MN03LAB

Z Studia Informatyczne
Wersja z dnia 15:30, 26 sie 2006 autorstwa Przykry (dyskusja | edycje)
(różn.) ← poprzednia wersja | przejdź do aktualnej wersji (różn.) | następna wersja → (różn.)
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Uwaga: przekonwertowane latex2mediawiki; prawdopodobnie trzeba wprowadzi? poprawki

{Ćwiczenia: równania nieliniowe skalarne}

[Metoda Newtona może być zbieżna globalnie] Wykaż, że jeśli jest rosnąca i wypukła na oraz dla , to metoda Newtona startująca z jest zbieżna.

Rozwiązanie

[Fraktale]

Ciekawy zbiór o charakterze fraktalnym powstaje w wyniku zastosowania metody Newtona do rozwiązania równania w dziedzinie zespolonej. Punkt należy do basenu zbiezności metody, jeśli metoda Newtona jest zeń zbieżna do (jakiegokolwiek) pierwiastka w/w równania. Kolor odpowiadający jest określany na podstawie liczby iteracji potrzebnych metodzie do zbieżności.

Zupełnie miłym (i estetycznie wartościowym) doświadczeniem, jest napisanie programu w Octave, który wyświetla baseny zbieżności metody Newtona jak poniżej.

{fraktal.png}{Basen zbiezności metody Newtona w okolicy początku układu współrzędnych, dla równania }

Wskazówka
Wskazówka

[Pierwiastkowanie] Niech . Aby wyznaczyć , można skorzystać z metody Newtona dla równania . Zaprogramuj tę metodę i sprawdź, jak wiele dokładnych cyfr wyniku dostajesz w kolejnych krokach. Czy to możliwe, by liczba dokładnych cyfr znaczących z grubsza podwajała się na każdej iteracji? Wskaż takie dla którego to nie będzie prawdą.

Wskazówka
Rozwiązanie

[Odwrotność bez dzielenia] Aby wyznaczyć dla bez dzielenia(!), można zastosować metodę Newtona do funkcji . Pokaż, że na -tym kroku iteracji,

Dla jakich metoda będzie zbieżna do , a dla jakich nie? Oceń, ile iteracji potrzeba do spełnienia warunku , gdy ,

Rozwiązanie

Zaimplementuj metodę bisekcji. Sprawdź, jak będzie działać m.in. dla funkcji

  1. ,
  2. ,
  3. (wzór A),
  4. (wzór B),
  5. (wzór C),
  6. (wzór D),

gdy tolerancję błędu zadasz na poziomie .

Jak wyjaśnić te wyniki? Czy możesz już być pewna, że masz dobrą implementację?

Rozwiązanie

Wskaż wszystkie wartości , dla jakich metoda Newtona będzie zbieżna do rozwiązania równania

Wyznacz wartość , z którego startując powinieneś dostać ciąg oscylujący . Sprawdź eksperymentalnie, czy tak jest rzeczywiście.

Wskazówka
Rozwiązanie