mathrm{Pr}(f_2|f_1\land h) = \,</math>
| align="left" |<math>\mathrm{Pr}(f_2|h) \,</math>
| width="5%" align="right" | ''(10)''
|-
| width="1" align="right"|<!-- equation 11 --><math>\mathrm{Pr}(f_1|f_2\land h) = \,</math>
| align="left" |<math>\mathrm{Pr}(f_1|h) \,</math>
| width="5%" align="right" | ''(11)''
|-
|}
<!-- end{align} -->
to możemy dalej uzyskać:

<!-- equation 12 -->
:{| width="100%"
| width="95%" align="left" | <math>\mathrm{Pr}(h|f_1\land f_2)
= \frac{\mathrm{Pr}(h)\mathrm{Pr}(f_1|h)\mathrm{Pr}(f_2|h)}
{\mathrm{Pr}(f_1\land f_2)}
 \,</math>
| align="right" | ''(12)''
|}
Wyprowadzenie to można analogicznie powtórzyć dla dowolnej liczby
pojedynczych faktów, co prowadzi do ogólnego wzoru:

<!-- equation 13 -->
:{| width="100%"
| width="95%" align="left" | <math>\mathrm{Pr}(h|f_1\land f_2\land\dots\land f_m)
= \frac{\mathrm{Pr}(h)\prod_{k=1}^m\mathrm{Pr}(f_k|h)}
{\mathrm{Pr}(f_1\land f_2\land\dots\land f_k)}
 \,</math>
| align="right" | ''(13)''
|}
Aby posłużyć się nim w celu obliczenia bezwzględnych prawdopodobieństw
''a posteriori'', należy tak jak poprzednio wziąć pod uwagę zbiór
<math>\{h_1,h_2,\dots,h_n\} \,</math> hipotez wykluczających się parami i
wyczerpujących wszystkie możliwości. Wówczas, przy założeniu
warunkowej niezależności faktów względem każdej hipotezy, mianownik
powyższego ułamka może być wyznaczony w następujący sposób:

<!-- equation 14 -->
:{| width="100%"
| width="95%" align="left" | <math>\mathrm{Pr}(f_1\land f_2\land\dots\land f_m)
= \sum_{i=1}^n\mathrm{Pr}(h_i)\prod_{k=1}^m\mathrm{Pr}(f_k|h_i)
 \,</math>
| align="right" | ''(14)''
|}
W szczególności dla zbioru dwóch wykluczających się hipotez
<math>\{h,\neg h\} \,</math> dostajemy w ten sposób:

<!-- begin{align}  TODO: kolumny-->
:{| width="100%"
| width="95%" align="left"|<!-- equation 15 --><math>\mathrm{Pr}(f_1\land f_2\land\dots\land f_m) = \mathrm{Pr}(h)\prod_{k=1}^m\mathrm{Pr}(f_k|h) + \mathrm{Pr}(\neg h)\prod_{k=1}^m\mathrm{Pr}(f_k|\neg h) \,</math>
| width="5%" align="right" | ''(15)''
|-
|}
<!-- end{align} -->

W ten sposób uzyskaliśmy prosty mechanizm wnioskowania bayesowskiego,
w którym możemy wyznaczać prawdopodobieństwa ''a posteriori''
dowolnych hipotez na podstawie znajomości dowolnych zbiorów faktów,
pod warunkiem określenia prawdopodobieństw ''a priori'' każdej
hipotezy oraz prawdopodobieństw każdego pojedynczego faktu pod
warunkiem prawdziwości każdej hipotezy. Prawdopodobieństwa te stanowią
reprezentację niepewnej wiedzy o dziedzinie wnioskowania, która musi
być dostarczona systemowi wnioskującemu. Określenie tych
prawdopodobieństw w rozsądny sposób jest często możliwe, chociaż
oczywiście może niekiedy być trudne.

Ogólność przedstawionego mechanizmu wnioskowania bayesowskiego
ogranicza przyjęte założenie o warunkowej niezależności faktów
względem hipotez. Założenie to nie musi być spełnione w wielu
praktycznych sytuacjach, a co gorsza - może być ono niekiedy1
niemożliwe do weryfikacji. Znane są bardziej zaawansowane algorytmy
wnioskowania bayesowskiego odstępujące od tego założenia, oparte na
tzw. sieciach bayesowskich.

'''Przykład: diagnostyka grypy.''' Rozważmy następującą prostą ilustrację przedstawionego mechanizmu
wnioskowania, traktując rozważane w niej przykładowe fakty i hipotezy
z należnym dystansem. Weźmiemy pod uwagę sytuację, w której
diagnozując dolegliwości pacjenta ograniczono zbiór możliwych diagnoz
do następujących dwóch wykluczających się hipotez:
: '''<math>h \,</math>:'''  pacjent jest chory na grypę,
: '''<math>\neg h \,</math>:'''  pacjent nie jest chory na grypę.
Podstawą do wnioskowania mogą być następujące pojedyncze fakty:
: '''<math>f_1 \,</math>:'''  pacjent ma katar,
: '''<math>f_2 \,</math>:'''  pacjent ma kaszel,
: '''<math>f_3 \,</math>:'''  pacjent ma gorączkę.
Przyjmijmy, że dostarczający wiedzę do systemu diagnostycznego ekspert
ustalił następujące wartości prawdopodobieństw:

<!-- begin{align}  TODO: kolumny-->
<!-- nonumber -->
:{| width="100%"
| width="95%" align="left"|<!-- equation 15 --><math>\mathrm{Pr}(h) =   \;   0.1   \;   \mathrm{Pr}(\neg h) =   \;   0.9 \,</math>
| width="5%" align="right" | &nbsp;
|-
| width="95%" align="left"|<!-- equation 15 --><math>\mathrm{Pr}(f_1|h) =   \;   0.5   \;   \mathrm{Pr}(f_1|\neg h) =   \;   0.3 \,</math>
| width="5%" align="right" | &nbsp;
|-
| width="95%" align="left"|<!-- equation 15 --><math>\mathrm{Pr}(f_2|h) =   \;   0.3   \;   \mathrm{Pr}(f_2|\neg h) =   \;   0.3 \,</math>
| width="5%" align="right" | &nbsp;
|-
| width="95%" align="left"|<!-- equation 15 --><math>\mathrm{Pr}(f_3|h) =   \;   0.8   \;   \mathrm{Pr}(f_3|\neg h) =   \;   0.4 \,</math>
| width="5%" align="right" | &nbsp;
|-
|}
<!-- end{align} -->

Na tej podstawie możemy obliczyć prawdopodobieństwa faktów:

<!-- begin{align}  TODO: kolumny-->
<!-- nonumber -->
:{| width="100%"
| width="1" align="right"|<!-- equation 15 --><math>\mathrm{Pr}(f_1) = \,</math>
| align="left" |<math>\mathrm{Pr}(h)\mathrm{Pr}(f_1|h) + \mathrm{Pr}(\neg h)\mathrm{Pr}(f_1|\neg h) = 0.1\cdot 0.5+0.9\cdot 0.3 = 0.32 \,</math>
| width="5%" align="right" | &nbsp;
|-
| width="1" align="right"|<!-- equation 15 --><math>\mathrm{Pr}(f_2) = \,</math>
| align="left" |<math>\mathrm{Pr}(h)\mathrm{Pr}(f_2|h) + \mathrm{Pr}(\neg h)\mathrm{Pr}(f_2|\neg h) = 0.1\cdot 0.3+0.9\cdot 0.3 = 0.3 \,</math>
| width="5%" align="right" | &nbsp;
|-
| width="1" align="right"|<!-- equation 15 --><math>\mathrm{Pr}(f_3) = \,</math>
| align="left" |<math>\mathrm{Pr}(h)\mathrm{Pr}(f_3|h) + \mathrm{Pr}(\neg h)\mathrm{Pr}(f_3|\neg h) = 0.1\cdot 0.8+0.9\cdot 0.4 = 0.44 \,</math>
| width="5%" align="right" | &nbsp;
|-
|}
<!-- end{align} -->
Aby wyznaczyć prawdopodobieństwa ''a posteriori'' rozważanych
hipotez na podstawie każdego z pojedynczych objawów stosujemy
bezpośrednio wzór Bayesa:

<!-- begin{align}  TODO: kolumny-->
<!-- nonumber -->
:{| width="100%"
| width="1" align="right"|<!-- equation 15 --><math>\mathrm{Pr}(h|f_1) = \,</math>
| align="left" |<math>\frac{\mathrm{Pr}(h)\mathrm{Pr}(f_1|h)}{\mathrm{Pr}(f_1)} = \frac{0.1\cdot 0.5}{0.32} = 0.15625 \,</math>
| width="5%" align="right" | &nbsp;
|-
| width="1" align="right"|<!-- equation 15 --><math>\mathrm{Pr}(h|f_2) = \,</math>
| align="left" |<math>\frac{\mathrm{Pr}(h)\mathrm{Pr}(f_2|h)}{\mathrm{Pr}(f_2)} = \frac{0.1\cdot 0.3}{0.33} = 0.1 \,</math>
| width="5%" align="right" | &nbsp;
|-
| width="1" align="right"|<!-- equation 15 --><math>\mathrm{Pr}(h|f_3) = \,</math>
| align="left" |<math>\frac{\mathrm{Pr}(h)\mathrm{Pr}(f_3|h)}{\mathrm{Pr}(f_3)} = \frac{0.1\cdot 0.8}{0.44} = 0.18182 \,</math>
| width="5%" align="right" | &nbsp;
|-
|}
<!-- end{align} -->
Przeprowadzenie obliczeń prawdopodobieństw ''a posteriori''
rozważanych hipotez na podstawie dowolnych dwóch objawów oraz
wszystkich trzech objawów pozostawiamy jako ćwiczenie.

<!-- Wygenerowane przez tex2wikiu8.pl czas: wto lip 18 18:00:39 CEST 2006 -->
== Logika rozmyta ==
Logika rozmyta została wprowadzona jako metoda reprezentacji i przetwarzania wiedzy o charakterze jakościowym. Podstawową zaletą logiki rozmytej jest stworzenie ścisłej interpretacji wiedzy o charakterze zdroworozsądkowym, która bazuje na pojęciach intuicyjnych lub kolokwialnych, takich jak „wysoki wzrost”, „wysokie dochody”, „niska cena”, „duża prędkość” itp.  Pojęcia takie mogą być wykorzystane w połączeniu z regułami podobnymi jak w systemach wnioskowania w „tradycyjnej” logice.
=== Definicja zbioru rozmytego ===
Punktem wyjścia jest pojęcie zbioru rozmytego, które jest uogólnieniem pojęcia zbioru.
Rozważmy zbiór wartości <math>D \,</math>. Każdy podzbiór <math>A \in D \,</math> może być opisany za pomocą funkcji
charakterystycznej <math>\chi_A \,</math>, zdefiniowanej następująco:

<!-- equation 1 -->
:{| width="100%"
| width="95%" align="left" | <math>\chi_A = \begin{cases}
0 & x \notin A\\
1 & x \in A
\end{cases}
 \,</math>
| align="right" | ''(1)''
|}

Tak więc każdy element <math>x \,</math> z <math>D \,</math> albo należy do <math>A \,</math> (wówczas <math>\chi_A(x) = 1 \,</math>), albo do niego nie
należy (a wtedy <math>\chi_A(x) = 0 \,</math>). Z kolei zbiór rozmyty A będący podzbiorem <math>D \,</math> ma tę cechę, że
elementy mogą do niego należeć tylko częściowo (w pewnym stopniu). Odpowiednikiem
funkcji charakterystycznej <math>\chi_A \,</math> jest funkcja przynależności <math>\chi_ \mu \,</math>, przyjmująca wartości <math>0 \le \mu_A(x) \le 1 \,</math>
Wartość 0 funkcji przynależności oznacza, że element <math>x \,</math> nie należy do zbioru <math>A \,</math>, zaś
wartość większa od zera oznacza przynależność <math>x \,</math> do <math>A \,</math>.

=== Operacje na zbiorach rozmytych ===
Na zbiorach rozmytych można definiować te same operacje co w klasycznej teorii zbiorów.

Dopełnieniem zbioru <math>A \subseteq D \,</math> jest zbiór <math>\overline{A} \subseteq  D \,</math>, którego funkcja przynależności jest określona  następująco

<!-- equation 2 -->
:{| width="100%"
| width="95%" align="left" | <math>\forall x \in D \quad \mu_ \overline{A} (x) = 1- \mu_A(x)
 \,</math>
| align="right" | ''(2)''
|}

Sumą zbiorów <math>A \subseteq D \,</math> i <math>B \subseteq D \,</math> jest taki zbiór <math>C \subseteq D \,</math>, którego funkcja przynależności jest określona następująco

<!-- equation 3 -->
:{| width="100%"
| width="95%" align="left" | <math>\forall x \in D \quad \mu_ C (x) = S(\mu_A(x), \mu_B(x) )
 \,</math>
| align="right" | ''(3)''
|}
gdzie <math>S \,</math> jest funkcją, nazywaną  s-normą (s od ang. sum), spełniająca następujące warunki

<!-- begin{align}  TODO: kolumny-->
:{| width="100%"
| width="95%" align="left"|<!-- equation 4 --><math>S(m,n) \geq m \,</math>
| width="5%" align="right" | ''(4)''
|-
| width="95%" align="left"|<!-- equation 5 --><math>S(m,n) \geq n \,</math>
| width="5%" align="right" | ''(5)''
|-
| width="95%" align="left"|<!-- equation 6 --><math>S(m,n) \leq 1 \,</math>
| width="5%" align="right" | ''(6)''
|-
|}
<!-- end{align} -->

Iloczynem zbiorów <math>A \subseteq D \,</math> i <math>B \subseteq D \,</math> jest taki zbiór <math>C \subseteq D \,</math>, którego funkcja przynależności jest określona następująco

<!-- equation 7 -->
:{| width="100%"
| width="95%" align="left" | <math>\forall x \in D \quad \mu_ C (x) = P(\mu_A(x), \mu_B(x) )
 \,</math>
| align="right" | ''(7)''
|}
gdzie <math>P \,</math> jest funkcją, nazywaną  p-normą (p od ang. product), spełniająca następujące warunki

<!-- begin{align}  TODO: kolumny-->
:{| width="100%"
| width="95%" align="left"|<!-- equation 8 --><math>P(m,n) \leq m \,</math>
| width="5%" align="right" | ''(8)''
|-
| width="95%" align="left"|<!-- equation 9 --><math>P(m,n) \leq n \,</math>
| width="5%" align="right" | ''(9)''
|-
| width="95%" align="left"|<!-- equation 10 --><math>P(m,n) \geq 0 \,</math>
| width="5%" align="right" | ''(10)''
|-
|}
<!-- end{align} -->

Typowo wybiera się jako s-normę i p-normę następujące pary funkcji

<!-- begin{center} --><div align="center">

<!-- \begin{tabular}{cc} -->
:{| border="1" style="text-align:center"
|s-norma			 ||  p-norma 
|-
|<math>max(m,n) \,</math>		 ||  <math>min(m,n) \,</math>
|-
|<math>min(m+n, 1) \,</math>	 ||  <math>m \cdot n \,</math>
|-
|}
<!-- end{tabular} -->
<!-- end{center} --></div>

=== Logika rozmyta ===

Załóżmy, że <math>D \,</math> jest zbiorem wartości argumentu pewnej funkcji zdaniowej <math>f(x) \,</math>. Posługując się tradycyjną definicją zbioru możemy definiować zbiór <math>A \,</math> argumentów funkcji zdaniowej  <math>f(x) \,</math> , dla których przyjmuje ona wartość „prawda”. Zauważmy, że funkcja charakterystyczna <math>\chi_A(x) \,</math> jednoznacznie wyznacza funkcję zdaniową, gdyż <math>f(x) \,</math>=„prawda” wtedy  i tylko wtedy gdy <math>\chi_A (x)=1 \,</math>. Tak więc pojęcia prawdy i fałszu mogą być zdefiniowane za pomocą funkcji charakterystycznej zbioru.

W przypadku zbiorów rozmytych, prowadzi to do uogólnienia pojęcia prawdy - pojawia się „prawda częściowa”, której miernikiem jest wartość funkcji przynależności. Funkcje zdaniowe mogą przyjmować wartości z zakresu [0,1]. Korzystając z definicji operacji na zbiorach, można podać definicje negacji, alternatywy i koniunkcji, działające na wartościach z zakresu [0,1].

Negacją rozmytą wartości <math>x \in [0,1] \,</math> jest wartość

<!-- equation 11 -->
:{| width="100%"
| width="95%" align="left" | <math>y=\neg x = 1-x
 \,</math>
| align="right" | ''(11)''
|}

Alternatywą rozmytą wartości <math>x, y \in [0,1] \,</math> jest wartość

<!-- equation 12 -->
:{| width="100%"
| width="95%" align="left" | <math>z= x \lor y = S(x,y)
 \,</math>
| align="right" | ''(12)''
|}
gdzie <math>S \,</math> oznacza s-normę

Koniunkcją rozmytą wartości <math>x, y \in [0,1] \,</math> jest wartość

<!-- equation 13 -->
:{| width="100%"
| width="95%" align="left" | <math>z=x \land y = P(x,y)
 \,</math>
| align="right" | ''(13)''
|}
gdzie <math>P \,</math> oznacza p-normę.

=== Wnioskowanie rozmyte ===
Wnioskowanie jest procesem polegającym na sprawdzaniu możliwości wyprowadzenia formuły ze zbioru innych formuł, przy znanych regułach. Wnioskowanie rozmyte przebiega według takiego samego schematu jak wnioskowanie „w logice klasycznej”, z tym że definicje reguł wnioskowania ulegają modyfikacjom uwzględniającym konieczność posługiwania się wartościami „prawdziwości” z zakresu <math>[0,1] \,</math>.

Przykładowo, w regule modus ponens [odnośnik] zakłada się, że reguła <math>\alpha \rightarrow \beta \,</math> jest prawdziwa w stopniu <math>1 \,</math>, natomiast stopień prawdziwości formuły <math>\beta \,</math> jest identyczny stopniowi prawdziwości formuły <math>\alpha \,</math>.

=== Prosty regulator rozmyty (FLC) ===

Logika rozmyta jest wykorzystywana na szerszą skalę przede wszystkim w systemach
sterowania. Przedstawimy teraz prosty regulator rozmyty (FLC - fuzzy logic controller),
którego zadaniem jest obserwacja wartości wielu sygnałów wejściowych (zakłóceń) i
określanie wartości sygnału wyjściowego (sterowania). Tego typu regulatory są dość chętnie
wykorzystywane w praktyce, np. do sterowania siłą ciągu odkurzacza, określenia ustawień
czasu naświetlania i przesłony na podstawie pomiaru natężenia oświetlenia, określania
nastaw filtrów obrazu itp.

W takich zastosowaniach człowiek dość łatwo jest w stanie wyrazić sposób obsługi
urządzenia za pomocą prostych reguł typu: „jeśli temperatura pomieszczenia jest niska i
wolno spada, to ogrzewanie powinno być silniejsze”. Cechą charakterystyczną tego rodzaju
reguł jest określanie wartości wielkości wejściowych i wyjściowych za pomocą wartości
nieprecyzyjnych (typu „niskie”, „wysokie”, „szybkie”, „wolne”). W regulatorze FLC takie
nieprecyzyjne wartości są reprezentowane jako rozmyte funkcje zdaniowe.

Schemat działania regulatora FLC jest naszkicowany na poniższym rysunku

<!-- begin{wiki} -->

[[Grafika: SI M4 schemat FLC.png]]

<!-- end{wiki} -->
Regulator obserwuje liczbowe wartości wielkości wejściowe. Wartości te są następnie
poddawane rozmywaniu: są zamieniane na ich jakościowe odpowiedniki - wartości
lingwistyczne, na przykład „mały”, „średni” i „duży”. (Formalnie rzecz ujmując, dla każdej
wielkości wejściowej i dla każdej z jej wartości lingwistycznych definiujemy opisującą ją
funkcję zdaniową). Wynikiem rozmywania jest utworzenie wielu stwierdzeń, typu „x1 jest
małe”, których stopień prawdziwości wynika z wartości funkcji zdaniowych dla obserwowanych wartości
wejściowych.

Regulator FLC jest wyposażony w zestaw reguł, których części przesłankowe są
koniunkcjami stwierdzeń, zaś konkluzjami są stwierdzenia (rozmyte) o wielkości wyjściowej.

W czasie wnioskowania, dla każdej reguły z bazy reguł określa się stopień prawdziwości
części przesłankowej (na podstawie stwierdzonego w fazie rozmywania stopnia prawdziwości
każdego ze stwierdzeń). Przyjmuje się, że stopień prawdziwości konkluzji i części
przesłankowej są sobie równe dla każdej reguły. W ten sposób, stosując reguły, otrzymuje
się wiele stwierdzeń (rozmytych) o wartości wielkości wyjściowej; stwierdzenia te pozostają
ze sobą w alternatywie. Otrzymuje się zatem nową funkcję zdaniową <math>f_y: D_y \to [0, 1] \,</math>
(<math>D_y \,</math> jest zbiorem wartości wielkości wejściowej), będącą wynikiem etapu wnioskowania.

Ostatnim etapem jest wyostrzanie, w którym wyznacza się wartość liczbową wielkości
wyjściowej na podstawie uzyskanej w czasie wnioskowania funkcji zdaniowej. Sposób
przeprowadzenia tej operacji jest trudny do uzasadnienia na gruncie logiki rozmytej. Mamy
bowiem zastąpić funkcję <math>f_y \,</math> jedną liczbą - wykonujemy zatem działanie zbliżone do obliczenia
wartości oczekiwanej zmiennej losowej na podstawie znajomości jej funkcji gęstości.

Znanych jest wiele różnych metod wyostrzania. Najbardziej rozpowszechnione są
* metoda środka ciężkości - CoA (ang. Center of Area)
<!-- equation 14 -->
:{| width="100%"
| width="95%" align="left" | <math>y_{CoA}=\frac{\int_D x f_y(x) d x}{\int_D f_y(x) d x}
 \,</math>
| align="right" | ''(14)''
|}
: 
* metoda średniej z maksimów - MoM (Mean of Maximum)
<!-- equation 15 -->
:{| width="100%"
| width="95%" align="left" | <math>y_{MoM}=\frac{\int_D x m_y(x) d x}{\int_D m_y(x) d x}
 \,</math>
| align="right" | ''(15)''
|}
: gdzie <math>m_y(x) \,</math> jest określona następująco
<!-- equation 16 -->
:{| width="100%"
| width="95%" align="left" | <math>m(y)=
\begin{cases}
f_y(x) & \textit{jesli\ } f_y(x) = f^* \\
0 & \textit{w\ przeciwnym\ przypadku}
\end{cases}
 \,</math>
| align="right" | ''(16)''
|}
: zaś <math>f^*=\max_D f_y(x) \,</math>. 

=== Symulacja FLC ===

Prześledźmy działanie regulatora FLC na przykładzie zadania podjęcia decyzji o wartości
przyspieszenia samochodu w sytuacji dojeżdżania do skrzyżowania, na którym światło
zmieniło się z zielonego na żółte. Wielkościami wpływającymi na decyzję będą: aktualna
prędkość samochodu i odległość od skrzyżowania. Pomierzone wartości tych wielkości są
następnie poddawane rozmywaniu: są zamieniane na ich jakościowe odpowiedniki - „mały”,
„średni” i „duży” (Formalnie rzecz ujmując, dla każdej wielkości wejściowej definiujemy trzy
funkcje zdaniowe, odpowiadające wymienionym terminom lingwistycznym). Wartości funkcji
zdaniowych dla wartości lingwistycznych obu wielkości wejściowych są przedstawione na
poniższych rysunkach.

<!-- begin{wiki} -->
[[Grafika:SI M4 Odleglosc FP.png]]

[[Grafika:SI M4 Predkosc FP.png]]

<!-- end{wiki} -->
Rozważmy trzy przypadki wielkości wejściowych:

<!-- begin{wiki} -->
<ol>
<li><br>
<div align="center">
<table border="1" cellspacing="3">
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">odległość</td>
<td width="100" align="center" valign="middle">prędkość</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="middle">30</td>
<td align="center" valign="middle">50</td>
</tr>
</table>
</div></li>
<li><br>
<div align="center">
<table border="1" cellspacing="3">
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">odległość</td>
<td width="100" align="center" valign="middle">prędkość</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="middle">100</td>
<td align="center" valign="middle">50</td>
</tr>
</table>
</div></li>
<li><br>
<div align="center">
<table border="1" cellspacing="3">
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">odległość</td>
<td width="100" align="center" valign="middle">prędkość</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="middle">30</td>
<td align="center" valign="middle">65</td>
</tr>
</table>
</div></li>
</ol>
<!-- end{wiki} -->
Wartości lingwistyczne są dla tych przypadków następujące
(odczytujemy je z wykresów funkcji przynależności):

<!-- begin{wiki} -->
<ol>
<li><br>
<div align="center">
<table border="1" cellspacing="3">
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">&nbsp;</td>
<td width="100" align="center" valign="middle">odległość</td>
<td width="100" align="center" valign="middle">prędkość</td>
</tr>
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">mała</td>
<td align="center" valign="middle">0,6</td>
<td align="center" valign="middle">0,3</td>
</tr>
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">średnia</td>
<td align="center" valign="middle">0,4</td>
<td align="center" valign="middle">0,7</td>
</tr>
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">duża</td>
<td align="center" valign="middle">0</td>
<td align="center" valign="middle">0</td>
</tr>
</table>
</div></li>
<li><br>
<div align="center">
<table border="1" cellspacing="3">
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">&nbsp;</td>
<td width="100" align="center" valign="middle">odległość</td>
<td width="100" align="center" valign="middle">prędkość</td>
</tr>
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">mała</td>
<td align="center" valign="middle">0</td>
<td align="center" valign="middle">0,3</td>
</tr>
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">średnia</td>
<td align="center" valign="middle">1</td>
<td align="center" valign="middle">0,7</td>
</tr>
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">duża</td>
<td align="center" valign="middle">0</td>
<td align="center" valign="middle">0</td>
</tr>
</table>
</div></li>
<li><br>
<div align="center">
<table border="1" cellspacing="3">
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">&nbsp;</td>
<td width="100" align="center" valign="middle">odległość</td>
<td width="100" align="center" valign="middle">prędkość</td>
</tr>
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">mała</td>
<td align="center" valign="middle">0,6</td>
<td align="center" valign="middle">0</td>
</tr>
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">średnia</td>
<td align="center" valign="middle">0,4</td>
<td align="center" valign="middle">1</td>
</tr>
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">duża</td>
<td align="center" valign="middle">0</td>
<td align="center" valign="middle">0</td>
</tr>
</table>
</div></li>
</ol>
<!-- end{wiki} -->
Następuje faza wnioskowania. W naszym przykładzie,
wnioskowanie odbywa się zgodnie z zestawem reguł zamieszczonym
poniżej.

<!-- begin{wiki} -->
<div align="center">
<table border="1" cellspacing="3">
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">odległość</td>
<td width="100" align="center" valign="middle">prędkość</td>
<td width="100" align="center" valign="middle">przyspieszenie</td>
</tr>
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">mała</td>
<td align="center" valign="middle">Mała</td>
<td align="center" valign="middle">duże-</td>
</tr>
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">średnia</td>
<td align="center" valign="middle">Mała</td>
<td align="center" valign="middle">małe-</td>
</tr>
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">duża</td>
<td align="center" valign="middle">Mała</td>
<td align="center" valign="middle">małe-</td>
</tr>
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">mała</td>
<td align="center" valign="middle">Średnia</td>
<td align="center" valign="middle">duże+</td>
</tr>
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">średnia</td>
<td align="center" valign="middle">Średnia</td>
<td align="center" valign="middle">małe-</td>
</tr>
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">duża</td>
<td align="center" valign="middle">Średnia</td>
<td align="center" valign="middle">małe-</td>
</tr>
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">mała</td>
<td align="center" valign="middle">Duża</td>
<td align="center" valign="middle">małe+</td>
</tr>
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">średnia</td>
<td align="center" valign="middle">Duża</td>
<td align="center" valign="middle">duże-</td>
</tr>
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">duża</td>
<td align="center" valign="middle">Duża</td>
<td align="center" valign="middle">małe-</td>
</tr>
</table></div>
<!-- end{wiki} -->
Poniżej wymieniono reguły wraz ze stopniem prawdziwości
konkluzji (określonym na podstawie koniunkcji przesłanek) dla
rozważanych przypadków; dla wygody, pominęliśmy reguły z
nieprawdziwą koniunkcją przesłanek:

<!-- begin{wiki} -->
<ol>
<li><br>
<div align="center">
<table border="1" cellspacing="3">
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">odległość</td>
<td width="100" align="center" valign="middle">prędkość</td>
<td width="100" align="center" valign="middle">przyspieszenie</td>
<td width="100" align="center" valign="middle">min(odległość, prędkość)</td>
</tr>
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">mała</td>
<td align="center" valign="middle">Mała</td>
<td align="center" valign="middle">duże-</td>
<td align="center" valign="middle">0,3</td>
</tr>
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">średnia</td>
<td align="center" valign="middle">Mała</td>
<td align="center" valign="middle">małe-</td>
<td align="center" valign="middle">0,3</td>
</tr>
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">mała</td>
<td align="center" valign="middle">Średnia</td>
<td align="center" valign="middle">duże+</td>
<td align="center" valign="middle">0,6</td>
</tr>
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">średnia</td>
<td align="center" valign="middle">Średnia</td>
<td align="center" valign="middle">małe-</td>
<td align="center" valign="middle">0,4</td>
</tr>
</table>
</div></li>

<li><br>
<div align="center">
<table border="1" cellspacing="3">
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">odległość</td>
<td width="100" align="center" valign="middle">prędkość</td>
<td width="100" align="center" valign="middle">przyspieszenie</td>
<td width="100" align="center" valign="middle">min(odległość, prędkość)</td>
</tr>
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">mała</td>
<td align="center" valign="middle">Średnia</td>
<td align="center" valign="middle">duże+</td>
<td align="center" valign="middle">0,3</td>
</tr>
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">średnia</td>
<td align="center" valign="middle">Średnia</td>
<td align="center" valign="middle">małe-</td>
<td align="center" valign="middle">0,7</td>
</tr>
</table>
</div></li>

<li><br>
<div align="center">
<table border="1" cellspacing="3">
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">odległość</td>
<td width="100" align="center" valign="middle">prędkość</td>
<td width="100" align="center" valign="middle">przyspieszenie</td>
<td width="100" align="center" valign="middle">min(odległość, prędkość)</td>
</tr>
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">mała</td>
<td align="center" valign="middle">Średnia</td>
<td align="center" valign="middle">duże+</td>
<td align="center" valign="middle">0,6</td>
</tr>
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">średnia</td>
<td align="center" valign="middle">Średnia</td>
<td align="center" valign="middle">małe-</td>
<td align="center" valign="middle">0,4</td>
</tr>
</table>
</div></li>
</ol>
<!-- end{wiki} -->
Tak więc wynikiem wnioskowania będą następujące wartości
lingwistyczne (podane wraz ze stopniem prawdziwości):

<!-- begin{wiki} -->
<ol>
<li><br>
<div align="center">
<table border="1" cellspacing="3">
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">przyspieszenie</td>
<td width="100" align="center" valign="middle">&nbsp;</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="middle">duże-</td>
<td align="center" valign="middle">0,3</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="middle">małe-</td>
<td align="center" valign="middle">0,3</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="middle">małe+</td>
<td align="center" valign="middle">0</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="middle">duże+</td>
<td align="center" valign="middle">0,6</td>
</tr>
</table>
</div></li>

<li><br>
<div align="center">
<table border="1" cellspacing="3">
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">przyspieszenie</td>
<td width="100" align="center" valign="middle">&nbsp;</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="middle">duże-</td>
<td align="center" valign="middle">0</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="middle">małe-</td>
<td align="center" valign="middle">0,7</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="middle">małe+</td>
<td align="center" valign="middle">0</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="middle">duże+</td>
<td align="center" valign="middle">0,3</td>
</tr>
</table>
</div></li>

<li><br>
<div align="center">
<table border="1" cellspacing="3">
<tr>
<td width="100" align="center" valign="middle">przyspieszenie</td>
<td width="100" align="center" valign="middle">&nbsp;</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="middle">duże-</td>
<td align="center" valign="middle">0</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="middle">małe-</td>
<td align="center" valign="middle">0,4</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="middle">małe+</td>
<td align="center" valign="middle">0</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="middle">duże+</td>
<td align="center" valign="middle">0,6</td>
</tr>
</table>
</div></li>
</ol>
<!-- end{wiki} -->
Przechodzimy do wyostrzania. Załóżmy funkcje przynależności dla zmiennej wyjściowej jak na
poniższym rysunku.

<!-- begin{wiki} -->
[[Grafika:SI M4 Przyspieszenie FP.png]]

<!-- end{wiki} -->
W wyniku wnioskowania, dla każdego z rozważanych trzech przypadków, otrzymamy inne
kształty funkcji przynależności, zobrazowane na rysunkach poniżej. W celu wyznaczenia
wartości liczbowej przyspieszenia zastosujemy metodę środka ciężkości (CoA). Wynik
wyostrzania jest podany poniżej (obok każdego rysunku).
[[Grafika:SI M4 Przyspieszenie Wyn1.png]]
0.150

[[Grafika:SI M4 Przyspieszenie Wyn2.png]]
0.140

[[Grafika:SI M4 Przyspieszenie Wyn3.png]]
0.305