Matematyka dyskretna 1/Test 3: Zliczanie zbiorów i funkcji
Niech
będzie dowolnym zbiorem skończonym. Wtedy:liczba injekcji, liczba surjekcji i liczba bijekcji z
w jest taka samainjekcji i bijekcji z
w jest tyle samo, natomiast surjekcji może być mniejinjekcji i surjekcji z
w jest tyle samo, natomiast bijekcji może być mniejliczba injekcji jest niewiększa od liczby surjekcji, która jest niewiększa od liczby bijekcji (wszystkie funkcje z
w )Niech
będzie zbiorem dodatnich liczb nieparzystych. Wtedy:jest przeliczalny
istnieje injekcja z
wistnieje surjekcja z
wistnieje bijekcja z
w pewien właściwy podzbiórMaksymalna liczba punktów które można wybrać w trójkącie równobocznym o boku
(wraz z obrzeżami) tak, by dowolne dwa były odległe o co najmniej to:
Dla skończonych zbiorów
takich, że i , moc zbioru wynosi:
Gdy
jest zbiorem skończonym, to par takich, że jest:
Bartek, Paweł i Piotrek wybrali się na wesele znajomych. W pewnym momencie na parkiecie tańczyło
samotnych dziewcząt. Cała trójka postanowiła spróbować szczęścia. Najpierw jednak ustalili, że każdy poprosi do tańca inną panią. Na ile sposobów mogli oni dokonać wyboru?
Dowolna permutacja zbioru skończonego:
jest odwracalna
jest rozkładalna na cykle
jest rozkładalna na rozłączne cykle
jest jednoznacznie rozkładalna (z dokładnością do porządku cykli) na rozłączne cykle
W dowolnym dwu-kolorowaniu (białym i czarnym kolorem) punktów płaszczyzny
:dla nieskończenie wielu
istnieją dwa czarne punkty oddalone odla dowolnego
istnieją dwa czarne punkty oddalone odla nieskończenie wielu
istnieją dwa jednobarwne punkty oddalone odla dowolnego
istnieją dwa jednobarwne punkty oddalone oMasz zestaw składający się z trzech typów klocków:
dużych, średnich i małych. Piramidę złożoną z klocków (na dole największy, później średni i na górze mały) można zbudować na:sposobów
sposobów
sposobów
sposobów
Ile liczb rzeczywistych wystarcza by mieć pewność, że wśród nich co najmniej dwie mają rozwinięcia dziesiętne pokrywające się w nieskończonej liczbie miejsc po przecinku (jeśli liczba ma skończone rozwinięcie, to uzupełniamy je zerami).
nieskończenie wiele