Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Test 12: Metoda największej wiarygodności: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
 
 
Linia 32: Linia 32:
 
ze współczynnikiem proporcjonalności <math>\displaystyle \theta>0</math>.
 
ze współczynnikiem proporcjonalności <math>\displaystyle \theta>0</math>.
 
Zbadano 20-elementowe próbki ludności w różnym wieku, otrzymując następujące wyniki:
 
Zbadano 20-elementowe próbki ludności w różnym wieku, otrzymując następujące wyniki:
\begincenter
 
  
{| border=1
+
<center><math>\displaystyle \begin{array} {r|c|c|c|c|} Wiek & 10 & 30 & 80\\
|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
+
\hline Liczba \quad chorych & 1 & 5 & 9\\
|-
+
\hline \end{array} </math></center>
|
 
  Wiek  ||  <math>\displaystyle 10</math>  || <math>\displaystyle 30</math>  || <math>\displaystyle 80</math>
 
|-
 
|
 
  Liczba chorych ||  <math>\displaystyle 1</math>  || <math>\displaystyle 5</math> ||  <math>\displaystyle 9</math>  
 
|-
 
|
 
  
|}
 
  
.
 
\endcenter
 
 
Jeżeli <math>\displaystyle \hat{\theta}</math> oznacza wyestymowaną, na podstawie powyższych danych, wartość nieznanego
 
Jeżeli <math>\displaystyle \hat{\theta}</math> oznacza wyestymowaną, na podstawie powyższych danych, wartość nieznanego
 
parametru <math>\displaystyle \theta</math>, przy użyciu metody największej wiarygodności, to:
 
parametru <math>\displaystyle \theta</math>, przy użyciu metody największej wiarygodności, to:

Aktualna wersja na dzień 10:18, 29 wrz 2006

Rozważmy funkcję , określoną wzorem:

Wówczas:

nie istnieje wartość największa funkcji .

funkcja przyjmuje wartość największą w parzystej liczbie punktów.

wartość największa funkcji jest równa .

wartość największa funkcji jest liczbą niewymierną.


Załóżmy, że próbka prosta pochodzi z rozkładu ciągłego

o gęstości:

gdzie oznacza funkcję charakterystyczną przedziału , oraz że jest estymatorem największej wiarygodności parametru . Wtedy:

jest w tym rozkładzie estymatorem największej wiarygodności wartości oczekiwanej.

jest estymatorem zgodnym parametru .

.

.


Załóżmy, że prawdopodobieństwo zachorowania na pewną chorobę jest wprost proporcjonalne do wieku, ze współczynnikiem proporcjonalności . Zbadano 20-elementowe próbki ludności w różnym wieku, otrzymując następujące wyniki:


Jeżeli oznacza wyestymowaną, na podstawie powyższych danych, wartość nieznanego parametru , przy użyciu metody największej wiarygodności, to:

.

.

.

żadne z powyższych.


Estymatorem największej wiarygodności parametru\linebreak w rozkładzie jednostajnym na odcinku jest:

.

.

.

.


Czterech koszykarzy amatorów ćwiczyło rzuty "za 3 punkty". Pierwszy z nich trafił za drugim razem, drugi -- za trzecim, trzeci -- za czwartym, zaś czwarty -- za pierwszym. Zakładając dla wszystkich graczy jednakową celność , metodą największej wiarygodności wyznaczono estymator nieznanej wartości . Oceń prawdziwość poniższych zdań.

.

.

.

.


W celu oszacowania wartości przeciętnej czasu bezawaryjnej pracy nowego systemu operacyjnego NIWUX 2006, przeznaczonego dla komputerów osobistych klasy PC, zainstalowano ten system na 10 losowo wybranych komputerach, a następnie (dla każdego z nich) zmierzono czas od momentu uruchomienia do momentu pierwszego "zawieszenia" systemu, otrzymując następujące wyniki (w godzinach):

Jeżeli założymy, że czas bezawaryjnej pracy systemu NIWUX 2006 ma rozkład wykładniczy z parametrem , to, korzystając z metody największej wiarogodności, otrzymujemy:

.

, gdzie jest oceną parametru .

, gdzie jest takie jak wyżej.

, gdzie jest takie jak wyżej.