Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Test 12: Metoda największej wiarygodności

Rozważmy funkcję $\displaystyle f\colon {\mathbb {R}}\longrightarrow {\mathbb {R}}$, określoną wzorem:

$\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{rl}-x^{2}\ln {|x|},&x\neq 0\\0,&x=0.\end{array}}\right.$

Wówczas:

nie istnieje wartość największa funkcji $\displaystyle f$. Źle

funkcja $\displaystyle f$ przyjmuje wartość największą w parzystej liczbie punktów. Dobrze

wartość największa funkcji $\displaystyle f$ jest równa $\displaystyle 0$. Źle

wartość największa funkcji $\displaystyle f$ jest liczbą niewymierną. Dobrze

Załóżmy, że próbka prosta $\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}$ pochodzi z rozkładu ciągłego

o gęstości:

$\displaystyle f(x)=\alpha ^{2}xe^{-\alpha x}I_{[0,\infty )}(x),$

gdzie $\displaystyle I_{[0,\infty )}$ oznacza funkcję charakterystyczną przedziału $\displaystyle [0,\infty )$, oraz że $\displaystyle T(X_{1},\ldots ,X_{n})$ jest estymatorem największej wiarygodności parametru $\displaystyle \alpha$. Wtedy:

$\displaystyle S(X_{1},\ldots ,X_{n})={\frac {2\sum _{i=1}^{n}X_{i}}{2n-1}}$ jest w tym rozkładzie estymatorem największej wiarygodności wartości oczekiwanej. Dobrze

$\displaystyle {\frac {nT}{n+1}}$ jest estymatorem zgodnym parametru $\displaystyle \alpha$. Dobrze

$\displaystyle \displaystyle T(X_{1},\ldots ,X_{n})={\frac {2n}{\sum _{i=1}^{n}X_{i}}}$. Źle

$\displaystyle \displaystyle T(X_{1},\ldots ,X_{n})={\frac {2n+1}{\sum _{i=1}^{n}X_{i}}}$. Źle

Załóżmy, że prawdopodobieństwo zachorowania na pewną chorobę jest wprost proporcjonalne do wieku, ze współczynnikiem proporcjonalności $\displaystyle \theta >0$. Zbadano 20-elementowe próbki ludności w różnym wieku, otrzymując następujące wyniki:

$\displaystyle {\begin{array}{r|c|c|c|c|}Wiek&10&30&80\\\hline Liczba\quad chorych&1&5&9\\\hline \end{array}}$

Jeżeli $\displaystyle {\hat {\theta }}$ oznacza wyestymowaną, na podstawie powyższych danych, wartość nieznanego parametru $\displaystyle \theta$, przy użyciu metody największej wiarygodności, to:

$\displaystyle \theta >{\frac {1}{80}}$. Źle

$\displaystyle \theta =0.01$. Źle

$\displaystyle \theta \in (0.01,0.0125)$. Źle

żadne z powyższych. Dobrze

Estymatorem największej wiarygodności parametru\linebreak $\displaystyle \alpha <0$ w rozkładzie jednostajnym na odcinku $\displaystyle [\alpha ,0]$ jest:

$\displaystyle \max\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}$. Źle

$\displaystyle {\frac {n+1}{n}}\min\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}$. Źle

$\displaystyle 2{\bar {X}}$. Źle

$\displaystyle \min\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}$. Dobrze

Czterech koszykarzy amatorów ćwiczyło rzuty "za 3 punkty". Pierwszy z nich trafił za drugim razem, drugi -- za trzecim, trzeci -- za czwartym, zaś czwarty -- za pierwszym. Zakładając dla wszystkich graczy jednakową celność $\displaystyle p$, metodą największej wiarygodności wyznaczono estymator $\displaystyle {\hat {p}}$ nieznanej wartości $\displaystyle p$. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

$\displaystyle {\hat {p}}<0.5$. Dobrze

$\displaystyle {\hat {p}}<0.4$. Źle

$\displaystyle {\hat {p}}=0.4$. Dobrze

$\displaystyle {\hat {p}}>{\frac {2}{5}}$. Źle

W celu oszacowania wartości przeciętnej $\displaystyle {\hat {m}}$ czasu bezawaryjnej pracy nowego systemu operacyjnego NIWUX 2006, przeznaczonego dla komputerów osobistych klasy PC, zainstalowano ten system na 10 losowo wybranych komputerach, a następnie (dla każdego z nich) zmierzono czas od momentu uruchomienia do momentu pierwszego "zawieszenia" systemu, otrzymując następujące wyniki (w godzinach):

$\displaystyle 2.5,2,2.5,1.5,3.5,4,4.5,2,3,3.$

Jeżeli założymy, że czas bezawaryjnej pracy systemu NIWUX 2006 ma rozkład wykładniczy z parametrem $\displaystyle \lambda$, to, korzystając z metody największej wiarogodności, otrzymujemy:

$\displaystyle {\hat {m}}=2.9$. Źle

$\displaystyle \displaystyle {\hat {\lambda }}={\frac {10}{29}}$, gdzie $\displaystyle {\hat {\lambda }}$ jest oceną parametru $\displaystyle \lambda$. Źle

$\displaystyle {\hat {m}}={\hat {\lambda }}$, gdzie $\displaystyle {\hat {\lambda }}$ jest takie jak wyżej. Źle

$\displaystyle \displaystyle {\hat {\lambda }}\approx 0.35$, gdzie $\displaystyle {\hat {\lambda }}$ jest takie jak wyżej. Dobrze