Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka (UW) Ćwiczenia 2

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Prawdopodobieństwo warunkowe, wzór iloczynowy

Zadanie 1

Wybrano losowo jedną z trzech kartek, pomalowanych z obu stron: czarno-czarnej, czarno-białej i biało-białej, a następnie wybrano losowo jedną z jej stron. Jeśli ta strona jest czarna, to jakie jest prawdopodobieństwo tego, że druga też jest czarna?

Zadanie 2

Wybieramy losowo numer z książki telefonicznej i pod niego dzwonimy. Osobę, która odbierze pytamy o to, czy ma dwójkę dzieci, a jeśli okaże się, że tak, to:

  1. pytamy, czy ma syna. Jeśli okaże się, że tak, to jakie jest prawdopodobieństwo tego, że drugie dziecko też jest synem?
  2. pytamy, czy któreś z dzieci ma na imię Jaś. Jeśli okaże się, że tak, to jakie jest prawdopodobieństwo tego, że drugie dziecko też jest synem?

Uwaga: W tym zadaniu trzeba oczywiście przyjąć pewne założenia co do częstości urodzin chłopców/dziewczynek oraz sposobu w jaki nadawane są im imiona.

Zadanie 3

Na inżynierii oprogramowania 16 studentów ma być podzielonych na 4 zespoły. Wśród nich jest 4 pracujących, z doświadczeniem w projektowaniu dużych systemów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że każdy z nich trafi do innej grupy? Uwaga: Nie rozwiązuj tego zadania wprost ze schematu klasycznego. Zamiast tego użyj pojęcia prawdopodobieństwa warunkowego.

Zadanie 4

W 3-osobowym pojedynku trzech kawalerów A, B, C strzela do wybranego przez siebie celu w kolejności A, B, C cyklicznie, aż zostanie tylko jeden z nich. Przypuśćmy, że A trafia z prawdopodobieństwem 0.3, B trafia zawsze, a C z prawdopodobieństwem 0.5. Jaką strategię powinien przyjąć A? Uwaga: Zakładamy, że pozostali strzelcy postępują racjonalnie, tzn. tak aby maksymalizować swoje szanse przeżycia.

Wzór na prawdopodobieństwo całkowite

Zadanie 1

Grasz w turnieju szachowym, w którym z 50% graczy masz szansę wygrania 30%, z 25% graczy szansę 40% i z 25% graczy szansę 50%. Pierwszą partię rozgrywasz z losowym przeciwnikiem. Jakie sa twoje szanse wygrania?

Zadanie 2 - model urnowy Polyi

W urnie są dwie kule: biała i czarna. -krotnie losujemy kulę z urny, po czym wrzucamy ją z powrotem wraz z drugą kulą tego samego koloru. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że po zakończeniu losowań wśród kul dokładnie jest białych?

Zadanie 3

Mamy urn. W -tej urnie znajduje się kul białych i kul czarnych. Wybieramy losowo urnę, a następnie losujemy z niej dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że są to kule różnych kolorów jeśli losujemy:

  1. bez zwracania,
  2. ze zwracaniem.


Twierdzenie Bayesa

Zadanie 1 - problem Monty Halla

Gracz w teleturnieju wybiera jedną z 3 zasłon. Za jedną z zasłon jest ukryty samochód, za pozostałymi nic nie ma. Prowadzący odsłania jedną z pozostałych dwóch zasłon i pokazuje, że niczego za nią nie ma, po czym daje graczowi szansę na zmianę wyboru.

  1. Czy gracz powinien zmienić swój wybór?
  2. Jakie maksymalne prawdopodobieństwo sukcesu może uzyskać?
  3. Jak zmieni się sytuacja, jeśli zasłon jest 100, a prowadzący odsłania wszystkie poza wskazaną przez gracza i jedną inną?

Uwaga: Przeanalizowanie konkretnej sytuacji opisanej w zadaniu jest istotnie bardziej skomplikowane niż porównanie strategii "zawsze zmieniaj" ze strategią "nigdy nie zmieniaj". Czy widzisz dlaczego?

Zadanie 2 - dylemat więźnia

Trzech więźniów A,B,C oczekuje na wykonanie kary śmierci. Więzień A dowiedział się, że dwóch więźniów zostanie ułaskawionych, ale nie wie o których więźniów chodzi. Chciałby o to zapytać strażnika, ale ponieważ ten odmawia udzielania informacji dotyczących jego losu, prosi go o ujawnienie jednego z ułaskawionych więźniów spośród B,C. Strażnik ponownie odmawia twierdząc, że w ten sposób zmniejszyłby szansę A na ułaskawienie z 2/3 do 1/2, a nie chce tego robić, bo lubi A. Czy strażnik słusznie odmawia?

Zadanie 3 - kontynuacja zadania 1 z poprzedniej serii

Przypuśćmy, że udało ci sie wygrać pierwsza partię. Jakie jest prawdopodobieństwo, że grałeś z graczem 3-go rodzaju?

Zadanie 4

Mamy do dyspozycji 3 telefony. Wiemy, że jeden z nich zawsze działa, drugi nigdy nie działa (ale zjada monety), a trzeci działa z prawdopodobieństwem (w pozostałych przypadkach zjada monety). Próbujemy zadzwonić z jednego z automatów i zjada on monetę. Zmieniamy automat i udaje nam się zadzwonić. Próbujemy raz jeszcze (nie zmieniając telefonu) i znów się udaje. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że telefon z którego zadzwoniliśmy 2 razy jest tym, który zawsze działa? Czy odpowiedź zmieniłaby się, gdyby nie było w zadaniu pierwszej (nieudanej) próby?

Zadanie 5

W sejmie mamy dwie partie. Posłowie partii A nigdy nie zmieniają zdania na żaden temat, a każdy z posłów partii B zmiena zdanie pomiędzy na temat głosowanej ustawy pomiędzy dwoma jej głosowaniami z prawdopodobieństwem . Wiadomo, że posłowie partii A stanowią frakcję wszystkich posłów, pozostali pochodzą z partii B. Obserwujemy losowego posła i głosuje on w ten sam sposób w dwóch kolejnych głosowaniach. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że pochodzi on z partii A?

Zadanie 6

Dane są dwie urny. W pierwszej urnie znajdują się 2 czerwone kule i 1 czarna, w drugiej 101 czerwonych i 100 czarnych. Ktoś wybiera losowo urnę (nie wiemy którą), z wybranej urny losuje kulę i mówi nam jakiego jest ona koloru. Następnie z tej samej urny losowana jest druga kula, przy czym możemy zażądać, aby uprzednio pierwsza kula wróciła do urny. Naszym zadaniem jest zgadnięcie z której urny są losowane kule. Jak wygląda optymalna strategia? Uwaga: To zadanie jest dość pracochłonne.

Zadanie 7 - doświadczenie Laplace'a

Danych jest urn. W -tej urnie znajduje się kul białych i kul czerwonych, dla . Wybieramy losowo urnę, a następnie -krotnie losujemy z wybranej urny jedną kulę ze zwracaniem. Przypuśćmy, że za każdym razem była to kula czerwona. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że kolejna kula wylosowana z tej urny też będzie czerwona? Uwaga: Laplace użył tego rozumowania do argumentowania na temat prawdopodobieństwa tego, że słońce następnego dnia wzejdzie na podstawie tego, że wzeszło odpowiednio wiele razy wcześniej. Co sądzisz o tym "zastosowaniu"?