Matematyka dyskretna 1/Test 7: Funkcje tworzące

Na ile sposobów można rozmienić $\displaystyle 25$ centów za pomocą monet $\displaystyle 1$ , $\displaystyle 5$ , $\displaystyle 10$ oraz $\displaystyle 25$ centowych?

$\displaystyle 6$ Źle

$\displaystyle 12$ Źle

$\displaystyle 13$ Dobrze

$\displaystyle 49$ Źle

Funkcja tworząca postaci $\displaystyle G\!\left(x\right)=g_{0}+g_{1}x+g_{2}x^{2}+g_{3}x^{3}+\ldots$ ma odwrotną względem mnożenia (splotu), tzn. istnieje funkcja tworząca $\displaystyle U\!\left(x\right)$ taka, że $\displaystyle U\!\left(x\right)G\!\left(x\right)=1$:

jeśli $\displaystyle g_{0}\neq 1$ Źle

jeśli $\displaystyle g_{0}\neq 0$ Dobrze

jeśli wszystkie $\displaystyle g_{i}\neq 0$ Dobrze

wtedy i tylko wtedy, gdy $\displaystyle g_{0}\neq 0$ Dobrze

Funkcja $\displaystyle G\!\left(x\right)$ spełniająca $\displaystyle G\!\left(x\right)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\right)\cdot \left(1+xG\!\left(x\right)\right)$ jest funkcją tworzącą:

ciągu $\displaystyle 1,1,2,4,8,16,32,\ldots ,2^{n-1},\dots$ Źle

ciągu geometrycznego $\displaystyle g_{n}=2^{n}$ Dobrze

nie ma takiego ciągu Źle

nie istnieje taka funkcja tworząca Źle

Funkcja $\displaystyle G\!\left(x\right)$ spełniająca $\displaystyle G\!\left(x\right)=G'\!\left(x\right)$ oraz $\displaystyle G\!\left(0\right)=1$ jest funkcją tworzącą ciągu:

$\displaystyle g_{n}={\frac {1}{n}}$ Źle

$\displaystyle g_{n}={\frac {1}{n!}}$ Dobrze

$\displaystyle g_{n}=1$ Źle

$\displaystyle g_{0}=1$ oraz $\displaystyle g_{n}=0$ dla $\displaystyle n>1$ Źle

Niech $\displaystyle G\!\left(x\right)=\left(1+x\right)^{y}$ , gdzie $\displaystyle y$ jest liczba rzeczywistą. Jeśli $\displaystyle G\!\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}x^{n}$ , to:

$\displaystyle g_{n}={\frac {\left(y+n\right)^{\underline {n}}}{n}}$ Źle

$\displaystyle g_{n}={\frac {y^{n}}{n!}}$ Źle

$\displaystyle g_{n}={y+n \choose n}={\frac {\left(y+n\right)^{\underline {n}}}{n!}}$ Źle

$\displaystyle g_{n}={y \choose n}={\frac {y^{\underline {n}}}{n!}}$ Dobrze

Suma $\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left(3k^{2}-3k+1\right)$ wynosi:

$\displaystyle 2n^{3}+3n+n$ , Źle

$\displaystyle n^{3}$ , Dobrze

$\displaystyle \left(2n^{3}+3n+n\right)/{6}$ , Źle

$\displaystyle 3n^{3}-3n^{2}+n$ Źle

Niech $\displaystyle a_{0}=2$ , $\displaystyle a_{1}=3$ , $\displaystyle a_{2}=5$ , oraz $\displaystyle a_{n+3}=7a_{n+2}-16a_{n+1}+12a_{n}$ . Wtedy:

$\displaystyle a_{n}=\left(1-n\right)2^{n}+3^{n}$ Źle

$\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n+3}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n+3}\right)$ Dobrze

$\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right)$ Źle

żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest prawidłowa Źle