Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Test 12: Metoda największej wiarygodności
Rozważmy funkcję
, określoną wzorem:Wówczas:
nie istnieje wartość największa funkcji
.funkcja
przyjmuje wartość największą w parzystej liczbie punktów.wartość największa funkcji
jest równa .wartość największa funkcji
jest liczbą niewymierną.
Załóżmy, że próbka prosta pochodzi z rozkładu ciągłego
o gęstości:
gdzie
oznacza funkcję charakterystyczną przedziału , oraz że jest estymatorem największej wiarygodności parametru . Wtedy:
jest w tym rozkładzie estymatorem największej wiarygodności wartości oczekiwanej.
jest estymatorem zgodnym parametru .
.
.
Załóżmy, że prawdopodobieństwo zachorowania na pewną chorobę jest wprost proporcjonalne do wieku,
ze współczynnikiem proporcjonalności .
Zbadano 20-elementowe próbki ludności w różnym wieku, otrzymując następujące wyniki:
Jeżeli oznacza wyestymowaną, na podstawie powyższych danych, wartość nieznanego
parametru , przy użyciu metody największej wiarygodności, to:
.
.
.
żadne z powyższych.
Estymatorem największej wiarygodności parametru\linebreak w rozkładzie jednostajnym na odcinku
jest:
.
.
.
.
Czterech koszykarzy amatorów ćwiczyło rzuty "za 3
punkty". Pierwszy z nich trafił za drugim razem, drugi --
za trzecim, trzeci -- za czwartym, zaś czwarty -- za
pierwszym. Zakładając dla wszystkich graczy jednakową
celność , metodą największej wiarygodności wyznaczono
estymator nieznanej wartości . Oceń
prawdziwość poniższych zdań.
.
.
.
.
W celu oszacowania wartości przeciętnej czasu bezawaryjnej pracy nowego systemu operacyjnego NIWUX 2006,
przeznaczonego dla komputerów osobistych klasy PC, zainstalowano ten system na 10 losowo wybranych
komputerach, a następnie (dla każdego z nich)
zmierzono czas od momentu uruchomienia do momentu pierwszego "zawieszenia" systemu, otrzymując następujące wyniki
(w godzinach):
Jeżeli założymy, że czas bezawaryjnej pracy systemu NIWUX 2006 ma rozkład wykładniczy z parametrem
, to, korzystając z metody największej wiarogodności, otrzymujemy:
.
, gdzie jest oceną parametru .
, gdzie jest takie jak wyżej.
, gdzie jest takie jak wyżej.