Tekst źródłowy strony Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Test 12: Metoda największej wiarygodności

<quiz>Rozważmy funkcję <math>f\colon {\Bbb R}\longrightarrow {\Bbb R}</math>, określoną wzorem:

<center><math>f(x) =\left\{ \begin{array} {rl}
-x^2\ln{|x|}, &  x \neq 0\\
0, & x=0.
\end{array}  \right.</math></center>

Wówczas:

<wrongoption>nie istnieje wartość największa funkcji <math>f</math>.</wrongoption>
<rightoption>funkcja <math>f</math> przyjmuje wartość największą w parzystej liczbie punktów.</rightoption>
<wrongoption>wartość największa funkcji <math>f</math> jest równa <math>0</math>.</wrongoption>
<rightoption>wartość największa funkcji <math>f</math> jest liczbą niewymierną.</rightoption>
</quiz>


<quiz>Załóżmy, że próbka prosta <math>X_1,\ldots,X_n</math> pochodzi z rozkładu ciągłego
o gęstości: <center><math>f(x)=\alpha^2xe^{-\alpha x}I_{[0,\infty)}(x)</math>,</center>

gdzie <math>I_{[0,\infty)}</math> oznacza funkcję charakterystyczną przedziału <math>[0,\infty)</math>, oraz że <math>T(X_1,\ldots,X_n)</math> jest estymatorem
największej wiarygodności parametru <math>\alpha</math>.
Wtedy:

<rightoption><math>S(X_1,\ldots,X_n) = \frac{2\sum_{i=1}^n X_i}{2n-1}</math> jest w tym rozkładzie estymatorem największej wiarygodności wartości oczekiwanej.</rightoption>
<rightoption><math>\frac{nT}{n+1}</math> jest estymatorem zgodnym parametru <math>\alpha</math>.</rightoption>
<wrongoption><math>T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{2n}{\sum_{i=1}^n X_i}</math>.</wrongoption>
<wrongoption><math>T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{2n+1}{\sum_{i=1}^n X_i}</math>.</wrongoption>
</quiz>


<quiz>Załóżmy, że prawdopodobieństwo zachorowania na pewną chorobę jest wprost proporcjonalne do wieku,
ze współczynnikiem proporcjonalności <math>\theta>0</math>.
Zbadano 20-elementowe próbki ludności w różnym wieku, otrzymując następujące wyniki:

<center><math>\begin{array} {r|c|c|c|c|} Wiek & 10 & 30 & 80\\
\hline Liczba \quad chorych & 1 & 5 & 9\\
\hline \end{array}</math></center>


Jeżeli <math>\hat{\theta}</math> oznacza wyestymowaną, na podstawie powyższych danych, wartość nieznanego
parametru <math>\theta</math>, przy użyciu metody największej wiarygodności, to:

<wrongoption><math>\theta>\frac{1}{80}</math>.</wrongoption>
<wrongoption><math>\theta=0.01</math>.</wrongoption>
<wrongoption><math>\theta\in (0.01,0.0125)</math>.</wrongoption>
<rightoption>żadne z powyższych.</rightoption>
</quiz>


<quiz>Estymatorem największej wiarygodności parametru\linebreak <math>\alpha<0</math> w rozkładzie jednostajnym na odcinku
<math>[\alpha,0]</math> jest:

<wrongoption><math>\max\{X_1,\ldots,X_n\}</math>.</wrongoption>
<wrongoption><math>\frac{n+1}{n}\min\{X_1,\ldots,X_n\}</math>.</wrongoption>
<wrongoption><math>2\bar{X}</math>.</wrongoption>
<rightoption><math>\min\{X_1,\ldots,X_n\}</math>.</rightoption>
</quiz>


<quiz>Czterech koszykarzy amatorów ćwiczyło rzuty "za 3
punkty". Pierwszy z nich trafił za drugim razem, drugi --
za trzecim, trzeci -- za czwartym, zaś czwarty -- za
pierwszym. Zakładając dla wszystkich graczy jednakową
celność <math>p</math>, metodą największej wiarygodności wyznaczono
estymator <math>\hat{p}</math> nieznanej wartości <math>p</math>. Oceń
prawdziwość poniższych zdań.

<rightoption><math>\hat{p}<0.5</math>.</rightoption>
<wrongoption><math>\hat{p}<0.4</math>.</wrongoption>
<rightoption><math>\hat{p}=0.4</math>.</rightoption>
<wrongoption><math>\hat{p}>\frac{2}{5}</math>.</wrongoption>
</quiz>


<quiz>W celu oszacowania wartości przeciętnej <math>\hat{m}</math> czasu bezawaryjnej pracy nowego systemu operacyjnego NIWUX 2006,
przeznaczonego dla komputerów osobistych klasy PC, zainstalowano ten system na 10 losowo wybranych
komputerach, a następnie (dla każdego z nich)
zmierzono czas od momentu uruchomienia do  momentu pierwszego "zawieszenia" systemu, otrzymując następujące wyniki
(w godzinach):
<center><math>2.5,2,2.5,1.5,3.5,4,4.5,2,3,3</math>.</center>

Jeżeli założymy, że czas bezawaryjnej pracy systemu NIWUX 2006 ma
rozkład wykładniczy z parametrem <math>\lambda</math>, to, korzystając z
metody największej wiarogodności, otrzymujemy:

<wrongoption><math>\hat{m}=2.9</math>.</wrongoption>
<wrongoption><math>\hat{\lambda}=\frac{10}{29}</math>, gdzie <math>\hat{\lambda}</math> jest oceną parametru <math>\lambda</math>.</wrongoption>
<wrongoption><math>\hat{m}=\hat{\lambda}</math>, gdzie <math>\hat{\lambda}</math> jest takie jak wyżej.</wrongoption>
<rightoption><math>\hat{\lambda}\approx 0.35</math>, gdzie <math>\hat{\lambda}</math> jest takie jak wyżej.</rightoption>
</quiz>