Matematyka dyskretna 1/Test 3: Zliczanie zbiorów i funkcji

Niech $\displaystyle X$ będzie dowolnym zbiorem skończonym. Wtedy:

liczba injekcji, liczba surjekcji i liczba bijekcji z $\displaystyle X$ w $\displaystyle X$ jest taka sama Dobrze

injekcji i bijekcji z $\displaystyle X$ w $\displaystyle X$ jest tyle samo, natomiast surjekcji może być mniej Źle

injekcji i surjekcji z $\displaystyle X$ w $\displaystyle X$ jest tyle samo, natomiast bijekcji może być mniej Źle

liczba injekcji jest niewiększa od liczby surjekcji, która jest niewiększa od liczby bijekcji (wszystkie funkcje z $\displaystyle X$ w $\displaystyle X$) Dobrze

Niech $\displaystyle A$ będzie zbiorem dodatnich liczb nieparzystych. Wtedy:

$\displaystyle A$ jest przeliczalny Dobrze

istnieje injekcja z $\displaystyle A$ w $\displaystyle \mathbb {N}$ Dobrze

istnieje surjekcja z $\displaystyle A$ w $\displaystyle \mathbb {N}$ Dobrze

istnieje bijekcja z $\displaystyle A$ w pewien właściwy podzbiór $\displaystyle A$ Dobrze

Maksymalna liczba punktów które można wybrać w trójkącie równobocznym o boku $\displaystyle 1$ (wraz z obrzeżami) tak, by dowolne dwa były odległe o co najmniej $\displaystyle {\frac {1}{2}}$ to:

$\displaystyle 3$ Źle

$\displaystyle 4$ Źle

$\displaystyle 5$ Źle

$\displaystyle 6$ Dobrze

Dla skończonych zbiorów $\displaystyle A,B,C,D$ takich, że $\displaystyle A\cap B=\emptyset$ i $\displaystyle C\cap D=\emptyset$, moc zbioru $\displaystyle A\cup B\cup C\cup D$ wynosi:

$\displaystyle \left\vert A\right\vert +\left\vert B\right\vert +\left\vert C\right\vert +\left\vert D\right\vert -\left\vert A\cap C\right\vert -\left\vert A\cap D\right\vert -\left\vert B\cap C\right\vert -\left\vert B\cap D\right\vert$ Dobrze

$\displaystyle \displaystyle {\left\vert A\right\vert +\left\vert B\right\vert +\left\vert C\right\vert +\left\vert D\right\vert -\sum _{I,J\in \left\lbrace A,B,C,D\right\rbrace ,I\neq J}\left\vert I\cap J\right\vert +\sum _{I,J,K\in \left\lbrace A,B,C,D\right\rbrace ,I\neq J\neq K\neq I}\left\vert I\cap J\cap K\right\vert }$ Dobrze

$\displaystyle \left\vert A\cup B\right\vert +\left\vert C\cup D\right\vert$ Źle

$\displaystyle \left\vert A\cup C\right\vert +\left\vert B\cup D\right\vert$ Źle

Gdy $\displaystyle X$ jest zbiorem skończonym, to par $\displaystyle (A,B)$ takich, że $\displaystyle A\subseteq B\subseteq X$ jest:

$\displaystyle 2^{\left\vert X\right\vert }+2^{\left\vert X\right\vert }$ Źle

$\displaystyle 2^{\left\vert X\right\vert }\cdot 2^{\left\vert X\right\vert }$ Źle

$\displaystyle 2^{\left\vert X\right\vert ^{2}}$ Źle

$\displaystyle 3^{\left\vert X\right\vert }$ Dobrze

Bartek, Paweł i Piotrek wybrali się na wesele znajomych. W pewnym momencie na parkiecie tańczyło $\displaystyle 7$ samotnych dziewcząt. Cała trójka postanowiła spróbować szczęścia. Najpierw jednak ustalili, że każdy poprosi do tańca inną panią. Na ile sposobów mogli oni dokonać wyboru?

$\displaystyle 7^{3}$ Źle

$\displaystyle 3^{7}$ Źle

$\displaystyle 7!\cdot 3!$ Źle

$\displaystyle {\frac {7!}{4!}}$ Dobrze

Dowolna permutacja zbioru skończonego:

jest odwracalna Dobrze

jest rozkładalna na cykle Dobrze

jest rozkładalna na rozłączne cykle Dobrze

jest jednoznacznie rozkładalna (z dokładnością do porządku cykli) na rozłączne cykle Dobrze

W dowolnym dwu-kolorowaniu (białym i czarnym kolorem) punktów płaszczyzny $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$:

dla nieskończenie wielu $\displaystyle r>0$ istnieją dwa czarne punkty oddalone o $\displaystyle r$ Źle

dla dowolnego $\displaystyle r>0$ istnieją dwa czarne punkty oddalone o $\displaystyle r$ Źle

dla nieskończenie wielu $\displaystyle r>0$ istnieją dwa jednobarwne punkty oddalone o $\displaystyle r$ Dobrze

dla dowolnego $\displaystyle r>0$ istnieją dwa jednobarwne punkty oddalone o $\displaystyle r$ Dobrze

Masz zestaw składający się z trzech typów klocków: $\displaystyle 6$ dużych, $\displaystyle 7$ średnich i $\displaystyle 3$ małych. Piramidę złożoną z $\displaystyle 3$ klocków (na dole największy, później średni i na górze mały) można zbudować na:

$\displaystyle 6\cdot 7\cdot 3$ sposobów Dobrze

$\displaystyle {\frac {6\cdot 7\cdot 3}{2}}$ sposobów Źle

$\displaystyle {\frac {6\cdot 7\cdot 3}{3!}}$ sposobów Źle

$\displaystyle 6!7!3!$ sposobów Źle

Ile liczb rzeczywistych wystarcza by mieć pewność, że wśród nich co najmniej dwie mają rozwinięcia dziesiętne pokrywające się w nieskończonej liczbie miejsc po przecinku (jeśli liczba ma skończone rozwinięcie, to uzupełniamy je zerami).

$\displaystyle 2$ Źle

$\displaystyle 10$ Źle

$\displaystyle 11$ Dobrze

nieskończenie wiele Dobrze