Logika i teoria mnogości/Wykład 8: Konstrukcje liczbowe, liczby całkowite, wymierne, konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych: działania i porządek: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
Linia 719: Linia 719:
 
oznaczamy przez <math>\displaystyle \mathbb{R}</math>.
 
oznaczamy przez <math>\displaystyle \mathbb{R}</math>.
  
Liczbą rzeczywistą jest zatem zbiór ciągów Cauchy'ego które leżą
+
Liczbą rzeczywistą jest zatem zbiór ciągów Cauchy'ego, które leżą
 
''dowolnie blisko'' siebie.  Na każdy taki ciąg można patrzeć
 
''dowolnie blisko'' siebie.  Na każdy taki ciąg można patrzeć
jak na pewną aproksymacje danej liczby rzeczywistej.
+
jak na pewną aproksymację danej liczby rzeczywistej.
 
}}
 
}}
 
{{cwiczenie|3.8||
 
{{cwiczenie|3.8||
Linia 731: Linia 731:
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
  
Mamy <math>\displaystyle \mathbb{R}\subseteq \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N}\times\mathbb{Q}))</math>, a więc <math>\displaystyle \bigcup\bigcup\bigcup\bigcup \mathbb{R}\subseteq \mathbb{N}\cup\mathbb{Q}</math>. Rozumując dalej mamy <math>\displaystyle \mathbb{Q}\subseteq\mathcal{P}(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z})</math>, a więc <math>\displaystyle \bigcup\bigcup\bigcup\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Z}</math>. W końcu <math>\displaystyle \mathbb{Z}\subseteq\mathcal{P}(\mathbb{N}\times\mathbb{N})</math> i <math>\displaystyle \bigcup\bigcup\bigcup\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{N}</math>. Reasumując otrzymujemy
+
Mamy <math>\displaystyle \mathbb{R}\subseteq \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N}\times\mathbb{Q}))</math>, a więc <math>\displaystyle \bigcup\bigcup\bigcup\bigcup \mathbb{R}\subseteq \mathbb{N}\cup\mathbb{Q}</math>. Rozumując dalej, mamy <math>\displaystyle \mathbb{Q}\subseteq\mathcal{P}(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z})</math>, a więc <math>\displaystyle \bigcup\bigcup\bigcup\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Z}</math>. W końcu <math>\displaystyle \mathbb{Z}\subseteq\mathcal{P}(\mathbb{N}\times\mathbb{N})</math> i <math>\displaystyle \bigcup\bigcup\bigcup\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{N}</math>. Reasumując, otrzymujemy:
  
 
<center><math>\displaystyle \bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup(\mathbb{R})
 
<center><math>\displaystyle \bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup(\mathbb{R})
Linia 739: Linia 739:
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Pozostaje wykazać, że po tylu iteracjach nie otrzymamy niczego mniejszego niż <math>\displaystyle \mathbb{N}</math>. Niech <math>\displaystyle z:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Q}</math> będzie funkcją taką, że <math>\displaystyle z(n) = [(0,1)]_{\sim}</math> dla dowolnego <math>\displaystyle n</math>. Wtedy <math>\displaystyle z</math> jest ciągiem Cauchego i <math>\displaystyle [z]_{\simeq}\in\mathbb{R}</math>. Ponieważ <math>\displaystyle \bigcup\bigcup z = \mathbb{N}\cup\{[(0,1)]_{\sim}\}</math>, to <math>\displaystyle \bigcup\bigcup\bigcup [z]_{\simeq} \supset \mathbb{N}\cup\{[(0,1)]_{\sim}\}</math> co implikuje, że
+
Pozostaje wykazać, że po tylu iteracjach nie otrzymamy niczego mniejszego niż <math>\displaystyle \mathbb{N}</math>. Niech <math>\displaystyle z:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Q}</math> będzie funkcją taką, że <math>\displaystyle z(n) = [(0,1)]_{\sim}</math>, dla dowolnego <math>\displaystyle n</math>. Wtedy <math>\displaystyle z</math> jest ciągiem Cauchego i <math>\displaystyle [z]_{\simeq}\in\mathbb{R}</math>. Ponieważ <math>\displaystyle \bigcup\bigcup z = \mathbb{N}\cup\{[(0,1)]_{\sim}\}</math>, to <math>\displaystyle \bigcup\bigcup\bigcup [z]_{\simeq} \supset \mathbb{N}\cup\{[(0,1)]_{\sim}\}</math>, co implikuje, że
  
 
<center><math>\displaystyle \mathbb{N}\subseteq\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\mathbb{R},
 
<center><math>\displaystyle \mathbb{N}\subseteq\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\mathbb{R},
Linia 758: Linia 758:
  
 
Dla ciągów <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> ciąg <math>\displaystyle a+ b</math> oraz <math>\displaystyle a \cdot b</math> oznaczają ciągi
 
Dla ciągów <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> ciąg <math>\displaystyle a+ b</math> oraz <math>\displaystyle a \cdot b</math> oznaczają ciągi
zadane jako <math>\displaystyle (a +b)(i) = a(i) + b(i)</math> dla każdego <math>\displaystyle i</math>. Tak samo
+
zadane jako <math>\displaystyle (a +b)(i) = a(i) + b(i)</math>, dla każdego <math>\displaystyle i</math>. Tak samo
definiujemy mnożenie: <math>\displaystyle (a \cdot b)(i) = a(i) \cdot b(i)</math>
+
definiujemy mnożenie: <math>\displaystyle (a \cdot b)(i) = a(i) \cdot b(i)</math>.
 
}}
 
}}
 
{{definicja|3.10.||
 
{{definicja|3.10.||
  
 
Dodawanie i mnożenie ciągów liczb wymiernych definiujemy po
 
Dodawanie i mnożenie ciągów liczb wymiernych definiujemy po
współrzędnych to znaczy:
+
współrzędnych, to znaczy:
* dodawanie <math>\displaystyle [ a ]_{\simeq} + [b]_{\simeq} = [a+b]_{\simeq}</math>
+
* dodawanie <math>\displaystyle [ a ]_{\simeq} + [b]_{\simeq} = [a+b]_{\simeq}</math>,
* mnożenie <math>\displaystyle [ a ]_{\simeq} \cdot  [b]_{\simeq} = [a \cdot b]_{\simeq}</math>
+
* mnożenie <math>\displaystyle [ a ]_{\simeq} \cdot  [b]_{\simeq} = [a \cdot b]_{\simeq}</math>.
 
}}
 
}}
 
{{cwiczenie|3.11||
 
{{cwiczenie|3.11||
Linia 772: Linia 772:
 
Poniższe ćwiczenie odpowiada dowodowi ciągłości dodawania i
 
Poniższe ćwiczenie odpowiada dowodowi ciągłości dodawania i
 
mnożenia. W innej wersji będziecie państwo zapoznawać się z tym
 
mnożenia. W innej wersji będziecie państwo zapoznawać się z tym
zagadnieniem na wykładzie 8 analizy matematycznej. Pokazać, że
+
zagadnieniem na wykładzie 8 analizy matematycznej (patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 8: Granica i ciągłość funkcji|Wykład 8]]). Pokazać, że
 
definicja dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych jest poprawna i
 
definicja dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych jest poprawna i
 
niezależna od wyboru reprezentantów:
 
niezależna od wyboru reprezentantów:
Linia 780: Linia 780:
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
  
Dowód poprawności definicji dodawania oprzeć na dowodzie twierdzenia 3.6 (patrz [[#twierdzenie_3_6|twierdzenie 3.6.]])
+
Dowód poprawności definicji dodawania oprzeć na dowodzie Twierdzenia 3.6 (patrz [[#twierdzenie_3_6|twierdzenie 3.6.]])
  
 
</div></div>
 
</div></div>
Linia 796: Linia 796:
 
Cauchy'ego są ograniczone. Niech <math>\displaystyle M</math> będzie wspólnym ograniczeniem
 
Cauchy'ego są ograniczone. Niech <math>\displaystyle M</math> będzie wspólnym ograniczeniem
 
tych ciągów. Dla <math>\displaystyle \varepsilon/(2 \cdot M)</math> dobierzmy takie <math>\displaystyle n_1</math> i
 
tych ciągów. Dla <math>\displaystyle \varepsilon/(2 \cdot M)</math> dobierzmy takie <math>\displaystyle n_1</math> i
<math>\displaystyle n_2</math> aby  <math>\displaystyle  \left| a_k - a'_k \right|  < \varepsilon/(2 \cdot M)</math> i
+
<math>\displaystyle n_2</math>, aby  <math>\displaystyle  \left| a_k - a'_k \right|  < \varepsilon/(2 \cdot M)</math> i
<math>\displaystyle  \left| b_p - b'_p \right|  < \varepsilon/(2 \cdot M)</math> dla <math>\displaystyle k>n_1</math> i
+
<math>\displaystyle  \left| b_p - b'_p \right|  < \varepsilon/(2 \cdot M)</math>, dla <math>\displaystyle k>n_1</math> i
 
<math>\displaystyle p>n_2</math>. Obie nierówności będą zachodzić jednocześnie dla
 
<math>\displaystyle p>n_2</math>. Obie nierówności będą zachodzić jednocześnie dla
wszystkich <math>\displaystyle k</math> poczynając od <math>\displaystyle \max(n_1 ,n_2)</math>. Prosty rachunek
+
wszystkich <math>\displaystyle k</math>, poczynając od <math>\displaystyle \max(n_1 ,n_2)</math>. Prosty rachunek
 
korzystający z nierówności trójkąta kończy dowód:
 
korzystający z nierówności trójkąta kończy dowód:
  
Linia 808: Linia 808:
 
&\leq  \nonumber\\
 
&\leq  \nonumber\\
 
\varepsilon/(2 \cdot M ) \cdot M +
 
\varepsilon/(2 \cdot M ) \cdot M +
\varepsilon/(2 \cdot M ) \cdot M = \varepsilon \nonumber
+
\varepsilon/(2 \cdot M ) \cdot M = \varepsilon. \nonumber
 
\endaligned</math></center>
 
\endaligned</math></center>
  
Linia 820: Linia 820:
  
 
Relacja <math>\displaystyle  [ a ]_{\simeq} < [b]_{\simeq}</math> na
 
Relacja <math>\displaystyle  [ a ]_{\simeq} < [b]_{\simeq}</math> na
zbiorze liczb rzeczywistych <math>\displaystyle \mathbb{R}</math> jest zdefiniowana jako
+
zbiorze liczb rzeczywistych <math>\displaystyle \mathbb{R}</math> jest zdefiniowana jako:
  
 
<center><math>\displaystyle \exists_{\varepsilon > 0} \;\;  \exists_{n_0 \in
 
<center><math>\displaystyle \exists_{\varepsilon > 0} \;\;  \exists_{n_0 \in
\mathbb{N}} \;\; \forall_{k>n_0} \;\; a_k +\varepsilon <b_k
+
\mathbb{N}} \;\; \forall_{k>n_0} \;\; a_k +\varepsilon <b_k.
 
</math></center>
 
</math></center>
  
 
Będziemy mówili, że liczba wymierna <math>\displaystyle \varepsilon > 0</math> rozdziela
 
Będziemy mówili, że liczba wymierna <math>\displaystyle \varepsilon > 0</math> rozdziela
dwa ciągi Cauchy'ego poczynając od elementu <math>\displaystyle a_{n_0 +1}</math>.
+
dwa ciągi Cauchy'ego, poczynając od elementu <math>\displaystyle a_{n_0 +1}</math>.
 
}}
 
}}
 
{{definicja|3.13.||
 
{{definicja|3.13.||
  
 
Słaby porządek definiujemy tak jak zazwyczaj: dla liczb
 
Słaby porządek definiujemy tak jak zazwyczaj: dla liczb
rzeczywistych <math>\displaystyle x \leq y</math> gdy <math>\displaystyle x < y</math> (patrz [[#definicja_3_12|definicja 3.12.]]) lub gdy <math>\displaystyle x=y</math> (patrz [[#definicja_3_5|definicja 3.5.]]).
+
rzeczywistych <math>\displaystyle x \leq y</math>, gdy <math>\displaystyle x < y</math> (patrz [[#definicja_3_12|definicja 3.12.]]) lub gdy <math>\displaystyle x=y</math> (patrz [[#definicja_3_5|Definicja 3.5]]).
 
}}
 
}}
 
{{twierdzenie|3.14.||
 
{{twierdzenie|3.14.||
Linia 841: Linia 841:
 
{{dowod|||
 
{{dowod|||
  
Pokażemy, że dla dowolnych ciągów Cauchy'ego <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> jeżeli  <math>\displaystyle  [
+
Pokażemy, że dla dowolnych ciągów Cauchy'ego <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math>, jeżeli  <math>\displaystyle  [
 
a ]_{\simeq} \neq [b]_{\simeq}</math> to <math>\displaystyle  [ a ]_{\simeq} <
 
a ]_{\simeq} \neq [b]_{\simeq}</math> to <math>\displaystyle  [ a ]_{\simeq} <
 
[b]_{\simeq}</math> lub <math>\displaystyle  [ a ]_{\simeq} > [b]_{\simeq}</math>. Niech zatem <math>\displaystyle  
 
[b]_{\simeq}</math> lub <math>\displaystyle  [ a ]_{\simeq} > [b]_{\simeq}</math>. Niech zatem <math>\displaystyle  
Linia 848: Linia 848:
  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
\exists_{\varepsilon>0} \;\; \forall_{n\in\mathbb{N}} \;\; \exists_{p\in\mathbb{N}} \;\; p>n \hspace*{0.1mm} \wedge  \left| a_p -b_p \right| \geq \varepsilon
+
\exists_{\varepsilon>0} \;\; \forall_{n\in\mathbb{N}} \;\; \exists_{p\in\mathbb{N}} \;\; p>n \hspace*{0.1mm} \wedge  \left| a_p -b_p \right| \geq \varepsilon.
 
</math></center>
 
</math></center>
  
 
Dobierzmy do <math>\displaystyle \varepsilon/3</math> liczby <math>\displaystyle n_a</math> i <math>\displaystyle n_b</math> odpowiednio dla ciągów <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math>
 
Dobierzmy do <math>\displaystyle \varepsilon/3</math> liczby <math>\displaystyle n_a</math> i <math>\displaystyle n_b</math> odpowiednio dla ciągów <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math>
tak aby dla wszystkich <math>\displaystyle k,r > \max(n_a ,n_b)</math> zachodziło
+
tak, aby dla wszystkich <math>\displaystyle k,r > \max(n_a ,n_b)</math> zachodziło
 
<math>\displaystyle  \left| a_k - a_r \right|  < \varepsilon/3</math> oraz
 
<math>\displaystyle  \left| a_k - a_r \right|  < \varepsilon/3</math> oraz
 
<math>\displaystyle  \left| b_k - b_r \right|  < \varepsilon/3</math>.
 
<math>\displaystyle  \left| b_k - b_r \right|  < \varepsilon/3</math>.
Linia 861: Linia 861:
 
Weźmy zatem dowolne <math>\displaystyle k>p_0</math>. Zachodzą następujące nierówności:
 
Weźmy zatem dowolne <math>\displaystyle k>p_0</math>. Zachodzą następujące nierówności:
  
<center><math>\displaystyle \aligned a_{p_0} + \varepsilon &\leq  b_{p_0} \quad \mbox{(3.3)}\\
+
<center><math>\displaystyle \aligned a_{p_0} + \varepsilon &\leq  b_{p_0}, \quad \mbox{(3.3)}\\
a_k - \varepsilon/3  &< a_{p_0} < a_k + \varepsilon/3 \quad \mbox{(3.4)}\\
+
a_k - \varepsilon/3  &< a_{p_0} < a_k + \varepsilon/3, \quad \mbox{(3.4)}\\
b_k - \varepsilon/3  &< b_{p_0} < b_k + \varepsilon/3 \quad \mbox{(3.5)}
+
b_k - \varepsilon/3  &< b_{p_0} < b_k + \varepsilon/3, \quad \mbox{(3.5)}
 
\endaligned</math></center>
 
\endaligned</math></center>
  
Łatwo pokazać stosując powyższe nierówności, że poczynając od
+
Łatwo pokazać, stosując powyższe nierówności, że poczynając od
<math>\displaystyle p_0</math> liczba wymierna <math>\displaystyle \varepsilon/3</math> będzie rozdzielała obydwa
+
<math>\displaystyle p_0</math> liczba wymierna <math>\displaystyle \varepsilon/3</math>, będzie rozdzielała obydwa
ciągi Cauchy'ego. Mianowicie,
+
ciągi Cauchy'ego. Mianowicie:
  
 
<center><math>\displaystyle a_k + \varepsilon/3 <  a_{p_0} + 2 \varepsilon/3 \leq b_{p_0} -
 
<center><math>\displaystyle a_k + \varepsilon/3 <  a_{p_0} + 2 \varepsilon/3 \leq b_{p_0} -
\varepsilon/3 < b_{p_0}
+
\varepsilon/3 < b_{p_0}.
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 881: Linia 881:
 
następująco: dla liczby wymiernej <math>\displaystyle q\in \mathbb{Q}</math> liczba
 
następująco: dla liczby wymiernej <math>\displaystyle q\in \mathbb{Q}</math> liczba
 
rzeczywista  <math>\displaystyle k(q)</math> jest klasą równoważności ciągu stale równego
 
rzeczywista  <math>\displaystyle k(q)</math> jest klasą równoważności ciągu stale równego
<math>\displaystyle q</math> czyli <math>\displaystyle k(q) = [b]_{\simeq}</math> gdzie <math>\displaystyle b(n) = q</math>. Tak więc liczby
+
<math>\displaystyle q</math>, czyli <math>\displaystyle k(q) = [b]_{\simeq}</math>, gdzie <math>\displaystyle b(n) = q</math>. Tak więc liczby
 
wymierne stają się częścią liczb rzeczywistych. Funkcja <math>\displaystyle k</math> jest
 
wymierne stają się częścią liczb rzeczywistych. Funkcja <math>\displaystyle k</math> jest
 
naturalnym włożeniem zbioru <math>\displaystyle \mathbb{Q}</math> w zbiór <math>\displaystyle \mathbb{R}</math>.
 
naturalnym włożeniem zbioru <math>\displaystyle \mathbb{Q}</math> w zbiór <math>\displaystyle \mathbb{R}</math>.
Jest ona iniektywna i zgodna z działaniami i porządkiem.
+
Jest ona iniektywna i zgodna z działaniami i porządkiem:
# <math>\displaystyle k(a+b) = k(a)+k(b)</math>
+
# <math>\displaystyle k(a+b) = k(a)+k(b)</math>,
# <math>\displaystyle k(a-b) = k(a)-k(b)</math>
+
# <math>\displaystyle k(a-b) = k(a)-k(b)</math>,
# <math>\displaystyle k(a \cdot b) = k(a) \cdot k(b)</math>
+
# <math>\displaystyle k(a \cdot b) = k(a) \cdot k(b)</math>,
# jeżeli <math>\displaystyle a<b</math> to <math>\displaystyle k(a) < k(b)</math>
+
# jeżeli <math>\displaystyle a<b</math>, to <math>\displaystyle k(a) < k(b)</math>.
  
 
Dzięki włożeniu <math>\displaystyle k</math> będziemy utożsamiali liczbę wymierną <math>\displaystyle q</math> z
 
Dzięki włożeniu <math>\displaystyle k</math> będziemy utożsamiali liczbę wymierną <math>\displaystyle q</math> z
Linia 899: Linia 899:
 
Dla każdej liczby rzeczywistej <math>\displaystyle 0\leq
 
Dla każdej liczby rzeczywistej <math>\displaystyle 0\leq
 
x <1</math> istnieje ciąg <math>\displaystyle a_x \in 2^{\mathbb{N}}</math> taki, że ciąg jego
 
x <1</math> istnieje ciąg <math>\displaystyle a_x \in 2^{\mathbb{N}}</math> taki, że ciąg jego
sum częściowych <math>\displaystyle b_x: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q}</math> dany jako <math>\displaystyle  b_k
+
sum częściowych <math>\displaystyle b_x: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q}</math>, dany jako <math>\displaystyle  b_k
= \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2^{i+1}} </math> spełnia:
+
= \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2^{i+1}} </math>, spełnia:
# <math>\displaystyle b_x</math> jest ciągiem Cauchy'ego
+
# <math>\displaystyle b_x</math> jest ciągiem Cauchy'ego,
# <math>\displaystyle [ b_x ]_{\simeq} = x</math>
+
# <math>\displaystyle [ b_x ]_{\simeq} = x</math>.
  
 
Taki ciąg <math>\displaystyle a_x</math> nazywamy rozwinięciem liczby <math>\displaystyle x</math> przy
 
Taki ciąg <math>\displaystyle a_x</math> nazywamy rozwinięciem liczby <math>\displaystyle x</math> przy
Linia 911: Linia 911:
  
 
Dla liczby rzeczywistej <math>\displaystyle x</math> podamy indukcyjną konstrukcję ciągu
 
Dla liczby rzeczywistej <math>\displaystyle x</math> podamy indukcyjną konstrukcję ciągu
<math>\displaystyle a</math> będącego rozwinięciem dwójkowym liczby <math>\displaystyle x</math> i równolegle ciąg
+
<math>\displaystyle a</math> będącego rozwinięciem dwójkowym liczby <math>\displaystyle x</math> i równolegle ciągu
<math>\displaystyle b</math> jego sum częściowych. Jeżeli <math>\displaystyle 0 \leq x < 1/2</math> to definiujemy
+
<math>\displaystyle b</math> jego sum częściowych. Jeżeli <math>\displaystyle 0 \leq x < 1/2</math>, to definiujemy
<math>\displaystyle a_0 = 0</math>, w przeciwnym wypadku to znaczy kiedy <math>\displaystyle 1/2 \leq x < 1</math>
+
<math>\displaystyle a_0 = 0</math>, w przeciwnym wypadku, to znaczy kiedy <math>\displaystyle 1/2 \leq x < 1</math>,
 
definiujemy <math>\displaystyle a_0 =1</math>. Załóżmy, że mamy zdefiniowany ciąg <math>\displaystyle a</math> do
 
definiujemy <math>\displaystyle a_0 =1</math>. Załóżmy, że mamy zdefiniowany ciąg <math>\displaystyle a</math> do
wyrazu <math>\displaystyle k</math>. Wyraz <math>\displaystyle k+1</math> definiujemy
+
wyrazu <math>\displaystyle k</math>. Wyraz <math>\displaystyle k+1</math> definiujemy:
  
# <math>\displaystyle a_{k+1} = 1</math> jeżeli <math>\displaystyle \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2^{i+1}} + \frac{1}{2^{k+2}} \leq x</math>  
+
# <math>\displaystyle a_{k+1} = 1,</math> jeżeli <math>\displaystyle \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2^{i+1}} + \frac{1}{2^{k+2}} \leq x</math>,
# <math>\displaystyle a_{k+1} = 0</math> jeżeli <math>\displaystyle \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2^{i+1} }+ \frac{1}{2^{k+2}} > x</math>
+
# <math>\displaystyle a_{k+1} = 0,</math> jeżeli <math>\displaystyle \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2^{i+1} }+ \frac{1}{2^{k+2}} > x</math>.
  
Ciąg <math>\displaystyle b</math> definiujemy tak jak w tezie twierdzenia to znaczy,
+
Ciąg <math>\displaystyle b</math> definiujemy tak jak w tezie twierdzenia, to znaczy
 
<math>\displaystyle b_k = \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2^{i+1}}</math>.
 
<math>\displaystyle b_k = \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2^{i+1}}</math>.
  
Pokażemy indukcyjnie, że dla każdego <math>\displaystyle k</math> zachodzi
+
Pokażemy indukcyjnie, że dla każdego <math>\displaystyle k</math> zachodzi:
  
 
<center><math>\displaystyle  
 
<center><math>\displaystyle  
Linia 930: Linia 930:
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Dowód tego faktu pozostawimy jako ćwiczenie 3.16.
+
Dowód tego faktu pozostawimy jako Ćwiczenie 3.16.
Z powyższej nierówności mamy pierwszy  fakt, a mianowicie ciąg sum częściowych
+
Z powyższej nierówności mamy pierwszy  fakt, a mianowicie: ciąg sum częściowych
 
<math>\displaystyle b</math> jest ciągiem Cauchy'ego.
 
<math>\displaystyle b</math> jest ciągiem Cauchy'ego.
 
}}
 
}}
Linia 938: Linia 938:
  
 
Uzupełnij dowód indukcyjny nierówności 3.6 pierwszej części tezy
 
Uzupełnij dowód indukcyjny nierówności 3.6 pierwszej części tezy
twierdzenia 3.15 (patrz [[#twierdzenie_3_15|twierdzenie 3.15.]]). Wykonaj dowód drugiej części tezy twierdzenia 3.15 (patrz [[#twierdzenie_3_15|twierdzenie 3.15.]]). poprzedzającego to
+
Twierdzenia 3.15 (patrz [[#twierdzenie_3_15|twierdzenie 3.15.]]). Wykonaj dowód drugiej części tezy Twierdzenia 3.15 (patrz [[#twierdzenie_3_15|twierdzenie 3.15.]]). poprzedzającego to
 
ćwiczenie.
 
ćwiczenie.
  
Linia 945: Linia 945:
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">   
  
Dowód części drugiej <math>\displaystyle [ b ]_{\simeq} = x</math>.  Niech <math>\displaystyle c</math> będzie dowolnym ciągiem Cauchy'ego wyznaczającym liczbę rzeczywistą <math>\displaystyle x</math> czyli  niech <math>\displaystyle [ c ]_{\simeq} = x</math>. Należy pokazać, że ciągi <math>\displaystyle b</math> i <math>\displaystyle c</math> są równoważne w sensie <math>\displaystyle {\simeq}</math>. Weźmy <math>\displaystyle \varepsilon >0</math>. Dobierzmy tak duże <math>\displaystyle k</math> aby <math>\displaystyle  \frac{1}{2^{k+1}} < \varepsilon</math>. Dalej wynika trywialnie z nierówności 3.6.
+
Dowód części drugiej: <math>\displaystyle [ b ]_{\simeq} = x</math>.  Niech <math>\displaystyle c</math> będzie dowolnym ciągiem Cauchy'ego wyznaczającym liczbę rzeczywistą <math>\displaystyle x</math>, czyli  niech <math>\displaystyle [ c ]_{\simeq} = x</math>. Należy pokazać, że ciągi <math>\displaystyle b</math> i <math>\displaystyle c</math> są równoważne w sensie <math>\displaystyle {\simeq}</math>. Weźmy <math>\displaystyle \varepsilon >0</math>. Dobierzmy tak duże <math>\displaystyle k</math>, aby <math>\displaystyle  \frac{1}{2^{k+1}} < \varepsilon</math>. Dalej wynika trywialnie z nierówności 3.6.
 
</div></div>
 
</div></div>
  
 
Konstrukcja przedstawiona powyżej rozwija liczbę rzeczywistą z przedziału
 
Konstrukcja przedstawiona powyżej rozwija liczbę rzeczywistą z przedziału
 
<math>\displaystyle [0,1)</math> przy podstawie <math>\displaystyle 2</math>. Na każdym etapie konstrukcji
 
<math>\displaystyle [0,1)</math> przy podstawie <math>\displaystyle 2</math>. Na każdym etapie konstrukcji
sprawdzamy czy w przedziale w którym pracujemy aktualnie liczba znajduje się w
+
sprawdzamy, czy w przedziale, w którym pracujemy aktualnie, liczba znajduje się w
lewej czy tez prawej połówce przedziału. Stosownie do tego wybieramy cyfrę
+
lewej czy też prawej połówce przedziału. Stosownie do tego wybieramy cyfrę
 
<math>\displaystyle 0</math> lub <math>\displaystyle 1</math> rozwinięcia.
 
<math>\displaystyle 0</math> lub <math>\displaystyle 1</math> rozwinięcia.
Jak łatwo można przypuścić podobną konstrukcję jak w twierdzeniu 3.15 (patrz [[#twierdzenie_3_15|twierdzenie 3.15.]])  
+
Jak łatwo można przypuścić podobną konstrukcję jak w Twierdzeniu 3.15 (patrz [[#twierdzenie_3_15|Twierdzenie 3.15.]])  
 
można wykonać przy dowolnej innej podstawie <math>\displaystyle k\geq 2</math>. W takim
 
można wykonać przy dowolnej innej podstawie <math>\displaystyle k\geq 2</math>. W takim
 
wypadku aktualny analizowany przedział dzielilibyśmy na <math>\displaystyle k</math>
 
wypadku aktualny analizowany przedział dzielilibyśmy na <math>\displaystyle k</math>
 
podprzedziałów i
 
podprzedziałów i
 
stosownie do położenia liczby wybieralibyśmy jedną z <math>\displaystyle k</math> cyfr
 
stosownie do położenia liczby wybieralibyśmy jedną z <math>\displaystyle k</math> cyfr
ze zbioru <math>\displaystyle \left\{0,\ldots k-1\right\}</math>. Przykładowo gdy za <math>\displaystyle k</math> wybierzemy
+
ze zbioru <math>\displaystyle \left\{0,\ldots k-1\right\}</math>. Przykładowo, gdy za <math>\displaystyle k</math> wybierzemy
<math>\displaystyle k=10</math> dostaniemy przy pomocy takiej konstrukcji rozwinięcie dziesiętne
+
<math>\displaystyle k=10</math>, dostaniemy przy pomocy takiej konstrukcji rozwinięcie dziesiętne
 
danej liczby rzeczywistej.
 
danej liczby rzeczywistej.
  
 
Twierdzenie poniżej upewni nas o pewnej ciekawej
 
Twierdzenie poniżej upewni nas o pewnej ciekawej
 
własności rozwinięć. Otóż rozwinięcie przy podstawie <math>\displaystyle k=2</math> otrzymane
 
własności rozwinięć. Otóż rozwinięcie przy podstawie <math>\displaystyle k=2</math> otrzymane
przy pomocy twierdzenia 3.15 (patrz [[#twierdzenie_3_15|twierdzenie 3.15.]]) zawsze jest takie, że
+
przy pomocy Twierdzenia 3.15 (patrz [[#twierdzenie_3_15|Twierdzenie 3.15.]]) zawsze jest takie, że
 
zera w tym rozwinięciu występują dowolnie daleko. Innymi słowy, nie
 
zera w tym rozwinięciu występują dowolnie daleko. Innymi słowy, nie
jest możliwe aby w rozwinięciu od pewnego miejsca występowały same
+
jest możliwe, aby w rozwinięciu od pewnego miejsca występowały same
 
jedynki. W przykładzie dotyczącym rozwinięcia dziesiętnego liczby
 
jedynki. W przykładzie dotyczącym rozwinięcia dziesiętnego liczby
odpowiada to sytuacji w której nie występują ciągi które  stale od pewnego
+
odpowiada to sytuacji, w której nie występują ciągi, które  stale od pewnego
 
miejsca mają cyfrę <math>\displaystyle 9</math>.
 
miejsca mają cyfrę <math>\displaystyle 9</math>.
  
Linia 975: Linia 975:
 
Rozwinięcia <math>\displaystyle a</math> uzyskane przy pomocy
 
Rozwinięcia <math>\displaystyle a</math> uzyskane przy pomocy
 
konstrukcji twierdzenia 3.15 (patrz [[#twierdzenie_3_15|twierdzenie 3.15.]]) dla liczby  <math>\displaystyle 0\leq x
 
konstrukcji twierdzenia 3.15 (patrz [[#twierdzenie_3_15|twierdzenie 3.15.]]) dla liczby  <math>\displaystyle 0\leq x
<1</math> jest zawsze takie że:
+
<1</math> jest zawsze takie, że:
  
<center><math>\displaystyle \forall_{k} \;\; \exists_{n>k} \;\; a_n = 0
+
<center><math>\displaystyle \forall_{k} \;\; \exists_{n>k} \;\; a_n = 0.
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Linia 984: Linia 984:
 
{{dowod|||
 
{{dowod|||
  
Przypuśćmy, że jest przeciwnie niż mówi teza czyli
+
Przypuśćmy, że jest przeciwnie, niż mówi teza, czyli
 
<math>\displaystyle \exists_{k} \;\; \forall_{n>k} \;\; a_n = 0</math>. Weźmy najmniejsze takie
 
<math>\displaystyle \exists_{k} \;\; \forall_{n>k} \;\; a_n = 0</math>. Weźmy najmniejsze takie
<math>\displaystyle k</math> i nazwijmy go <math>\displaystyle k_0</math>. Mamy zatem <math>\displaystyle a_{k_0} = 0</math> oraz wszystkie
+
<math>\displaystyle k</math> i nazwijmy <math>\displaystyle k_0</math>. Mamy zatem <math>\displaystyle a_{k_0} = 0</math> oraz wszystkie
 
późniejsze wyrazy <math>\displaystyle a_i =1</math> dla <math>\displaystyle i>k_0</math>. Rozwijana liczba <math>\displaystyle x</math>
 
późniejsze wyrazy <math>\displaystyle a_i =1</math> dla <math>\displaystyle i>k_0</math>. Rozwijana liczba <math>\displaystyle x</math>
spełniać będzie dla każdego <math>\displaystyle p\geq 1</math> nierówność 3.6 czyli zachodzić będzie:
+
spełniać będzie dla każdego <math>\displaystyle p\geq 1</math> nierówność 3.6, czyli zachodzić będzie:
  
 
<center><math>\displaystyle b_{k_0 -1} + \frac{1}{2^{k_0 +2}} + \ldots  +\frac{1}{2^{k_0 +p+1}}
 
<center><math>\displaystyle b_{k_0 -1} + \frac{1}{2^{k_0 +2}} + \ldots  +\frac{1}{2^{k_0 +p+1}}
 
\leq x \leq  b_{k_0 -1} + \frac{1}{2^{k_0 +2}} + \ldots
 
\leq x \leq  b_{k_0 -1} + \frac{1}{2^{k_0 +2}} + \ldots
+\frac{1}{2^{k_0+ p+1}}  + \;\;  \frac{1}{2^{k_0 p+ 1}}
+
+\frac{1}{2^{k_0+ p+1}}  + \;\;  \frac{1}{2^{k_0 p+ 1}}.
 
</math></center>
 
</math></center>
  
Liczbą, która spełnia wszystkie te nierówności jest <math>\displaystyle  b_{k_0 -1} +
+
Liczbą, która spełnia wszystkie te nierówności jest: <math>\displaystyle  b_{k_0 -1} +
 
\frac{1}{2^{k_0 +1}}</math>. Mamy zatem zamiast rozwinięcia, które
 
\frac{1}{2^{k_0 +1}}</math>. Mamy zatem zamiast rozwinięcia, które
 
nieformalnie zapiszemy jako <math>\displaystyle a_0 \ldots a_{k_0 -1} 0 1 1 1 \ldots</math>
 
nieformalnie zapiszemy jako <math>\displaystyle a_0 \ldots a_{k_0 -1} 0 1 1 1 \ldots</math>
 
rozwinięcie <math>\displaystyle a_0 \ldots a_{k_0 -1} 1 0 0 0  \ldots</math>. To właśnie to
 
rozwinięcie <math>\displaystyle a_0 \ldots a_{k_0 -1} 1 0 0 0  \ldots</math>. To właśnie to
 
drugie rozwinięcie zostanie znalezione przez procedurę
 
drugie rozwinięcie zostanie znalezione przez procedurę
rekurencyjną przedstawioną w twierdzeniu 3.15 (patrz [[#twierdzenie_3_15|twierdzenie 3.15.]]).
+
rekurencyjną przedstawioną w Twierdzeniu 3.15 (patrz [[#twierdzenie_3_15|Twierdzenie 3.15]]).
 
}}
 
}}
  
Linia 1012: Linia 1012:
 
{{dowod|||
 
{{dowod|||
 
Bijekcja jest zdefiniowana przy pomocy techniki wprowadzonej w
 
Bijekcja jest zdefiniowana przy pomocy techniki wprowadzonej w
twierdzeniu 3.15 (patrz [[#twierdzenie_3_15|twierdzenie 3.15.]]). Istnienie funkcji przypisującej
+
Twierdzeniu 3.15 (patrz [[#twierdzenie_3_15|Twierdzenie 3.15]]). Istnienie funkcji przypisującej
 
liczbie rzeczywistej <math>\displaystyle x</math> jej rozwinięcie dwójkowe zostało tam
 
liczbie rzeczywistej <math>\displaystyle x</math> jej rozwinięcie dwójkowe zostało tam
 
opisane. Własność tego rozwinięcia
 
opisane. Własność tego rozwinięcia
 
<math>\displaystyle \forall_{k} \;\; \exists_{n>k} \;\; a_n = 0</math> została pokazana w
 
<math>\displaystyle \forall_{k} \;\; \exists_{n>k} \;\; a_n = 0</math> została pokazana w
twierdzeniu 3.17 (patrz [[#twierdzenie_3_17|twierdzenie 3.17.]]). Pozostaje uzasadnić
+
Twierdzeniu 3.17 (patrz [[#twierdzenie_3_17|Twierdzenie 3.17]]). Pozostaje uzasadnić
 
iniektywność takiego przypisania. Niech <math>\displaystyle x \neq y</math>. Załóżmy,
 
iniektywność takiego przypisania. Niech <math>\displaystyle x \neq y</math>. Załóżmy,
 
że <math>\displaystyle x < y</math>. Rozważmy zatem ciągi <math>\displaystyle a</math> oraz <math>\displaystyle a'</math> rozwinięć dwójkowych
 
że <math>\displaystyle x < y</math>. Rozważmy zatem ciągi <math>\displaystyle a</math> oraz <math>\displaystyle a'</math> rozwinięć dwójkowych
<math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y</math>. Nazwijmy ciągi ich sum częściowych odpowiednio przez <math>\displaystyle b</math> i <math>\displaystyle b'</math>.
+
<math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y</math>. Nazwijmy ciągi ich sum częściowych, odpowiednio przez <math>\displaystyle b</math> i <math>\displaystyle b'</math>.
Ciągi sum wyznaczają te liczby czyli <math>\displaystyle [ b ]_{\simeq} = x , [b']_{\simeq} =
+
Ciągi sum wyznaczają te liczby, czyli <math>\displaystyle [ b ]_{\simeq} = x , [b']_{\simeq} =
y</math>. Ciągi <math>\displaystyle b</math> i <math>\displaystyle b'</math> muszą być różne bo inaczej wyznaczałyby te
+
y</math>. Ciągi <math>\displaystyle b</math> i <math>\displaystyle b'</math> muszą być różne, bo inaczej wyznaczałyby te
 
same liczby. W takim razie ciągi rozwinięć <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle a'</math> muszą być
 
same liczby. W takim razie ciągi rozwinięć <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle a'</math> muszą być
 
różne.
 
różne.
Linia 1027: Linia 1027:
  
 
Powyższe twierdzenie będzie miało fundamentalne znaczenie  w
 
Powyższe twierdzenie będzie miało fundamentalne znaczenie  w
teorii mocy o którym mowa będzie w [http://osilek.mimuw.edu.pl/index.php?title=Logika_i_teoria_mnogo%C5%9Bci/Wyk%C5%82ad_9:_Teoria_mocy_twierdzenie_Cantora-Bernsteina%2C_twierdzenie_Cantora._Zbiory_przeliczalne%2C_zbiory_mocy_kontinuum Wykładzie 9]. Pokazuje bowiem że
+
teorii mocy, o którym mowa będzie w [http://osilek.mimuw.edu.pl/index.php?title=Logika_i_teoria_mnogo%C5%9Bci/Wyk%C5%82ad_9:_Teoria_mocy_twierdzenie_Cantora-Bernsteina%2C_twierdzenie_Cantora._Zbiory_przeliczalne%2C_zbiory_mocy_kontinuum Wykładzie 9]. Pokazuje bowiem, że
 
liczby rzeczywiste są równoliczne ze zbiorem <math>\displaystyle 2^\mathbb{N}</math>.
 
liczby rzeczywiste są równoliczne ze zbiorem <math>\displaystyle 2^\mathbb{N}</math>.

Wersja z 13:30, 17 wrz 2006

Liczby całkowite

W poprzednim wykładzie skonstruowaliśmy przy pomocy aksjomatu nieskończoności liczby naturalne. Określiliśmy dla nich podstawowe operacje, takie jak dodawanie i mnożenie. Teraz własności tych operacji będą użyte do dalszych konstrukcji liczbowych. Pokażemy, że mając liczby naturalne zbudowane na bazie liczby , czyli zbioru pustego, możemy definiować bardziej skomplikowane twory liczbowe takie, jak liczby całkowite, wymierne i w końcu liczby rzeczywiste. Wszystkie te obiekty mają ogromne zastosowanie w praktyce matematycznej i informatycznej. Będziemy później w innych wykładach odwoływać się do niebanalnej reprezentacji tych obiektów, które stworzymy w tym rozdziale.

Konstrukcja liczb całkowitych

Definicja 1.1.

Niech będzie relacją określoną na następująco:

wtw

Ćwiczenie 1.2

Relacja jest relacją równoważności o polu .

Rozwiązanie

Ćwiczenie 1.3

Wykaż, że dla dowolnej pary istnieje para taka, że oraz lub .

Rozwiązanie

Definicja 1.4.

Niech

Ćwiczenie 1.5

Które z liczb całkowitych są relacjami równoważności na ?

Rozwiązanie

Operacje na

Definicja 1.6.

Element zero to element .

Element przeciwny do danego: jeżeli , to przez

Dodawanie: .

Mnożenie: {Dla przejrzystości zapisu będziemy czasami pomijać znak , pisząc , zamiast }.

Odejmowanie:

Proszę o zwrócenie uwagi na pewną kolizję oznaczeń. Po lewej stronie definicji (dodawania, mnożenia i odejmowania) używamy tych samych znaków działań co po stronie prawej. Jest to ewidentna kolizja oznaczeń, którą wykonujemy z pełną świadomością. W praktyce matematycznej i informatycznej przyjęło się używać te same znaki działań, wiedząc, że mają one zgoła inne znaczenie. Również element będziemy oznaczać identycznie jak w liczbach naturalnych, pomimo że jest to zupełnie inny zbiór. Pod koniec tej konstrukcji podamy naturalne włożenie (iniekcje wkładającą liczby naturalne w całkowite) takie, które zachowuje działania na liczbach, co upewni nas, że stosowanie tych samych oznaczeń nie grozi konfliktem.

Ćwiczenie 1.7

Pokazać, że działania na liczbach całkowitych są dobrze określone. To znaczy pokazać, że zbiory (klasy równoważności) będące wynikiem działań nie zależą od wyboru reprezentantów:

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 1.8

Pokaż własności działań dodawania i mnożenia. Dla dowolnych liczb całkowitych zachodzą równości:

  1. (przemienność dodawania),
  2. (przemienność mnożenia),
  3. oraz to (prawo skracania),
  4. (rozdzielność).

Wskazówka
Rozwiązanie

Porządek liczb całkowitych

Definicja 1.9.

Liczba zachodzi, gdy .

Ćwiczenie 1.10

Pokaż, że definicja porządku nie jest zależna od wyboru reprezentanta.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 1.11

Pokaż, że porządek liczb całkowitych spełnia postulaty porządku liniowego, to znaczy jest zwrotny, antysymetryczny, przechodni i spójny.

Wskazówka
Rozwiązanie

Definicja 1.12.

Rozważmy funkcje zadaną wzorem:

Funkcja ta jest naturalnym włożeniem zbioru w zbiór . Jako ćwiczenie pokażemy, że funkcja jest iniektywna i zgodna z działaniami. Dzięki włożeniu będziemy utożsamiali liczbę naturalną z odpowiadającą jej liczbą całkowitą . W ten sposób każdą liczbę naturalną możemy traktować jak całkowitą.

Ćwiczenie 1.13

Pokaż, że funkcja jest iniekcją. Pokaż, że jest zgodne z działaniami i porządkiem, to znaczy:

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. jeżeli , to .
Wskazówka
Rozwiązanie

Liczby wymierne

Niech . Określamy relację na zbiorze następująco:

wtw

Ćwiczenie 2.1

Relacja jest równoważnością.

Wskazówka
Rozwiązanie

Definicja 2.2.

Niech

OZNACZENIE: Będziemy tradycyjne oznaczać ułamek . Oznacza on zbiór .

Ćwiczenie 2.3

Dla jakich liczb wymiernych mamy ?

Rozwiązanie

Działania na ułamkach

Definiujemy stałe i standardowe działania na ułamkach.

  • Zero w liczbach wymiernych to .
  • Jedynka w liczbach wymiernych to ułamek .
  • Dodawanie .
  • Odejmowanie .
  • Mnożenie .
  • Dzielenie, gdy .

Tak jak poprzednio w przypadku liczb całkowitych będziemy starali się utożsamiać liczby całkowite z pewnymi ułamkami.

Proszę tak jak poprzednio o zwrócenie uwagi na kolizję oznaczeń. Jest to zamierzona kolizja oznaczeń, którą wprowadzamy z pełną świadomością. Po lewej stronie definicji (dodawania, mnożenia, odejmowania i liczby przeciwnej) używamy tych samych znaków działań co po stronie prawej. Pod koniec tej konstrukcji podamy naturalne włożenie (iniekcje wkładającą liczby całkowite w wymierne) takie, które zachowuje działania na liczbach. Upewni nas to, że stosowanie tych samych oznaczeń de facto nie grozi konfliktem.

Ćwiczenie 2.4

Pokazać, że działania na liczbach wymiernych są dobrze określone. To znaczy pokazać, że zbiory (klasy równoważności) będące wynikiem działań nie zależą od wyboru reprezentantów:

Wskazówka
Rozwiązanie

Porządek ułamków.

Definicja 2.5.

, gdy

Ćwiczenie 2.6

Pokaż, że definicja porządku nie jest zależna od wyboru reprezentanta.

Wskazówka
Rozwiązanie

Ćwiczenie 2.7

Pokaż, że porządek liczb wymiernych spełnia postulaty porządku liniowego, to znaczy jest zwrotny, antysymetryczny, przechodni i spójny.

Wskazówka
Rozwiązanie

Do rozważań nad konstrukcją liczb rzeczywistych potrzebna nam będzie definicja wartości bezwzględnej

Definicja 2.8.

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \left| x \right|\ = \left\{ \begin{array}{rll} x, & \text{ gdy } x\geq 0, \\ -x, & \text{ w przeciwnym przypadku}. \end{array} }

Ćwiczenie 2.9

Pokaż warunek trójkąta, czyli:

Wskazówka
Rozwiązanie

Definicja 2.10.

Rozważmy teraz funkcje identyfikującą liczby całkowite jako pewne specjalne liczby wymierne zadaną wzorem:

Funkcja ta jest naturalnym włożeniem zbioru w zbiór . Jest iniektywna, zgodna z działaniami i zachowująca stałe. Pokazanie tych własności będzie treścią następnego ćwiczenia.

Ćwiczenie 2.11

Pokaż własności włożenia :

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. jeżeli , to .
Wskazówka
Rozwiązanie

Dzięki włożeniu będziemy utożsamiali liczbę całkowitą z odpowiadającą jej liczbą wymierną .

Konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918)Zobacz biografię

Definicja 3.1.

Ciągiem elementów zbioru nazywamy każdą funkcje . Przez oznaczamy element ciągu .

Konstrukcja liczb rzeczywistych pochodzi od Georga Cantora. Genialny pomysł Georga Cantora polega na rozważaniu nieskończonych ciągów liczb wymiernych spełniających warunek Augustina Louis Cauchy'ego. Wiemy z analizy (patrz wykład Szeregi liczbowe), że ciągi takie są zbieżne. Dlatego ciąg ten można uważać za aproksymacje liczby rzeczywistej. Będziemy za liczbę rzeczywistą brać wszystkie takie ciągi aproksymacji, które w sensie poniższych definicji będą dowolnie bliskie siebie.

Definicja 3.2.

Ciągiem Cauchy'ego zbioru liczb wymiernych nazywamy każdy taki ciąg który spełnia warunek (Cauchy'ego):

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\hspace”): {\displaystyle \displaystyle \forall_{\varepsilon \in \mathbb{Q} \hspace*{0.1mm} \wedge \varepsilon >0} \;\; \exists_{n_0 \in \mathbb{N}} \;\; \forall_{p,k \in \mathbb{N}} \;\; ( p>n_0 \wedge k >n_0 \hspace*{0.1mm} \Rightarrow \left| a_p - a_k \right| < \varepsilon ) }

Definicja 3.3.

Ciąg nazywamy ograniczonym, gdy spełnia:

Fakt 1

Ciągi Cauchy'ego są ograniczone.

Dowód

Do ciągu Cauchy'ego będziemy dobierać ograniczenie . Weźmy dodatnią liczbę wymierną . Dla niej, zgodnie z Definicją 3.2 (patrz definicja 3.2.), znajdziemy tak duże , że dla wszystkich liczb naturalnych , poczynając od będzie zachodzić: . Połóżmy za największą z pośród liczb oraz powiększoną o . Łatwo sprawdzić, że tak zdefiniowane majoryzuje moduły wszystkich liczb ciągu.

End of proof.gif

Poniżej wprowadzimy relacje równoważności na zborze ciągów Cauchy'ego, taką która skleja ciągi, które leżą dowolnie blisko. Każdy taki ciąg będzie inną aproksymacją tej samej liczby rzeczywistej. Zbiór wszystkich takich aproksymacji będzie dla nas właśnie liczbą rzeczywistą.

Definicja 3.4.

Niech jest ciągiem Cauchy'ego .

Definicja 3.5.

Na zbiorze ciągów Cauchy'ego określamy relację następująco: dwa ciągi i są równoważne, co zapisujemy jako , gdy:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\hspace”): {\displaystyle \displaystyle \forall_{\varepsilon >0} \;\; \exists_{n_0 \in \mathbb{N}} \;\; \forall_{n \in \mathbb{N}} \;\; ( n>n_0 \hspace*{0.1mm} \Rightarrow \left| a_n - b_n \right| < \varepsilon ). }

Twierdzenie 3.6.

Relacja określona na jest relacją równoważności.

Dowód

Zwrotność i symetria relacji są oczywiste. Zajmijmy się dowodem przechodniości. Niech oraz . Oznacza to:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned \forall_{\varepsilon >0} \;\; \exists_{n_1 \in \mathbb{N}} \;\; \forall_{n \in \mathbb{N}} \;\; ( n>n_1 \hspace*{0.1mm} \Rightarrow \left| a_n - b_n \right| < \varepsilon ) \quad \mbox{(3.1)} \\ \forall_{\varepsilon >0} \;\; \exists_{n_2 \in \mathbb{N}} \;\; \forall_{n \in \mathbb{N}} \;\; ( n>n_0 \hspace*{0.1mm} \Rightarrow \left| b_n - c_n \right| < \varepsilon ) \quad \mbox{(3.2)} \endaligned}

Weźmy . Będziemy dobierać niezależnie liczby i do dla pierwszej i drugiej pary ciągów. Mamy zatem parę nierówności: dla zachodzi oraz dla zachodzi . Biorąc większą z tych dwóch liczb, będziemy oczywiście jednocześnie spełniać obie nierówności. Zatem dla zachodzą oraz . Używając nierówności trójkąta (patrz Ćwiczenie 2.9), mamy:

co kończy dowód.

End of proof.gif

Definicja 3.7.

Przez liczby rzeczywiste będziemy rozumieli zbiór i oznaczamy przez .

Liczbą rzeczywistą jest zatem zbiór ciągów Cauchy'ego, które leżą dowolnie blisko siebie. Na każdy taki ciąg można patrzeć jak na pewną aproksymację danej liczby rzeczywistej.

Ćwiczenie 3.8

Ile razy należy poprzedzić znakiem zbiór , aby otrzymać ?

Rozwiązanie

Działania na

Definicja 3.9.

Dla ciągów i ciąg oraz oznaczają ciągi zadane jako , dla każdego . Tak samo definiujemy mnożenie: .

Definicja 3.10.

Dodawanie i mnożenie ciągów liczb wymiernych definiujemy po współrzędnych, to znaczy:

  • dodawanie ,
  • mnożenie .

Ćwiczenie 3.11

Poniższe ćwiczenie odpowiada dowodowi ciągłości dodawania i mnożenia. W innej wersji będziecie państwo zapoznawać się z tym zagadnieniem na wykładzie 8 analizy matematycznej (patrz Wykład 8). Pokazać, że definicja dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych jest poprawna i niezależna od wyboru reprezentantów:

Wskazówka
Rozwiązanie

Porządek na

Definicja 3.12.

Relacja na zbiorze liczb rzeczywistych jest zdefiniowana jako:

Będziemy mówili, że liczba wymierna rozdziela dwa ciągi Cauchy'ego, poczynając od elementu .

Definicja 3.13.

Słaby porządek definiujemy tak jak zazwyczaj: dla liczb rzeczywistych , gdy (patrz definicja 3.12.) lub gdy (patrz Definicja 3.5).

Twierdzenie 3.14.

Porządek na jest liniowy.

Dowód

Pokażemy, że dla dowolnych ciągów Cauchy'ego i , jeżeli to lub . Niech zatem . Zgodnie z definicją oznacza to:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\hspace”): {\displaystyle \displaystyle \exists_{\varepsilon>0} \;\; \forall_{n\in\mathbb{N}} \;\; \exists_{p\in\mathbb{N}} \;\; p>n \hspace*{0.1mm} \wedge \left| a_p -b_p \right| \geq \varepsilon. }

Dobierzmy do liczby i odpowiednio dla ciągów i tak, aby dla wszystkich zachodziło oraz . Zgodnie z formulą powyżej dla musi istnieć takie, że . Ustalmy, że to (gdy będzie odwrotnie rozumowania jest identyczne). Weźmy zatem dowolne . Zachodzą następujące nierówności:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \displaystyle \aligned a_{p_0} + \varepsilon &\leq b_{p_0}, \quad \mbox{(3.3)}\\ a_k - \varepsilon/3 &< a_{p_0} < a_k + \varepsilon/3, \quad \mbox{(3.4)}\\ b_k - \varepsilon/3 &< b_{p_0} < b_k + \varepsilon/3, \quad \mbox{(3.5)} \endaligned}

Łatwo pokazać, stosując powyższe nierówności, że poczynając od liczba wymierna , będzie rozdzielała obydwa ciągi Cauchy'ego. Mianowicie:

End of proof.gif

Włożenie w

Rozważmy funkcje zadaną następująco: dla liczby wymiernej liczba rzeczywista jest klasą równoważności ciągu stale równego , czyli , gdzie . Tak więc liczby wymierne stają się częścią liczb rzeczywistych. Funkcja jest naturalnym włożeniem zbioru w zbiór . Jest ona iniektywna i zgodna z działaniami i porządkiem:

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. jeżeli , to .

Dzięki włożeniu będziemy utożsamiali liczbę wymierną z odpowiadającą jej liczbą rzeczywistą .

Rozwijanie liczb rzeczywistych przy podstawie

Twierdzenie 3.15.

Dla każdej liczby rzeczywistej istnieje ciąg taki, że ciąg jego sum częściowych , dany jako , spełnia:

  1. jest ciągiem Cauchy'ego,
  2. .

Taki ciąg nazywamy rozwinięciem liczby przy podstawie .

Dowód

Dla liczby rzeczywistej podamy indukcyjną konstrukcję ciągu będącego rozwinięciem dwójkowym liczby i równolegle ciągu jego sum częściowych. Jeżeli , to definiujemy , w przeciwnym wypadku, to znaczy kiedy , definiujemy . Załóżmy, że mamy zdefiniowany ciąg do wyrazu . Wyraz definiujemy:

  1. jeżeli ,
  2. jeżeli .

Ciąg definiujemy tak jak w tezie twierdzenia, to znaczy .

Pokażemy indukcyjnie, że dla każdego zachodzi:

Dowód tego faktu pozostawimy jako Ćwiczenie 3.16. Z powyższej nierówności mamy pierwszy fakt, a mianowicie: ciąg sum częściowych jest ciągiem Cauchy'ego.

End of proof.gif

Ćwiczenie 3.16

Uzupełnij dowód indukcyjny nierówności 3.6 pierwszej części tezy Twierdzenia 3.15 (patrz twierdzenie 3.15.). Wykonaj dowód drugiej części tezy Twierdzenia 3.15 (patrz twierdzenie 3.15.). poprzedzającego to ćwiczenie.

Rozwiązanie

Konstrukcja przedstawiona powyżej rozwija liczbę rzeczywistą z przedziału przy podstawie . Na każdym etapie konstrukcji sprawdzamy, czy w przedziale, w którym pracujemy aktualnie, liczba znajduje się w lewej czy też prawej połówce przedziału. Stosownie do tego wybieramy cyfrę lub rozwinięcia. Jak łatwo można przypuścić podobną konstrukcję jak w Twierdzeniu 3.15 (patrz Twierdzenie 3.15.) można wykonać przy dowolnej innej podstawie . W takim wypadku aktualny analizowany przedział dzielilibyśmy na podprzedziałów i stosownie do położenia liczby wybieralibyśmy jedną z cyfr ze zbioru . Przykładowo, gdy za wybierzemy , dostaniemy przy pomocy takiej konstrukcji rozwinięcie dziesiętne danej liczby rzeczywistej.

Twierdzenie poniżej upewni nas o pewnej ciekawej własności rozwinięć. Otóż rozwinięcie przy podstawie otrzymane przy pomocy Twierdzenia 3.15 (patrz Twierdzenie 3.15.) zawsze jest takie, że zera w tym rozwinięciu występują dowolnie daleko. Innymi słowy, nie jest możliwe, aby w rozwinięciu od pewnego miejsca występowały same jedynki. W przykładzie dotyczącym rozwinięcia dziesiętnego liczby odpowiada to sytuacji, w której nie występują ciągi, które stale od pewnego miejsca mają cyfrę .

Twierdzenie 3.17.

Rozwinięcia uzyskane przy pomocy konstrukcji twierdzenia 3.15 (patrz twierdzenie 3.15.) dla liczby jest zawsze takie, że:

Dowód

Przypuśćmy, że jest przeciwnie, niż mówi teza, czyli . Weźmy najmniejsze takie i nazwijmy . Mamy zatem oraz wszystkie późniejsze wyrazy dla . Rozwijana liczba spełniać będzie dla każdego nierówność 3.6, czyli zachodzić będzie:

Liczbą, która spełnia wszystkie te nierówności jest: . Mamy zatem zamiast rozwinięcia, które nieformalnie zapiszemy jako rozwinięcie . To właśnie to drugie rozwinięcie zostanie znalezione przez procedurę rekurencyjną przedstawioną w Twierdzeniu 3.15 (patrz Twierdzenie 3.15).

End of proof.gif

Twierdzenie 3.18.

Istnieje bijekcja pomiędzy odcinkiem a zbiorem

Dowód

Bijekcja jest zdefiniowana przy pomocy techniki wprowadzonej w Twierdzeniu 3.15 (patrz Twierdzenie 3.15). Istnienie funkcji przypisującej liczbie rzeczywistej jej rozwinięcie dwójkowe zostało tam opisane. Własność tego rozwinięcia została pokazana w Twierdzeniu 3.17 (patrz Twierdzenie 3.17). Pozostaje uzasadnić iniektywność takiego przypisania. Niech . Załóżmy, że . Rozważmy zatem ciągi oraz rozwinięć dwójkowych i . Nazwijmy ciągi ich sum częściowych, odpowiednio przez i . Ciągi sum wyznaczają te liczby, czyli . Ciągi i muszą być różne, bo inaczej wyznaczałyby te same liczby. W takim razie ciągi rozwinięć i muszą być różne.

End of proof.gif

Powyższe twierdzenie będzie miało fundamentalne znaczenie w teorii mocy, o którym mowa będzie w Wykładzie 9. Pokazuje bowiem, że liczby rzeczywiste są równoliczne ze zbiorem .