Tekst źródłowy strony Matematyka dyskretna 1/Test 3: Zliczanie zbiorów i funkcji

<quiz>Niech <math>X</math> będzie dowolnym zbiorem skończonym. Wtedy:
<rightoption>  liczba injekcji, liczba surjekcji i liczba bijekcji z <math>X</math> w <math>X</math> jest taka sama</rightoption>
<wrongoption> injekcji i bijekcji z <math>X</math> w <math>X</math> jest tyle samo, natomiast surjekcji może być mniej</wrongoption>
<wrongoption> injekcji i surjekcji z <math>X</math> w <math>X</math> jest tyle samo, natomiast bijekcji może być mniej</wrongoption>
<rightoption>liczba injekcji jest niewiększa od liczby surjekcji, która jest niewiększa od liczby bijekcji (wszystkie funkcje z <math>X</math> w <math>X</math>)</rightoption>
</quiz>

<quiz>Niech <math>A</math> będzie zbiorem dodatnich liczb nieparzystych. Wtedy:
<rightoption>  <math>A</math> jest przeliczalny</rightoption>
<rightoption>  istnieje injekcja z <math>A</math> w <math>\mathbb{N}</math></rightoption>
<rightoption>  istnieje surjekcja z <math>A</math> w <math>\mathbb{N}</math></rightoption>
<rightoption>  istnieje bijekcja z <math>A</math> w pewien właściwy podzbiór <math>A</math></rightoption>
</quiz>

<quiz>Maksymalna liczba punktów które można wybrać w trójkącie równobocznym o boku <math>1</math> 
(wraz z obrzeżami) tak, by dowolne dwa były odległe o co najmniej <math>\frac{1}{2}</math> to:
<wrongoption> <math>3</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>4</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>5</math></wrongoption>
<rightoption>  <math>6</math></rightoption>
</quiz>

<quiz>Dla skończonych zbiorów <math>A,B,C,D</math> takich, 
że <math>A\cap B=\emptyset</math> i <math>C\cap D=\emptyset</math>, moc zbioru <math>A\cup B\cup C\cup D</math> wynosi:
<rightoption><math>\left\vert A \right\vert+\left\vert B \right\vert+\left\vert C \right\vert+\left\vert D \right\vert-\left\vert A\cap C \right\vert-\left\vert A\cap D \right\vert-\left\vert B\cap C \right\vert-\left\vert B\cap D \right\vert</math></rightoption>
<rightoption><math>{\left\vert A \right\vert+\left\vert B \right\vert+\left\vert C \right\vert+\left\vert D \right\vert-\sum_{I,J\in\left\lbrace A,B,C,D \right\rbrace, I\neq J}\left\vert I\cap J \right\vert+\sum_{I,J,K\in\left\lbrace A,B,C,D \right\rbrace, I\neq J\neq K \neq I}\left\vert I\cap J\cap K \right\vert}</math></rightoption>
<wrongoption> <math>\left\vert A\cup B \right\vert+\left\vert C\cup D \right\vert</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>\left\vert A\cup C \right\vert+\left\vert B\cup D \right\vert</math></wrongoption>
</quiz>

<quiz>Gdy <math>X</math> jest zbiorem skończonym, 
to par <math>(A,B)</math> takich, że <math>A\subseteq B\subseteq X</math> jest:
<wrongoption> <math>2^{\left\vert X \right\vert}+2^{\left\vert X \right\vert}</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>2^{\left\vert X \right\vert}\cdot 2^{\left\vert X \right\vert}</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>2^{\left\vert X \right\vert^2}</math></wrongoption>
<rightoption>  <math>3^{\left\vert X \right\vert}</math></rightoption>
</quiz>

<quiz>Bartek, Paweł i Piotrek wybrali się na wesele znajomych. 
W pewnym momencie na parkiecie tańczyło <math>7</math> samotnych dziewcząt. 
Cała trójka postanowiła spróbować szczęścia. 
Najpierw jednak ustalili, że każdy poprosi do tańca inną panią. 
Na ile sposobów mogli oni dokonać wyboru?
<wrongoption> <math>7^3</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>3^7</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>7!\cdot 3!</math></wrongoption>
<rightoption>  <math>\frac{7!}{4!}</math></rightoption>
</quiz>

<quiz>Dowolna permutacja zbioru skończonego:
<rightoption>  jest odwracalna</rightoption>
<rightoption>  jest rozkładalna na cykle</rightoption>
<rightoption>  jest rozkładalna na rozłączne cykle</rightoption>
<rightoption>  jest jednoznacznie rozkładalna (z dokładnością do porządku cykli) na rozłączne cykle</rightoption>
</quiz>

<quiz>W dowolnym dwu-kolorowaniu (białym i czarnym kolorem) punktów płaszczyzny <math>\mathbb{R}^2</math>:
<wrongoption> dla nieskończenie wielu <math>r>0</math> istnieją dwa czarne punkty oddalone o <math>r</math></wrongoption>
<wrongoption> dla dowolnego <math>r>0</math> istnieją dwa czarne punkty oddalone o <math>r</math></wrongoption>
<rightoption>  dla nieskończenie wielu <math>r>0</math> istnieją dwa jednobarwne punkty oddalone o <math>r</math></rightoption>
<rightoption>  dla dowolnego <math>r>0</math> istnieją dwa jednobarwne punkty oddalone o <math>r</math></rightoption>
</quiz> 

<quiz>Masz zestaw składający się z trzech typów klocków: 
<math>6</math> dużych, <math>7</math> średnich i <math>3</math> małych. 
Piramidę złożoną z <math>3</math> klocków (na dole największy, później średni i na górze mały)
można zbudować na:
<rightoption>  <math>6\cdot7\cdot 3</math> sposobów</rightoption>
<wrongoption> <math>\frac{6\cdot 7\cdot3}{2}</math> sposobów</wrongoption>
<wrongoption> <math>\frac{6\cdot 7\cdot 3}{3!}</math> sposobów</wrongoption>
<wrongoption> <math>6!7!3!</math> sposobów</wrongoption>
</quiz> 

<quiz>Ile liczb rzeczywistych wystarcza by mieć pewność, 
że wśród nich co najmniej dwie
mają rozwinięcia dziesiętne pokrywające się w nieskończonej liczbie miejsc po przecinku 
(jeśli liczba ma skończone rozwinięcie, to uzupełniamy je zerami).
<wrongoption> <math>2</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>10</math></wrongoption>
<rightoption>  <math>11</math></rightoption>
<rightoption>  nieskończenie wiele</rightoption>
</quiz>