Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Test 12: Metoda największej wiarygodności

Z Studia Informatyczne
< Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Wersja z dnia 10:00, 29 wrz 2006 autorstwa Rogoda (dyskusja | edycje)
(różn.) ← poprzednia wersja | przejdź do aktualnej wersji (różn.) | następna wersja → (różn.)
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Rozważmy funkcję , określoną wzorem:

Wówczas:

nie istnieje wartość największa funkcji .

funkcja przyjmuje wartość największą w parzystej liczbie punktów.

wartość największa funkcji jest równa .

wartość największa funkcji jest liczbą niewymierną.


Załóżmy, że próbka prosta pochodzi z rozkładu ciągłego

o gęstości:

gdzie oznacza funkcję charakterystyczną przedziału , oraz że jest estymatorem największej wiarygodności parametru . Wtedy:

jest w tym rozkładzie estymatorem największej wiarygodności wartości oczekiwanej.

jest estymatorem zgodnym parametru .

.

.


Załóżmy, że prawdopodobieństwo zachorowania na pewną chorobę jest wprost proporcjonalne do wieku, ze współczynnikiem proporcjonalności . Zbadano 20-elementowe próbki ludności w różnym wieku, otrzymując następujące wyniki: \begincenter

Uzupelnij tytul
 Wiek  ||    ||    ||   
 Liczba chorych  ||    ||    ||   
.

\endcenter Jeżeli oznacza wyestymowaną, na podstawie powyższych danych, wartość nieznanego parametru , przy użyciu metody największej wiarygodności, to:

.

.

.

żadne z powyższych.


Estymatorem największej wiarygodności parametru\linebreak w rozkładzie jednostajnym na odcinku jest:

.

.

.

.


Czterech koszykarzy amatorów ćwiczyło rzuty "za 3 punkty". Pierwszy z nich trafił za drugim razem, drugi -- za trzecim, trzeci -- za czwartym, zaś czwarty -- za pierwszym. Zakładając dla wszystkich graczy jednakową celność , metodą największej wiarygodności wyznaczono estymator nieznanej wartości . Oceń prawdziwość poniższych zdań.

.

.

.

.


W celu oszacowania wartości przeciętnej czasu bezawaryjnej pracy nowego systemu operacyjnego NIWUX 2006, przeznaczonego dla komputerów osobistych klasy PC, zainstalowano ten system na 10 losowo wybranych komputerach, a następnie (dla każdego z nich) zmierzono czas od momentu uruchomienia do momentu pierwszego "zawieszenia" systemu, otrzymując następujące wyniki (w godzinach):

Jeżeli założymy, że czas bezawaryjnej pracy systemu NIWUX 2006 ma rozkład wykładniczy z parametrem , to, korzystając z metody największej wiarogodności, otrzymujemy:

.

, gdzie jest oceną parametru .

, gdzie jest takie jak wyżej.

, gdzie jest takie jak wyżej.