PEE Moduł 4

Wykład 4. Metody analizy złożonych obwodów RLC w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym

---

Metoda równań Kirchhoffa W metodzie tej wykorzystuje się w bezpośredniej formie prawo prądowe i napięciowe Kirchhoffa uzupełnione o równania symboliczne opisujące poszczególne elementy obwodu. W efekcie zastosowania praw Kirchhoffa otrzymuje się układ równań algebraicznych o zespolonych współczynnikach. Jeśli założymy, że obwód posiada b gałęzi i n węzłów to w równaniach opisujących obwód wykorzystuje się (n-1) równań pochodzących z prawa prądowego Kirchhoffa. Pozostałe (b-n+1) równań wynika z prawa napięciowego Kirchhoffa dla (b-n+1) dowolnie wybranych oczek niezależnych w obwodzie (oczka uważa się za niezależne, jeśli równania napięciowe opisujące je są od siebie niezależne). Metoda oparta na twierdzeniu Thevenina Jednym z ważniejszych twierdzeń w teorii obwodów jest twierdzenie Thevenina. Pozwala ono zastąpić złożony obwód elektryczny o dowolnej strukturze i wartościach elementów, przez obwód prosty będący połączeniem szeregowym jednej impedancji zastępczej oraz źródła napięciowego. Umożliwia znaczne uproszczenie struktury obwodu, a w następstwie w bardzo prosty sposób wyznaczyć prąd lub napięcie jednej wybranej gałęzi obwodu.

---

Twierdzenie [Twierdzenie Thevenina] Dowolny, aktywny obwód liniowy można zastąpić od strony wybranych zacisków gałęzi AB uproszczonym obwodem równoważnym, złożonym z szeregowego połączenia jednego idealnego źródła napięcia i impedancji zastępczej obwodu. Wartość źródła zastępczego oblicza się na podstawie analizy obwodu oryginalnego jako napięcie panujące na zaciskach AB po odłączeniu gałęzi AB. Impedancja zastępcza widziana z zacisków AB dotyczy obwodu po wyłączeniu gałęzi AB i po zwarciu wszystkich źródeł napięcia oraz rozwarciu źródeł prądu.

---

Na rysunku obok (slajd 4) przedstawiono sposób transformacji obwodu zgodnie z twierdzeniem Thevenina ułatwiający obliczenie prądu w wybranej gałęzi AB obwodu. Prąd $I\,$ występujący w gałęzi AB obwodu oryginalnego jest równy prądowi $I\,$ w tej samej gałęzi obwodu uproszczonego. Napięcie $U_{AB}$ występujące na rysunku reprezentuje źródło zastępcze, natomiast impedancja $Z_{AB}$ jest impedancją zastępczą obwodu. Przy założeniu, że gałąź AB w której obliczamy prąd reprezentowana jest przez impedancję $Z\,$, prąd tej gałęzi można obliczyć korzystając z prawa napięciowego Kirchhoffa z którego wynika wyrażenie na prąd gałęzi w następującej postaci $I={U_{AB} \over Z+Z_{AB}}$ Metoda Thevenina w większości przypadków znakomicie upraszcza analizę obwodu. Jest szczególnie użyteczna w przypadkach, w których trzeba wyznaczyć tylko jeden prąd w obwodzie, gdyż można dokonać tego bez konieczności rozwiązywania układu równań algebraicznych lub przy znacznej redukcji liczby tych równań.

---

---

---

Łatwo pokazać, że impedancja zastępcza tego obwodu jest równa $Z_{AB}={R_{1}R_{2} \over R_{1}+R_{2}}+{Z_{L}Z_{C} \over Z_{L}+Z_{C}}={5\cdot 5 \over 5+5}+{j5\cdot (-j10) \over j5-j10}=2,5+j10$ Rys. b na slajdzie nr 6 przedstawia obwód do obliczenia wartości źródła zastępczego $U_{AB}$ w schemacie zastępczym Thevenina. Obliczając kolejno prądy $I_{1}={E \over R_{1}+R_{2}}=1$ $I_{2}={E \over jX_{L}-jX_{C}}=2j$ $U_{AB}=R_{1}I_{1}-Z_{C}I_{2}=-15$ $I_{2}={E \over jX_{L}-jX_{C}}=2j$ napięcie $U_{AB}$ określa się ze wzoru $U_{AB}=R_{1}I_{1}-Z_{C}I_{2}=-15$

---

Wykorzystując obwód zastępczy Thevenina z rysunku na slajdzie 8 i prawo napięciowe Kirchhoffa, wartość skuteczną zespoloną prądu $I\,$ określa się ze wzoru $I={U_{AB} \over Z_{AB}+R_{0}-jX_{C0}}={-15 \over 2,5+j10+7,5-j5}={-15 \over 11,18e^{j26^{\circ }}}=-1,34e^{-j26^{\circ }}$ Wartości chwilowe prądu $i(t)\,$ wyznaczane są z zależności $i(t)=-1,34{\sqrt {2}}sin(\omega t-26^{\circ })A$ Zauważmy, że zastosowanie twierdzenia Thevenina umożliwiło rozwiązanie obwodu względem jednego wybranego prądu bez konieczności rozwiązania układu równań algebraicznych. Metoda oparta na twierdzeniu Nortona Twierdzenie Nortona pozwala zastąpić złożony obwód elektryczny o dowolnej strukturze i wartościach elementów, przez obwód prosty będący połączeniem równoległym jednej impedancji zastępczej oraz idealnego źródła prądowego.

---

Twierdzenie [Twierdzenie Nortona] Dowolny aktywny obwód liniowy można od strony wybranych zacisków AB zastąpić obwodem równoważnym, złożonym z równoległego połączenia idealnego źródła prądu i impedancji zastępczej obwodu. Wartość źródła zastępczego oblicza się w obwodzie oryginalnym jako prąd zwarciowy gałęzi AB. Impedancja zastępcza widziana z zacisków AB dotyczy obwodu po wyłączeniu gałęzi AB i po zwarciu wszystkich źródeł napięcia oraz rozwarciu źródeł prądu i jest identyczna z impedancją zastępczą w twierdzeniu Thevenina. Rysunek na slajdzie 10 przedstawia schemat transformacji obwodu zgodnie z twierdzeniem Nortona.

---

Prąd $I\,$ oraz napięcie $U\,$ występujące w gałęzi AB obwodu oryginalnego są równe odpowiednio prądowi $I\,$ oraz napięciu $U\,$ w tej samej gałęzi obwodu uproszczonego. Źródło prądowe $I_{Z}$ występujące na rysunku reprezentuje źródło zastępcze, natomiast impedancja $Z_{AB}$ jest impedancją zastępczą obwodu. Przy założeniu, że gałąź AB reprezentowana jest przez impedancję $Z\,$, napięcie tej gałęzi oblicza się z prawa prądowego Kirchhoffa $I_{Z}-U({1 \over Z}+{1 \over Z_{AB}})=0$, które pozwala wyrazić poszukiwane napięcie gałęzi w postaci $U={I_{Z} \over 1/Z+1/Z_{AB}}$ Znajomość napięcia pozwala wyznaczyć na podstawie prawa Ohma prąd gałęzi korzystając z zależności $I=U/Z$ Podobnie jak metoda Thevenina, zastosowanie twierdzenia Nortona umożliwia obliczenie prądu i napięcia tylko jednej gałęzi obwodu. Zwykle z punktu widzenia obliczeniowego wygodniejsze jest użycie metody Thevenina.

---

---

---

---

---