Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Test 13: Przedziały ufności i testy

Z jednej partii pewnego towaru wybrano losowo $\displaystyle 50$ sztuk, z których dwie okazały się wadliwe. Niech $\displaystyle (a,b)$ będzie $\displaystyle 95\%$ przedziałem ufności dla frakcji elementów wadliwych w tej partii. Wówczas:

$\displaystyle b-a\in (0.1,0.11)$. Dobrze

$\displaystyle a\approx -0.1$. Źle

$\displaystyle a\approx -0.0143$, $\displaystyle b=0.1$. Źle

$\displaystyle |a-b|\leq 0.1$. Źle

Załóżmy, że błąd pomiaru pewnego termometru elektronicznego ma rozkład normalny o wariancji $\displaystyle 0.04^{\circ }$C. Ilu niezależnych pomiarów temperatury wystarczy dokonać, aby mieć $\displaystyle 99\%$ pewności, że średnia z otrzymanych wyników wskazuje faktyczną temperaturę, z błędem nie większym niż $\displaystyle 0.01^{\circ }$C?

2 670. Dobrze

3 000. Dobrze

2 000. Źle

2 652. Źle

Do weryfikacji pewnej hipotezy $\displaystyle \mathrm {H} _{0}$ użyto statystyki testowej $\displaystyle U$, której rozkład, przy założeniu prawdziwości $\displaystyle \mathrm {H_{0}}$, jest rozkładem Studenta o $\displaystyle 10$ stopniach swobody, otrzymując $\displaystyle U\approx 1.812$ oraz wartość-$\displaystyle p$ w przybliżeniu równą $\displaystyle 0.05$. Jaką postać mógł posiadać zbiór krytyczny $\displaystyle K$, którego użyto w tym teście?

$\displaystyle K=[-a,a]$. Źle

$\displaystyle K=(-\infty ,-a]\cup [a,\infty )$. Źle

$\displaystyle K=[a,\infty )$. Dobrze

$\displaystyle K=(-\infty ,a]$. Źle

Z pewnej populacji, w której iloraz inteligencji posiada rozkład $\displaystyle N(\mu ,10)$, wybrano losowo 10 000 osób, zbadano ich iloraz inteligencji otrzymując średnią 123.5, a następnie na poziomie istotności $\displaystyle \alpha =0.1$ przetestowano hipotezę $\displaystyle H_{0}\colon \mu =124$, przy alternatywie $\displaystyle H_{1}\colon \mu <124$. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

Wynik testu sugerował odrzucenie $\displaystyle H_{0}$ na korzyść $\displaystyle H_{1}$. Dobrze

Nie byłoby podstaw do odrzucenia Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle H_0} , gdyby Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle \alpha} było równe Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle \frac{1}{10000000}} . Dobrze

Wynik testu świadczył o tym, iż nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle H_0} . Źle

Wartość-Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle p} wyniosła w tym teście około Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle 0,00000029} . Źle

Testujemy pewną hipotezę Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle H_0} , wykorzystując statystykę Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle T} oraz zbiór krytyczny Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle K} . Które z poniższych wielkości oznaczają błąd drugiego rodzaju?

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle P(T\notin K\mid H_0 } - prawdziwa Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle )} . Źle

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle P(T\notin K\mid H_0 } - fałszywa Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle )} . Dobrze

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle P(T\in K\mid H_0 } - prawdziwa Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle )} . Źle

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle 1-P(T\in K\mid H_0 } - fałszywa Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle )} . Dobrze

Pewna firma wypuszcza nowy produkt na rynek i chce sprawdzić, która z pięciu proponowanych nazw tego produktu (powiedzmy A, B, C, D lub E) najbardziej spodoba się klientom. Poproszono więc grupę losowo wybranych osób, aby wskazali najbardziej przypadającą im do gustu nazwę, otrzymując następujące wyniki:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle \begin{array} {c|c|c|c|c|} A & B & C & D & E\\ \hline 35 & 45 & 40 & 50 & 30\\ \hline \end{array} }

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

Jeżeli testem zgodności Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle \chi^{2}} weryfikujemy na poziomie istotności Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle \alpha=0.01} hipotezę, że nazwy te podobają się w takim samym stopniu, to otrzymujemy wartość statystyki testowej równą Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „https://wazniak.mimuw.edu.pl/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \displaystyle 6.5} . Źle

Jeżeli testem zgodności $\displaystyle \chi ^{2}$ weryfikujemy na poziomie istotności $\displaystyle \alpha =0.01$ hipotezę, że nazwy te podobają się w takim samym stopniu, to otrzymujemy zbiór krytyczny $\displaystyle K=(a,\infty )$, gdzie $\displaystyle a\approx 0.297$. Źle

Wynik testu zgodności $\displaystyle \chi ^{2}$ na poziomie istotności $\displaystyle \alpha =0.075$ wskazuje na to, że nazwy te podobają się klientom w istotnie niejednakowym stopniu. Źle

Wynik testu zgodności $\displaystyle \chi ^{2}$ na poziomie istotności $\displaystyle \alpha =0.05$ wskazuje na to, że nazwy te w jednakowym stopniu podobają się klientom. Dobrze