Matematyka dyskretna 1/Ćwiczenia 4: Sumy skończone i rachunek różnicowy: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
 
Linia 39: Linia 39:
  
  
<center><math>\displaystyle \aligned \sum_{i=0}^n(-1)^ii^2
+
<center><math>\displaystyle \begin{align} \sum_{i=0}^n(-1)^ii^2
 
&=\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}((2i)^2-(2i+1)^2)+n^2\\
 
&=\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}((2i)^2-(2i+1)^2)+n^2\\
 
&=n^2-\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}(4i+1)\\
 
&=n^2-\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}(4i+1)\\
 
&=n^2-\left( \frac{n}{2}(n-1) \right)\\
 
&=n^2-\left( \frac{n}{2}(n-1) \right)\\
 
&=\frac{n(n+1)}{2}.
 
&=\frac{n(n+1)}{2}.
\endaligned</math></center>
+
\end{align}</math></center>
  
  
Linia 116: Linia 116:
  
  
<center><math>\displaystyle \aligned \sum xH_x\delta x&=\frac{x^{\underline{2}}}{2}H_x-\sum\frac{(x+1)^{\underline{2}}}{2}x^{\underline{-1}}\delta x\\
+
<center><math>\displaystyle \begin{align} \sum xH_x\delta x&=\frac{x^{\underline{2}}}{2}H_x-\sum\frac{(x+1)^{\underline{2}}}{2}x^{\underline{-1}}\delta x\\
 
&=\frac{x^{\underline{2}}}{2}H_x-\frac{1}{2}\sum x^{\underline{1}}\delta x\\
 
&=\frac{x^{\underline{2}}}{2}H_x-\frac{1}{2}\sum x^{\underline{1}}\delta x\\
 
&=\frac{x^{\underline{2}}}{2}H_x-\frac{x^{\underline{2}}}{4}+C.
 
&=\frac{x^{\underline{2}}}{2}H_x-\frac{x^{\underline{2}}}{4}+C.
\endaligned</math></center>
+
\end{align}</math></center>
  
  
Linia 148: Linia 148:
  
  
<center><math>\displaystyle \aligned \sum x^{\underline{2}}3^x\delta x
+
<center><math>\displaystyle \begin{align} \sum x^{\underline{2}}3^x\delta x
 
&=x^{\underline{2}}\frac{3^x}{2}-\sum2x^{\underline{1}}\frac{3^{x+1}}{2}\delta x\\
 
&=x^{\underline{2}}\frac{3^x}{2}-\sum2x^{\underline{1}}\frac{3^{x+1}}{2}\delta x\\
 
&=\frac{1}{2}x^{\underline{2}}3^x-3\sum x^{\underline{1}}3^x\delta x\\
 
&=\frac{1}{2}x^{\underline{2}}3^x-3\sum x^{\underline{1}}3^x\delta x\\
Linia 154: Linia 154:
 
&=\frac{1}{2}x^{\underline{2}}3^x-\frac{3}{2}x3^x+\frac{9}{2}\sum 3^x\delta x\\
 
&=\frac{1}{2}x^{\underline{2}}3^x-\frac{3}{2}x3^x+\frac{9}{2}\sum 3^x\delta x\\
 
&=\frac{1}{2}x^{\underline{2}}3^x-\frac{3}{2}x3^x+\frac{9}{4}3^x+C.
 
&=\frac{1}{2}x^{\underline{2}}3^x-\frac{3}{2}x3^x+\frac{9}{4}3^x+C.
\endaligned</math></center>
+
\end{align}</math></center>
  
  

Aktualna wersja na dzień 13:03, 5 cze 2020

Sumy skończone i rachunek różnicowy

Ćwiczenie 1

Znajdź postać zwartą sumy .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 2

Znajdź postać zwartą sumy .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 3

Znajdź postać zwartą sumy .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 4

Znajdź postać zwartą sumy .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 5

Znajdź postać zwartą sumy .

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 6

Czy warunek implikuje, że ?

Rozwiązanie

Ćwiczenie 7

Ciąg Golomba to jedyny niemalejący ciąg liczb naturalnych, w którym każda liczba występuje dokładnie razy. Oto lista kilku początkowych wartości:



Niech będzie największą liczbą taką, że . Pokaż, że:

  • ,
  • .
Wskazówka
Rozwiązanie