MN12LAB: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
m
Linia 1: Linia 1:
 
 
<!--  
 
<!--  
 
Konwertowane  z pliku LaTeX przez latex2mediawiki, zob. http://www.ii.uj.edu.pl/&nbsp;pawlik1/latex2mediawiki.php.
 
Konwertowane  z pliku LaTeX przez latex2mediawiki, zob. http://www.ii.uj.edu.pl/&nbsp;pawlik1/latex2mediawiki.php.

Wersja z 10:01, 20 paź 2006


Liniowe zadanie najmniejszych kwadratów

<<< Powrót do strony głównej przedmiotu Metody numeryczne

Oglądaj wskazówki i rozwiązania __SHOWALL__
Ukryj wskazówki i rozwiązania __HIDEALL__

Ćwiczenie: Rozszerzony układ równań dla zadania najmniejszych kwadratów

Inną, oprócz sprowadzenia do układu równań normalnych, metodą transformacji zadania najmniejszych kwadratów do zadania rozwiązywania układu równań z macierzą kwadratową, jest zapisanie w formie układu dwóch układów równań (sic!). Dokładniej, możemy scharakteryzować zadanie wygładzania jako znalezienie dwóch wektorów oraz takich, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned r &= b - Ax,\\ A^T r &= 0. \endaligned}

Zapisz macierzowo ten układ równań. Wskaż, kiedy mogłoby być opłacalne stosowanie takiego podejścia. Porównaj koszt rozwiązania tego układu wprost metodą eliminacji Gaussa, z kosztem innych metod rozwiązywania zadania najmniejszych kwadratów.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie

W twierdzeniu o uwarunkowaniu zadania najmniejszych kwadratów mówi się, że

Wyjaśnij, dlaczego rzeczywiście tak jest.

Rozwiązanie

Ćwiczenie: Dopasowanie liniowych parametrów funkcji do danych

Znajdź i takie, że funkcja minimalizuje błąd średniokwadratowy dla danych:

x f(x)
0.00 4.00000000000000e+00
1.25 3.28650479686019e+00
2.50 3.08208499862390e+00
3.75 3.02351774585601e+00
5.00 3.00673794699909e+00
6.25 3.00193045413623e+00
7.50 0.00055308437015e+00
8.75 3.00015846132512e+00
10.00 3.00004539992976e+00
Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie: Ważone zadanie najmniejszych kwadratów

Niech będzie macierzą pełnego rzędu, przy czym . Podaj algorytm rozwiązywania ważonego zadania najmniejszych kwadratów:

gdzie zakładamy, że są danymi wagami. (Gdy wszystkie , zadanie sprowadza się do zwykłego zadania najmniejszych kwadratów.)

Rozwiązanie

Ćwiczenie

Opisz szczegółowo sposób rozwiązywania układu równań z niewiadomymi

korzystający z rozkładu QR metodą Householdera.

Rozwiązanie

Ćwiczenie: Obroty Givensa

Innym sposobem wyzerowania wybranych elementów zadanego wektora za pomocą przekształceń ortogonalnych jest zastosowanie tzw. obrotów Givensa,

Wskaż jak dobrać i tak, by macierz

była ortogonalna i przekształcała w zadany wyżej sposób. Jak zastosować sekwencję obrotów Givensa tak, by zadany wektor -wymiarowy przeprowadzić na wektor o kierunku wektora jednostkowego? Porównaj koszt tej operacji z kosztem przekształcenia Householdera. Kiedy opłaca się stosować obroty Givensa w miejsce odbić Householdera?

Rozwiązanie