Matematyka dyskretna 1/Ćwiczenia 5: Współczynniki dwumianowe: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
m
m (Zastępowanie tekstu - "<div class="thumb t(.*)"><div style="width:(.*)px;"> <flash>file=(.*)\.swf\|width=(.*)\|height=(.*)<\/flash> <div\.thumbcaption>(.*)<\/div><\/div> <\/div>" na "$4x$5px|thumb|$1|$6")
 
(Nie pokazano 2 wersji utworzonych przez 2 użytkowników)
Linia 28: Linia 28:
  
  
<center><math>\displaystyle \aligned \frac{n!}{k!(n-k)!}&<\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!},\\
+
<center><math>\displaystyle \begin{align} \frac{n!}{k!(n-k)!}&<\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!},\\
 
\frac{1}{n-k}&<\frac{1}{k+1},\\
 
\frac{1}{n-k}&<\frac{1}{k+1},\\
 
k+1&<n-k,\\
 
k+1&<n-k,\\
 
k&<\frac{n-1}{2}.
 
k&<\frac{n-1}{2}.
\endaligned</math></center>
+
\end{align}</math></center>
  
  
Linia 124: Linia 124:
  
  
<center><math>\displaystyle 1^2{n\choose 1}^2+2^2{n\choose 2}^2+\ldots+n^2{n\choose n}=n^2{2n-2\choose n-1}.
+
<center><math>\displaystyle 1^2{n\choose 1}^2+2^2{n\choose 2}^2+\ldots+n^2{n\choose n}^n=n^2{2n-2\choose n-1}.
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 166: Linia 166:
 
</div></div>
 
</div></div>
  
<div class="thumb tright"><div style="width:250px;">
+
[[File:SW 8.CW1.svg|250x250px|thumb|right|SW 8.CW1.swf]]
<flash>file=SW 8.CW1.swf|width=250|height=250</flash>
 
<div.thumbcaption>SW 8.CW1.swf</div></div>
 
</div>
 
  
 
{{cwiczenie|6|cw 6|
 
{{cwiczenie|6|cw 6|
Linia 184: Linia 181:
  
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
<div class="thumb tleft"><div style="width:250px;">
+
[[File:SW 8.CW2.svg|250x250px|thumb|left|SW 8.CW2.swf]]
<flash>file=SW 8.CW2.swf|width=250|height=250</flash>
 
<div.thumbcaption>SW 8.CW2.swf</div></div>
 
</div>
 
  
<div class="thumb tright"><div style="width:250px;">
+
[[File:SW 8.CW3.svg|250x250px|thumb|right|SW 8.CW3.swf]]
<flash>file=SW 8.CW3.swf|width=250|height=250</flash>
 
<div.thumbcaption>SW 8.CW3.swf</div></div>
 
</div>
 
  
 
Policzmy ile prostokątów w kratce <math>\displaystyle n\times n</math> położonych jest w lewej górnej podkratce  
 
Policzmy ile prostokątów w kratce <math>\displaystyle n\times n</math> położonych jest w lewej górnej podkratce  
Linia 254: Linia 245:
  
 
<center>
 
<center>
<math>\displaystyle \aligned {2(n+1)\choose n+1}
+
<math>\displaystyle \begin{align} {2(n+1)\choose n+1}
 
&=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}{2n\choose n}\\
 
&=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}{2n\choose n}\\
 
&=\frac{2(2n+1)}{n+1}(-4)^n{-\frac{1}{2}\choose n}\\
 
&=\frac{2(2n+1)}{n+1}(-4)^n{-\frac{1}{2}\choose n}\\
 
&=(-4)^{n+1}\frac{(-\frac{1}{2}-n)}{n+1}{-\frac{1}{2}\choose n}\\
 
&=(-4)^{n+1}\frac{(-\frac{1}{2}-n)}{n+1}{-\frac{1}{2}\choose n}\\
 
&=(-4)^{n+1}{-\frac{1}{2}\choose n+1}.
 
&=(-4)^{n+1}{-\frac{1}{2}\choose n+1}.
\endaligned</math>
+
\end{align}</math>
 
</center>
 
</center>
  
Linia 285: Linia 276:
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
  
<div class="thumb tright"><div style="width:250px;">
+
[[File:SW 8.CW4.svg|250x250px|thumb|right|SW 8.CW4.swf]]
<flash>file=SW 8.CW4.swf|width=250|height=250</flash>
 
<div.thumbcaption>SW 8.CW4.swf</div></div>
 
</div>
 
  
 
Dowód indukcyjny względem <math>\displaystyle n</math>. Dla <math>\displaystyle n=0</math> i <math>\displaystyle n=1</math> mamy odpowiednio  
 
Dowód indukcyjny względem <math>\displaystyle n</math>. Dla <math>\displaystyle n=0</math> i <math>\displaystyle n=1</math> mamy odpowiednio  
Linia 296: Linia 284:
  
 
<center>
 
<center>
<math>\displaystyle \aligned f_{n+2}&=f_n+f_{n+1}\\
+
<math>\displaystyle \begin{align} f_{n+2}&=f_n+f_{n+1}\\
 
&=\sum_{k=0}^{n-1}{n-1-k\choose k}+\sum_{k=0}^n{n-k\choose k}\\
 
&=\sum_{k=0}^{n-1}{n-1-k\choose k}+\sum_{k=0}^n{n-k\choose k}\\
 
&={n\choose 0}+\sum_{k=0}^{n-1}\left({n-1-k\choose k}+{n-(k+1)\choose k+1}\right)\\
 
&={n\choose 0}+\sum_{k=0}^{n-1}\left({n-1-k\choose k}+{n-(k+1)\choose k+1}\right)\\
Linia 303: Linia 291:
 
&=\sum_{k=0}^{n}{n+1-k\choose k}+ {0 \choose n+1}\\
 
&=\sum_{k=0}^{n}{n+1-k\choose k}+ {0 \choose n+1}\\
 
&=\sum_{k=0}^{n+1}{n+1-k\choose k}.  
 
&=\sum_{k=0}^{n+1}{n+1-k\choose k}.  
\endaligned</math>
+
\end{align}</math>
 
</center>
 
</center>
  
  
 
</div></div>
 
</div></div>

Aktualna wersja na dzień 15:05, 3 paź 2021

Współczynniki dwumianowe

Ćwiczenie 1

Wskaż największy wyraz w -tym wierszu Trójkąta Pascala i odpowiedź uzasadnij.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 2

Posługując się interpretacją kombinatoryczną pokaż, że



Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 3

Posługując się interpretacją kombinatoryczną pokaż, że



Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 4

Posługując się interpretacją kombinatoryczną pokaż, że



Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 5

Posługując się interpretacją kombinatoryczną pokaż, że



Wskazówka
Rozwiązanie
SW 8.CW1.swf

Ćwiczenie 6

Ile prostokątów zawiera się w kratce ? Dla przykładu w kratce jest ich .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 7

Udowodnij, że:



Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 8

Udowodnij, że:



gdzie jest -tą liczbą Fibonacci'ego

Wskazówka
Rozwiązanie