Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka/Ćwiczenia 2: Statystyka opisowa

Ćwiczenia

Ćwiczenie 2.1

Oprócz średniej arytmetycznej rozważa się także inne średnie. Na przykład, dla cechy o wartościach dodatnich $x_{1},\dots ,x_{n}$, warto czasem używać tak zwanej średniej geometrycznej:

$s_{g}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}$

Rozpatrzmy (prawie rzeczywisty) przykład. Na pewien elitarny kierunek studiów, oferujący tylko 25 miejsc, o przyjęciu decydują punkty z dwóch przedmiotów maturalnych, powiedzmy z przedmiotu $A$ oraz z przedmiotu $B$. Z danego przedmiotu można uzyskać od 0 do 100 punktów, ale w praktyce zgłaszają się kandydaci mający co najmniej 70 punktów z każdego przedmiotu. W celu ustalenia odpowiedniego rankingu trzeba brać pod uwagę oczywiście oba przedmioty, a więc najprostszym rozwiązaniem wydaje się być wzięcie średniej arytmetycznej. Jednak wtedy wszystkie wyniki będą zawierać się w przedziale od 70 do 100, zatem (biorąc pod uwagę także połówki punktów) będzie możliwych 61 wyników. Przy 200 kandydatach, wiele osób będzie miało taką samą liczbę punktów, co może powodować kłopoty z decyzją o przyjęciu. Natomiast biorąc pod uwagę średnią geometryczną, a właściwie jej kwadrat, wydłużamy sobie skalę - od 4 900 do 10 000 tysięcy - a więc te same wyniki nie powinny się zbyt często powtarzać.

Ćwiczenie 2.2

Rozważa się też często tak zwaną średnią ważoną. Niech będą dane wartości cechy $x_{1},\dots ,x_{n}$ oraz dodatnie liczby $w_{1},\dots ,w_{n}$, zwane wagami. Wówczas średnia ważona to wielkość:

$s_{w}={\frac {1}{w}}(w_{1}x_{1}+\dots +w_{n}x_{n})$,

gdzie $w=w_{1}+\dots +w_{n}$.

Wagi są najczęściej określane indywidualnie i subiektywnie. Przydzielając dużą wagę konkretnej wartości powodujemy, że wielkość ta ma większy wpływ na średnią obliczaną w powyższy sposób. Na przykład, na zakończenie studiów ustala się ocenę końcową na podstawie następujących parametrów: średniej ocen ze wszystkich przedmiotów, oceny pracy dyplomowej oraz wyniku egzaminu dyplomowego. Zdarza się, że uczelnie na niektórych kierunkach przyjmują wagi: 4 dla średniej ocen, 2 dla oceny pracy dyplomowej oraz 2 dla wyniku egzaminu dyplomowego. Inne uczelnie, preferujące jeszcze bardziej średnią ze studiów, mogą z kolei przyjąć, odpowiednio, następujące wagi: 6, 1, 1.

Ćwiczenie 2.3

Wyznaczymy parametry dla danych z GPW, zaprezentowanych w ćwiczeniu 1.4.

Najpierw policzymy parametry dla danych surowych.

Średnia: ${\bar {x}}=-0.365625$.

Co prawda, w tamtym dniu na GPW był WZROST a nie spadek indeksów, jednakże nie jest sprzeczne z naszym wyliczeniem, bo indeksy wzrostu są średnimi ważonymi, a nie arytmetycznymi.

Mediana: $me=0$.

Na pierwszy rzut oka jest to dość dziwny wynik, ale po dokładniejszym przyjrzeniu się danym można go łatwo uzasadnić.

Moda: $0$.

Wariancja: $s_{n}^{2}\approx 6.02148$.

Ale można także dostać wynik: $s_{n}^{2}\approx 5.99796$! To, że pewne parametry statystyczne daje się zdefiniować na dwa (lub nawet trzy), nieznacznie różniące się między sobą sposoby, jest dość typową sytuacją. W tym przypadku, ta druga wielkość została obliczona z następującego wzoru:

$s_{n}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {x}})^{2}$

Co ciekawe, oba wyniki można otrzymać wykorzystując dwa różne pakiety statystyczne programu Maple, o których wspominaliśmy na poprzednich ćwiczeniach (czy pamiętasz ich nazwy?). Jak zobaczymy na wykładzie 11, dzielenie przez $n-1$ (zamiast przez $n$) jest w pewien sposób uzasadnione.

Na zakończenie obliczymy parametry dla danych skumulowanych w szereg rozdzielczy.

Średnia: ${\bar {x}}=-0.234375$.

Mediana: $me\approx 0.034722$.

Wariancja: $s_{n}^{2}\approx 6.3123$.

Ćwiczenie 2.4

Do graficznej reprezentacji kwantyli, a w zasadzie kwartyli, służy wykres określany mianem "pudełko z wąsami". Górna i dolna krawędź owego pudełka to $Q_{3}$ oraz $Q_{1}$. Przez środek pudełka przechodzi linia, która oznacza medianę. "Wąsy" to wypustki biegnące od pudełka w górę i w dół, zakończone liniami poziomymi określającymi położenie najbardziej skrajnych elementów.

<flash>file=box-and-whisker.swf|width=500|height=500</flash>

Istnieje pewne zróżnicowanie pudełek z wąsami, związane ze znaczeniem poszczególnych linii. Warto jest zawsze spojrzeć na stronę Pomocy programu z którego się korzysta. Oto fragment Pomocy pakietu ${\texttt {s}}tats$ z programu Maple:

 A box plot comprises these elements:

 1) A box with

   - a central line showing the median,

   - a lower line showing the first quartile,

   - an upper line showing the third quartile;

 2) Two lines extending from the central box of maximal length 3/2 the interquartile range but not extending past the range of the data;

 3) Outliers, points that lie outside the extent of the previous elements.

A oto pudełko z wąsami dla danych (surowych) z GPW:

<flash>file=Rp.1.21.swf|width=350|height=350</flash>

Ćwiczenie 2.5

W trakcie pisemnego egzaminu ze statystyki osoby rozwiązujące zestawy $A$ i $B$ otrzymały następujące wyniki (w punktach):

A := [11, 9, 9.5, 12.5, 10, 4.5, 4.5, 5, 6, 16, 12, 11, 10, 3.5, 7, 7, 7, 8, 6, 0.5, 15.5],

B := [4, 10, 11.5, 8, 8.5, 12, 11, 8, 8, 10, 13.5, 3.5, 12, 11, 11, 5.5, 6, 9, 1.5, 11, 8, 8.5 ].

Pierwsze porównanie wyników można zrobić używając pudełek:

<flash>file=Rp.1.22.swf|width=350|height=350</flash>

Od razu widać, że raczej lepsze wyniki były w grupie $B$, jakkolwiek w grupie $A$ osiągnięto najlepszy wynik.

---

Zadanie 2.1
Przypuśćmy, że jest dwóch kandydatów na studia w sytuacji opisanej w ćwiczeniu 2.1: jeden ma dobre i porównywalne ze sobą wyniki z przedmiotu $A$, natomiast drugi jest zdecydowanie lepszy z przedmiotu $A$ lecz, niestety, zdecydowanie gorszy z przedmiotu $B$. Załóżmy, że średnie arytmetyczne tych kandydatów są takie same. Który z nich dostanie się na studia?

Zadanie 2.2
Ocena z egzaminu końcowego z pewnego przedmiotu, ustalana jest na podstawie średniej ważonej ocen z dwóch sprawdzianów w trakcie semestru oraz oceny z testu końcowego w sesji. Jakie wagi powinno się, Twoim zdaniem, przyjąć w tym przypadku?

Zadanie 2.3
Zastanów się, jak zdefiniować geometryczną średnią ważoną.

Zadanie 2.4
Ściągnij ze strony GPW:

http://www.gpw.com.pl

bieżące dane dotyczące zmian kursów akcji i porównaj je z danymi załączonymi do ćwiczenia 1.4: (a) obliczając i porównując odpowiednie parametry, (b) rysując obok siebie dwa pudełka z wąsami.

Zadanie 2.5
Dane są następujące wartości cechy $X$:

$3,5,10,6,8,6,8,10,12$.

Naszkicuj dystrybuantę empiryczną dla cechy $X$, a następnie, na tym rysunku, zaznacz wszystkie kwartyle tej cechy.

Zadanie 2.6
Podaj przykładowe wartości cechy, dla której mediana jest dwa razy większa od średniej.

Zadanie 2.7
Niech $x_{1},\dots ,x_{n}$ będą wartościami pewnej cechy w skali porządkowej. Określmy liczby:

$z_{i}={\frac {x_{i}-{\bar {x}}}{s}}$,

gdzie $s$ jest odchyleniem standardowym danej cechy. Wykaż, że średnia z tak otrzymanych wartości wynosi 0, zaś odchylenie standardowe jest równe 1.