Tekst źródłowy strony Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Wykład 9: Rozkład normalny i centralne twierdzenie graniczne

==Rozkład normalny i centralne twierdzenie graniczne==

Centralną rolę w rachunku prawdopodobieństwa i statystyce
pełni tak zwany rozkład normalny. Związane jest z nim słynne
twierdzenie nazywane centralnym twierdzeniem granicznym. Na jego
podstawie można w wielu sytuacjach zakładać, że zmienna losowa,
którą jesteśmy właśnie zainteresowani, ma rozkład normalny.

==Rozkład normalny==

[[grafika:Gauss.jpg|thumb|right||Carl Friedrich Gauss (1777-1855)<br>[[Biografia Gauss|Zobacz biografię]]]]Chyba najważniejszym ze znanych rozkładów jest tak zwany rozkład normalny, określany niekiedy jako rozkład Gaussa.

Rozkład <math>\displaystyle P</math> nazywamy rozkładem normalnym,  jeżeli
istnieją takie liczby rzeczywiste <math>\displaystyle m</math> oraz <math>\displaystyle \sigma>0</math>, że funkcja
<math>\displaystyle f\colon {\Bbb R}\longrightarrow {\Bbb R}</math>, określona wzorem:


<center>
<math>
\displaystyle 
f(x) =  \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\,e^{-\frac{1}{2}(\frac{x
- m}{\sigma})^2}\;\;\mbox{ dla } x\in {\Bbb R},
</math>
</center>


jest gęstością tego rozkładu.

Stosowana w tym przypadku notacja jest następująca:
<math>\displaystyle N(m,\sigma)</math> oznacza rozkład normalny o
parametrach <math>\displaystyle m</math> oraz <math>\displaystyle \sigma</math> - jego
dystrybuantę oznaczamy przez <math>\displaystyle \Phi_{m,\sigma}</math>. Wykres gęstości rozkładu normalnego nosi
nazwę krzywej Gaussa. 

Poniższy wykres przedstawia gęstości rozkładów
<math>\displaystyle N(20,1)</math>, <math>\displaystyle N(20,2)</math> i <math>\displaystyle N(20,3)</math>, przy czym mniejszym wartościom <math>\displaystyle \sigma</math>
odpowiada bardziej stromy wykres.

<center>
<flash>file=Rp.1.91.swf|width=350|height=350</flash>  
</center>

Znaczenie parametru <math>\displaystyle \sigma</math> ilustruje też następująca animacja (tutaj <math>\displaystyle m = 20</math>):

<div class="thumb" align="center"><flashwrap>file=Rp91.swf|size=small</flashwrap></div>


Kolejny wykres przedstawia gęstości rozkładów
<math>\displaystyle N(15,3)</math>, <math>\displaystyle N(20,3)</math> i <math>\displaystyle N(25,3)</math>.

<center>
<flash>file=Rp.1.92.swf|width=350|height=350</flash>  
</center>

Aby jeszcze lepiej uzmysłowić sobie  znaczenie parametru <math>\displaystyle m</math>, proponujemy uruchomić następującą animację (<math>\displaystyle \sigma = 2</math>):

<div class="thumb" align="center"><flashwrap>file=Rp92.swf|size=small</flashwrap></div>

<span id="dystrybuanta">Dystrybuantę</span> <math>\displaystyle \Phi_{0,1}</math>
oznaczamy krótko przez <math>\displaystyle \Phi</math>. Wyraża się więc ona następującym wzorem:


{{wzor|9.1|9.1|
<math>\displaystyle 
\Phi(x)                  =                  \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\int_{-\infty}^xe^{-\frac{1}{2}t^2}dt.
</math>}}


Poniższy wykres przedstawia gęstość rozkładu
<math>\displaystyle N(0,1)</math>, który nazywamy standardowym rozkładem normalnym. Zauważmy, że zakreskowany obszar posiada pole równe <math>\displaystyle \Phi(1)</math>.

<center>
<flash>file=Rp.1.93.swf|width=350|height=350</flash>  
</center>


Wartości dystrybuanty <math>\displaystyle \Phi</math> zostały stablicowane
oraz są dostępne w wielu komputerowych
programach matematycznych lub statystycznych.
Oczywiście, pakiety statystyczne programu Maple zawierają odpowiednie procedury (jakie?).

Zwróćmy uwagę na dwie własności
funkcji <math>\displaystyle \Phi</math>,posiadające (przede wszystkim)
rachunkowe znaczenie. Wynikają one
bezpośrednio ze wzoru na [[#9.1|9.1]] <math>\displaystyle \Phi_{0,1}</math>
i mają oczywistą interpretację geometryczną (ćwiczenie). Mianowicie:



<center><math>\displaystyle 
\Phi (0) = \frac{1}{2}\;\; \mbox{ oraz } \;\;\Phi
(x) = 1 - \Phi (-x) \mbox{ dla każdego } x \in {\Bbb R}
</math></center>


oraz


<center><math>\displaystyle 
\Phi^{-1} (\alpha) = -\Phi^{-1}(1-\alpha) \mbox{ dla każdego } \alpha \in [0,1].
</math></center>


Użyteczność powyższych wzorów można zaobserwować zwłaszcza wtedy, gdy nie
dysponujemy odpowiednim pakietem komputerowym czy
kalkulatorem, ale są one także ważne przy pewnych
przekształceniach. Podobnie następna równość, którą
można otrzymać stosując prostą  zmianę zmiennych (patrz wykład z [[Analiza matematyczna|Analizy matematycznej]]), pozwala za
pomocą <math>\displaystyle \Phi</math> obliczać dystrybuanty
<math>\displaystyle \Phi_{m,\sigma}</math> dla pozostałych parametrów <math>\displaystyle m</math> i <math>\displaystyle \sigma</math>. Mianowicie:


{{wzor|9.2|9.2|
<math>\displaystyle 
\Phi_{m,\sigma}(x) = \Phi\left(\frac{x-m}{\sigma}\right).
</math>}}


Parametry  <math>\displaystyle m</math> i <math>\displaystyle \sigma</math> mają bardzo wyraźną interpretację
probabilistyczną. Okazuje się bowiem, iż nadzieja
matematyczna oraz wariancja w rozkładzie <math>\displaystyle N(m,\sigma)</math>
wyrażają się wzorami:


<center><math>\displaystyle 
{\Bbb E}(X) = m, \hspace{2cm} {\Bbb D}^2 (X) = \sigma^2.
</math></center>


Zauważmy też, że <math>\displaystyle m</math> jest punktem, w którym  gęstość
rozkładu <math>\displaystyle N(m,\sigma)</math> osiąga wartość
największą, prosta <math>\displaystyle x = m</math> jest osią symetrii jej wykresu,
zaś punkty  <math>\displaystyle m-  \sigma </math> i  <math>\displaystyle m+\sigma</math> - punktami
przegięcia (patrz wykład z [[Analiza matematyczna|Analizy matematycznej]]).

{{przyklad|9.1|przy_9.1||
Postaramy się uzasadnić ilościowo, że  parametr  <math>\displaystyle \sigma</math>
jest miarą "rozrzutu" rozkładu
<math>\displaystyle N(m,\sigma)</math>, względem punktu <math>\displaystyle m</math>. Obliczmy w tym celu:
}}

<center><math>\displaystyle 
r_k = P(m - k\sigma,m +k\sigma) \;\;\mbox{ dla } k =1,2,3,
</math></center>


gdzie <math>\displaystyle P</math> jest rozkładem <math>\displaystyle N(m,\sigma)</math>.
Otrzymujemy:


<center><math>\displaystyle 
r_k = \Phi_{m,\sigma}(m + k\sigma) - \Phi_{m,\sigma}(m - k\sigma)
= \Phi(k) - \Phi(-k) = 2\Phi(k) - 1.
</math></center>


Korzystając z tablic lub z komputera, bez trudu dostajemy:


<center><math>\displaystyle 
r1 \approx 0.682689492, \;\;r2 \approx 0.954499736, \;\;r3 \approx 0.997300204.
</math></center>


Tak  więc  szansa znajdowania się poza przedziałem  <math>\displaystyle (m  -3\sigma,\;m  +
3\sigma)</math> wynosi istotnie mniej niż <math>\displaystyle 1\%</math>. Im mniejszy
jest parametr <math>\displaystyle \sigma</math>, tym bardziej rozkład
<math>\displaystyle N(m,\sigma)</math> jest "skupiony w  okolicy"  punktu <math>\displaystyle x
=m</math>.  


Dystrybuanta <math>\displaystyle \Phi</math> rozkładu normalnego <math>\displaystyle N(0,1)</math> (w tablicy podano wartości     <math>\displaystyle \Phi(x)</math> dla <math>\displaystyle x\in [0, 3.09]</math>).
{| border=1 align="center" cellpadding="5" cellspacing="0"
|+ <span style="font-variant:small-caps"></span>
|- 
| <math>\displaystyle x</math> || 0,00 || 0,01 || 0,02 || 0,03 || 0,04 || 0,05 || 0,06 || 0,07 || 0,08 || 0,09
|-
| 0,0 || 0,5000 || 0,5040 || 0,5080 || 0,5120 || 0,5160 || 0,5199 || 0,5239 || 0,5279 || 0,5319 || 0,5359
|-
| 0,1 || 0,5398 || 0,5438 || 0,5478 || 0,5517 || 0,5557 || 0,5596 || 0,5636 || 0,5675 || 0,5714 || 0,5753
|-
| 0,2 || 0,5793 || 0,5832 || 0,5871 || 0,5910 || 0,5948 || 0,5987 || 0,6026 || 0,6064 || 0,6103 || 0,6141
|-
| 0,3 || 0,6179 || 0,6217 || 0,6255 || 0,6293 || 0,6331 || 0,6368 || 0,6406 || 0,6443 || 0,6480 || 0,6517
|-
| 0,4 || 0,6554 || 0,6591 || 0,6628 || 0,6664 || 0,6700 || 0,6736 || 0,6772 || 0,6808 || 0,6844 || 0,6879
|-
| 0,5 || 0,6915 || 0,6950 || 0,6985 || 0,7019 || 0,7054 || 0,7088 || 0,7123 || 0,7157 || 0,7190 || 0,7224
|-
| 0,6 || 0,7257 || 0,7291 || 0,7324 || 0,7357 || 0,7389 || 0,7422 || 0,7454 || 0,7486 || 0,7517 || 0,7549
|-
| 0,7 || 0,7580 || 0,7611 || 0,7642 || 0,7673 || 0,7704 || 0,7734 || 0,7764 || 0,7794 || 0,7823 || 0,7852
|-
| 0,8 || 0,7881 || 0,7910 || 0,7939 || 0,7967 || 0,7995 || 0,8023 || 0,8051 || 0,8078 || 0,8106 || 0,8133
|-
| 0,9 || 0,8159 || 0,8186 || 0,8212 || 0,8238 || 0,8264 || 0,8289 || 0,8315 || 0,8340 || 0,8365 || 0,8389
|-
| 1,0 || 0,8413 || 0,8438 || 0,8461 || 0,8485 || 0,8508 || 0,8531 || 0,8554 || 0,8577 || 0,8599 || 0,8621
|-
| 1,1 || 0,8643 || 0,8665 || 0,8686 || 0,8708 || 0,8729 || 0,8749 || 0,8770 || 0,8790 || 0,8810 || 0,8830
|-
| 1,2 || 0,8849 || 0,8869 || 0,8888 || 0,8907 || 0,8925 || 0,8944 || 0,8962 || 0,8980 || 0,8997 || 0,9015
|-
| 1,3 || 0,9032 || 0,9049 || 0,9066 || 0,9082 || 0,9099 || 0,9115 || 0,9131 || 0,9147 || 0,9162 || 0,9177
|-
| 1,4 || 0,9192 || 0,9207 || 0,9222 || 0,9236 || 0,9251 || 0,9265 || 0,9279 || 0,9292 || 0,9306 || 0,9319
|-
| 1,5 || 0,9332 || 0,9345 || 0,9357 || 0,9370 || 0,9382 || 0,9394 || 0,9406 || 0,9418 || 0,9429 || 0,9441
|-
| 1,6 || 0,9452 || 0,9463 || 0,9474 || 0,9484 || 0,9495 || 0,9505 || 0,9515 || 0,9525 || 0,9535 || 0,9545
|-
| 1,7 || 0,9554 || 0,9564 || 0,9573 || 0,9582 || 0,9591 || 0,9599 || 0,9608 || 0,9616 || 0,9625 || 0,9633
|-
| 1,8 || 0,9641 || 0,9649 || 0,9656 || 0,9664 || 0,9671 || 0,9678 || 0,9686 || 0,9693 || 0,9699 || 0,9706
|-
| 1,9 || 0,9713 || 0,9719 || 0,9726 || 0,9732 || 0,9738 || 0,9744 || 0,9750 || 0,9756 || 0,9761 || 0,9767
|-
| 2,0 || 0,9772 || 0,9778 || 0,9783 || 0,9788 || 0,9793 || 0,9798 || 0,9803 || 0,9808 || 0,9812 || 0,9817
|-
| 2,1 || 0,9821 || 0,9826 || 0,9830 || 0,9834 || 0,9838 || 0,9842 || 0,9846 || 0,9850 || 0,9854 || 0,9857
|-
| 2,2 || 0,9861 || 0,9864 || 0,9868 || 0,9871 || 0,9875 || 0,9878 || 0,9881 || 0,9884 || 0,9887 || 0,9890
|-
| 2,3 || 0,9893 || 0,9896 || 0,9898 || 0,9901 || 0,9904 || 0,9906 || 0,9909 || 0,9911 || 0,9913 || 0,9916
|-
| 2,4 || 0,9918 || 0,9920 || 0,9922 || 0,9925 || 0,9927 || 0,9929 || 0,9931 || 0,9932 || 0,9934 || 0,9936
|-
| 2,5 || 0,9938 || 0,9940 || 0,9941 || 0,9943 || 0,9945 || 0,9946 || 0,9948 || 0,9949 || 0,9951 || 0,9952
|-
| 2,6 || 0,9953 || 0,9955 || 0,9956 || 0,9957 || 0,9959 || 0,9960 || 0,9961 || 0,9962 || 0,9963 || 0,9964
|-
| 2,7 || 0,9965 || 0,9966 || 0,9967 || 0,9968 || 0,9969 || 0,9970 || 0,9971 || 0,9972 || 0,9973 || 0,9974
|-
| 2,8 || 0,9974 || 0,9975 || 0,9976 || 0,9977 || 0,9977 || 0,9978 || 0,9979 || 0,9979 || 0,9980 || 0,9981
|-
| 2,9 || 0,9981 || 0,9982 || 0,9982 || 0,9983 || 0,9984 || 0,9984 || 0,9985 || 0,9985 || 0,9986 || 0,9986
|-
| 3,0 || 0,9987 || 0,9987 || 0,9987 || 0,9988 || 0,9988 || 0,9989 || 0,9989 || 0,9989 || 0,9990 || 0,9990
|-
|}


Jak powyżej wspomnieliśmy,  rozkład  normalny
jest bardzo ważnym rozkładem. Dzieje się tak między
innymi dlatego, że wiele  zjawisk przyrodniczych,
społecznych i  innych  przebiega  zgodnie  z  tym
rozkładem. Ma on również olbrzymie znaczenie
teoretyczne. Poniżej przedstawiamy tak  zwane
centralne  twierdzenie  graniczne, które częściowo
wyjaśnia znaczenie rozkładu normalnego. Twierdzenie to
gwarantuje,  że (pod  pewnymi  dość  naturalnymi
założeniami) suma dużej ilości niezależnych
zmiennych  losowych  ma  w  przybliżeniu rozkład
normalny. Na zakończenie tego punktu wypowiemy jeszcze jedno ważne twierdzenie dotyczące rozkładu normalnego.

{{twierdzenie|9.2|tw_9.2|
Niech <math>\displaystyle X_1</math> oraz <math>\displaystyle X_2</math> będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych, odpowiednio <math>\displaystyle N(m_1,\sigma_1)</math> oraz <math>\displaystyle N(m_2,\sigma_2)</math>.
 
Wtedy:
# <math>\displaystyle X_1 + X_2 \sim N(m_1+m_2, \sqrt{\sigma_1^2+ \sigma_2^2}),</math>
# <math>\displaystyle aX_1 + b \sim N(am_1 + b, |a|\sigma_1)</math> dla wszystkich <math>\displaystyle a, b \in {\Bbb R}.</math>

}}

==Centralne twierdzenie graniczne==

Prawa wielkich liczb mówią o zbieżności średnich
arytmetycznych, interpretowanych czasem jako średnie
czasowe,  niezależnych zmiennych losowych.
Twierdzenia te mają olbrzymią  wartość poznawczą,
jednak  ich   wartość   praktyczna   jest   nieco
mniejsza.   W szczególności, prawa wielkich liczb nie
dają żadnej informacji o rozkładzie sumy zmiennych
losowych, podczas gdy  w  wielu  konkretnych  zagadnieniach
znajomość rozkładu ma podstawowe znaczenie.  Właśnie  centralne twierdzenie
graniczne   pozwala rozwiązać ten problem. Jak  już
wspominaliśmy,  wynika  z&nbsp;niego, że  suma
niezależnych zmiennych  losowych spełniających
zupełnie naturalne warunki ma w przybliżeniu rozkład
normalny.

Ze względu na wagę centralnego twierdzenia granicznego
wypowiemy je w trzech wersjach. Pierwsza z nich - do
niedawna  najczęściej używana - ma w dobie komputerów
mniejsze  znaczenie  praktyczne,jednak w dalszym
ciągu jest najbardziej popularna.

'''Założenie.'''<br>

''<math>\displaystyle (\Omega, \Sigma,P)</math> jest przestrzenią
probabilistyczną, zaś  <math>\displaystyle X_1,\,X_2,\, X_3,\dots</math>
- ciągiem niezależnych zmiennych losowych
określonych na <math>\displaystyle \Omega</math>. Wszystkie zmienne losowe
<math>\displaystyle X_i</math> mają taki sam rozkład, a ich wspólna nadzieja
matematyczna <math>\displaystyle m</math> oraz wariancja <math>\displaystyle \sigma^2</math> istnieją i
są skończone, przy czym <math>\displaystyle \sigma
> 0</math> (ten ostatni warunek oznacza, że zmienne losowe nie są stałymi). Jak zawsze oznaczamy:'' 


<center><math>\displaystyle 
S_n = X_1 + \dots +X_n.
</math></center>


Będziemy   badać  najpierw zbieżność tak zwanych
sum standaryzowanych, a dopiero potem wyciągniemy
wnioski dotyczące samych sum <math>\displaystyle S_n</math> oraz średnich <math>\displaystyle \displaystyle S_n
\over n</math>.

Zmienną losową:


<center><math>\displaystyle 
Z_n   :=   \frac{S_n   -E(S_n)}{\sqrt{D^2(S_n)}}   =    \frac{S_n
-nm}{\sigma \sqrt{n}}
</math></center>


nazywamy standaryzacją  sumy <math>\displaystyle S_n</math>.
Jak łatwo zauważyć: 


<center><math>\displaystyle 
E(Z_n) = 0\;\; \text{oraz}\;\; D^2(Z_n) = 1.
</math></center>


{{twierdzenie|9.3 [Lindeberga-Levy'ego]|tw 9.3|


Dla każdego <math>\displaystyle x \in  {\Bbb R}</math> zachodzi równość:


<center><math>\displaystyle 
\lim_{n\rightarrow \infty}P(Z_n \le  x)  =  \Phi(x),
</math></center>


gdzie <math>\displaystyle \Phi</math>  jest
dystrybuantą rozkładu <math>\displaystyle N(0,1)</math>. 
}}

{{dowod|||
Dowód tego twierdzenia jest długi  i skomplikowany, więc nie przytaczamy go tutaj.
}}

Twierdzenie Lindeberga-Levy'ego można wypowiedzieć
w  wersjach bardziej naturalnych - bez używania
standaryzacji <math>\displaystyle Z_n</math>.

{{twierdzenie|9.4 [Centralne tw. graniczne dla sum]|tw 9.4|

Rozkład zmiennej losowej <math>\displaystyle S_n</math> jest asymptotycznie równy rozkładowi
<math>\displaystyle N(nm,\sigma\sqrt{n})</math>. Inaczej:


<center><math>\displaystyle 
\lim_{n\rightarrow              \infty}(F_{S_n}(x)              -
\Phi_{nm,\sigma\sqrt{n}}(x)) = 0,
</math></center>


dla  <math>\displaystyle x
\in  {\Bbb R}.</math>  }}

{{twierdzenie|9.5 [Centralne tw. graniczne dla średnich]|tw_9.5|
Rozkład zmiennej losowej <math>\frac{S_n}{n}</math>  jest   asymptotycznie   równy
rozkładowi <math>\displaystyle N(m,{\sigma\over \sqrt{n}})</math>.
Inaczej:


<center><math>\displaystyle 
\lim_{n\rightarrow         \infty}(F_{\frac{S_n}{n}}(x)         -
\Phi_{m,{\sigma\over \sqrt{n}}}(x)) = 0,
</math></center>


dla  <math>\displaystyle x
\in  {\Bbb R}.</math> }}

{{przyklad|9.6.|przy_9.6|
Zinterpretujemy twierdzenie, mówiące
o  rozkładzie sumy niezależnych zmiennych losowych.
Wyobraźmy sobie  eksperyment polegający na wielokrotnym
rzucie kostką do gry. Suma  uzyskanych oczek <math>\displaystyle S</math> jest
zmienną losową mającą, zgodnie  z  cytowanym twierdzeniem,  w
przybliżeniu rozkład <math>\displaystyle N(nm, \sigma \sqrt{n})</math>,
gdzie <math>\displaystyle m</math> oraz <math>\displaystyle \sigma</math> są odpowiednio nadzieją
matematyczną oraz odchyleniem standardowym zmiennej
losowej <math>\displaystyle X</math>, reprezentującej wynik pojedynczego
rzutu, a <math>\displaystyle n</math> jest liczbą wykonanych prób. Ponieważ
<math>\displaystyle X</math>  ma rozkład dyskretny,  skupiony  w  punktach
<math>\displaystyle 1,2,3,4,5,6</math>  przyjmowanych  z jednakowym
prawdopodobieństwem   <math>\displaystyle \frac{1}{6}</math>, więc   bez
trudu    można stwierdzić, że: 


<center><math>\displaystyle 
m =  3.5 \;\;\text{oraz}\;\; \sigma  =
\frac{\sqrt{105}}{6}  \approx  1.7078251.
</math></center> }}


Przypuśćmy, że wykonano 1000 rzutów (<math>\displaystyle n = 1000</math>). Wówczas  suma <math>\displaystyle S_{1000}</math>
ma w przybliżeniu rozkład <math>\displaystyle N(3500,54,00617)</math>.

Zweryfikujmy "doświadczalnie" uzyskany wynik. W  tym
celu  można przeprowadzić  symulację  tysiąca rzutów
kostką   za   pomocą komputera, uzyskując odpowiednią
wartość  sumy  wszystkich  uzyskanych oczek.
Doświadczenie to powtórzymy 400 razy, uzyskując <math>\displaystyle 400</math>
wartości sumy oczek. Poniżej przytaczamy kod programu Maple, umożliwiający przeprowadzenie takiej symulacji.

  > kostka := rand(1..6):
  > k := 400: n := 1000: lista := NULL:
  > from 1 to k do
  > S := 0:
  > from 1 to n do
  > S := S + kostka():
  > od:
  > lista := lista,S
  > od:''

Aby graficznie zinterpretować  otrzymane dane,  najpierw sporządzamy odpowiedni szereg rozdzielczy
(rozważamy 18 klas):

  ''> dane := stats[transform,tallyinto['skrajne']]([lista],
  > [seq(3320 + (i - 1)*20..3320 + i*20, i = 1..18)]);

          dane := [Weight(3480 .. 3500,55),
          Weight(3560 .. 3580,33), Weight(3660 .. 3680,0),
          Weight(3340 .. 3360,5), Weight(3540 .. 3560,31),
          Weight(3640 .. 3660,4), Weight(3360 .. 3380,2),
          Weight(3520 .. 3540,43), Weight(3420 .. 3440,28),
          Weight(3620 .. 3640,4), Weight(3460 .. 3480,53),
          Weight(3320 .. 3340,0), Weight(3500 .. 3520,66),
          Weight(3600 .. 3620,10), Weight(3380 .. 3400,8),
          Weight(3400 .. 3420,13), Weight(3440 .. 3460,28),
          Weight(3580 .. 3600,17)];''

Sprawdzamy, czy są sumy, które nie zostały
uwzględnione - sumy te byłyby wpisane na listę o nazwie
<tt>skrajne</tt>:

  ''> skrajne;''

<center><math>\displaystyle \mathit{skrajne}
</math></center>

Okazało się więc, że w tym przypadku wszystkie sumy zostały uwzględnione.

W celu sporządzenia histogramu, dobieramy wysokości słupków tak,
aby pola wszystkich słupków dawały w sumie <math>\displaystyle 1</math>:

  > dane1 := stats[transform,
  > scaleweight[1/nops([lista])]](dane);}{}

          dane1 := [Weight(3480 .. 3500,11/80), Weight(3560 .. 3580,33/400),
          Weight(3660 .. 3680,0), Weight(3340 .. 3360,1/80), Weight(3540 .. 3560,31/400),
          Weight(3640 .. 3660,1/100), Weight(3360 .. 3380,1/200), Weight(3520 .. 3540,43/400),
          Weight(3420 .. 3440,7/100), Weight(3620 .. 3640,1/100), Weight(3460 .. 3480,53/400),
          Weight(3320 .. 3340,0), Weight(3500 .. 3520,33/200), Weight(3600 .. 3620,1/40),
          Weight(3380 .. 3400,1/50), Weight(3400 .. 3420,13/400), Weight(3440 .. 3460,7/100),
          Weight(3580 .. 3600,17/400)];''

Teraz rysujemy histogram:

  ''> stats[statplots,histogram](dane1);''

<center>
<flash>file=Rp.1.94.swf|width=350|height=350</flash>  
</center>

oraz zachowujemy powyższy wykres:

''<pre> > g1 := %:</pre>''

Dla wygody obliczamy jeszcze raz nadzieję i wariancję dla pojedynczej kostki:

 ''> ek := add(i,i=1..6)/6: vk := add(i^2,i=1..6)/6 - ek^2:''

a następnie obliczamy nadzieję i wariancję sumy:

 ''> es := n*ek;  vs := n*vk;''


<center><math>\displaystyle \mathit{es} := 3500
</math></center>


<center><math>\displaystyle 
\mathit{vs} := {\displaystyle \frac {8750}{3}}
</math></center>


Przygotowujemy wykres gęstości rozkładu teoretycznego (lecz go
jeszcze nie wyświetlamy):

  ''> g2 := plot(f(es,sqrt(vs)),3320..3680, color=black):''

Obliczamy średnią i odchylenie standardowe dla szeregu rozdzielczego:

  ''> ee := evalf(stats[describe,mean]([lista]));''


<center><math>\displaystyle \mathit{ee} := 3501.587500
</math></center>


  ''> ve := evalf(stats[describe,standarddeviation]([lista]));''


<center><math>\displaystyle \mathit{ve} := 57.07764311
</math></center>


Teraz przygotowujemy wykres gęstości rozkładu normalnego o parametrach
obliczonych z szeregu rozdzielczego:

  ''> g3 := plot(f(ee,ve),3320..3680, color=black,thickness=2):''

aby następnie wyświetlić, na jednym rysunku, histogram i dwie
poprzednio otrzymane gęstości:

  ''> plots[display](g1,g2,g3);''


<center>
<flash>file=Rp.1.95.swf|width=350|height=350</flash>  
</center>


Ponieważ bardzo  często zmiennymi losowymi są
niezależne próby Bernoulliego, więc  sformułujemy centralne  twierdzenie
graniczne specjalnie dla tego przypadku. Jest
to  natychmiastowy wniosek z&nbsp;twierdzenia Lindeberga-Levy'ego ([[#tw_9.3|twierdzenie 9.3]]).


{{twierdzenie|9.7 [de Moivre'a-Laplace'a]|tw_9.7|
Niech   <math>\displaystyle X_1,
\,X_2,   \,   X_3,\dots</math>   będzie   ciągiem
niezależnych prób Bernoulliego, z takim samym
prawdopodobieństwem  sukcesu <math>\displaystyle p</math> i
porażki <math>\displaystyle q = 1 - p</math> w każdej próbie (<math>\displaystyle 0<p<1</math>). Wtedy:


<center><math>\displaystyle 
P\left(\frac{S_n - np}{\sqrt{npq}} \le  x\right)  \longrightarrow
\Phi(x),
</math></center>


dla każdego <math>\displaystyle x \in {\Bbb R}</math>. }}

Oczywiście, [[#tw_9.4|twierdzenie 9.4]] i [[#tw_9.5|twierdzenie 9.5]] można także z&nbsp;łatwością przeformułować dla
przypadku  niezależnych  prób Bernoulliego.

{{uwaga|9.8|uw 9.8|
Wyraźnie zaznaczamy,  że  centralne  twierdzenie
graniczne  jest prawdziwe przy dużo ogólniejszych
założeniach.  W  szczególności zmienne losowe nie muszą
mieć takiego samego rozkładu, a nawet nie  muszą być
niezależne. Jednakże, różnym wersjom centralnego  twierdzenia
granicznego  przyświeca ta sama idea:

suma  niewiele  zależnych  od  siebie   składników
losowych, z których żaden nie dominuje istotnie nad
pozostałymi, ma w przybliżeniu rozkład normalny.

}}
<div class="references-small"> 
<references/> 
</div>