Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Test 3: Przestrzeń probabilistyczna I

Niech $\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)$ będzie dowolną przestrzenią probabilistyczną. Wówczas dla dowolnych zbiorów $\displaystyle A,B\subset \Sigma$ takich, że $\displaystyle A\subset B$ zachodzi:

$\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)$? Źle

$\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$? Dobrze

$\displaystyle P(A\cap B)<P(B)$. Źle

$\displaystyle P(A\setminus B)=0$. Dobrze

Które z poniższych rodzin stanowią $\displaystyle \sigma$-algebry w zbiorze liczb naturalnych $\displaystyle \mathbb {N}$?

$\displaystyle \{\emptyset ,2\mathbb {N} ,\mathbb {N} \setminus 2\mathbb {N} ,\mathbb {N} \}$, gdzie $\displaystyle 2\mathbb {N}$ oznacza zbiór liczb naturalnych parzystych. Dobrze

$\displaystyle \{\emptyset ,A_{2},A_{3},\mathbb {N} \}$, gdzie $\displaystyle A_{n}$ oznacza zbiór liczb naturalnych podzielnych przez $\displaystyle n$. Źle

$\displaystyle \displaystyle \bigcup _{n=10}^{\infty }{\cal {P}}(\{0,1,2,\ldots ,n\})$. Dobrze

Rodzina co najmniej 10-elementowych podzbiorów $\displaystyle \mathbb {N}$. Źle

Rzucono $\displaystyle 100$ razy monetą. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

Orła wyrzucono co najmniej $\displaystyle 50$ razy. Źle

Nie jest możliwe, że za każdym razem otrzymano reszkę. Źle

Prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie 2 orłów jest równe prawdopodobieństwu otrzymania dokładnie 98 reszek. Dobrze

Zdarzenie polegające na wyrzuceniu co najmniej 10 orłów lub co najwyżej 99 reszek jest zdarzeniem pewnym. Źle

Rozważmy dowolnie ustaloną miarę $\displaystyle \mu$, określoną na $\displaystyle \sigma$-algebrze zbiorów borelowskich w przestrzeni $\displaystyle {\mathbb {R}}^{2}$. Wówczas:

$\displaystyle \mu$ jest miarą Lebesgue'a. Źle

$\displaystyle \mu ({\mathbb {R}}^{2})=1$. Źle

każde koło o promieniu 1 jest zbiorem $\displaystyle \mu$-mierzalnym. Dobrze

jeżeli $\displaystyle \mu ((0,1)\times (0,1))>0$, to $\displaystyle \mu (A)>0$, gdzie $\displaystyle A$ jest kołem o środku w początku układu współrzędnych i promieniu $\displaystyle 2$. Dobrze

Trzy osoby wybierają spośród trzech różnych par rękawiczek po lewej i prawej rękawiczce. Prawdopodobieństwo tego, że żadna z nich nie dostała pary:

jest większe od prawdopodobieństwa tego, że wszyscy otrzymali sparowane rękawiczki. Dobrze

jest równe dokładnie $\displaystyle 0.33$. Źle

wynosi dokładnie $\displaystyle {\frac {2}{3}}$. Źle

jest mniejsze niż $\displaystyle {\frac {1}{2}}$. Dobrze

Które z poniższych zdań są prawdziwe?

Jeżeli w 100 kolejnych rzutach monetą za każdym razem otrzymano orła, to w następnym rzucie prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki jest większe niż prawdopodobieństwo wyrzucenia orła. Źle

W każdej przestrzeni probabilistycznej $\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)$ znajdziemy niepusty zbiór $\displaystyle A$ taki, że $\displaystyle P(A)=0$. Źle

Każda nieskończona przestrzeń probabilistyczna zawiera niepuste zdarzenie o zerowym prawdopodobieństwie. Źle

Wśród 400 losowo wybranych osób znajdują się dwie, które obchodzą urodziny w tym samym dniu. Dobrze