Logika i teoria mnogości/Wykład 8: Konstrukcje liczbowe, liczby całkowite, wymierne, konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych: działania i porządek: Różnice pomiędzy wersjami
Linia 719: | Linia 719: | ||
oznaczamy przez <math>\displaystyle \mathbb{R}</math>. | oznaczamy przez <math>\displaystyle \mathbb{R}</math>. | ||
− | Liczbą rzeczywistą jest zatem zbiór ciągów Cauchy'ego które leżą | + | Liczbą rzeczywistą jest zatem zbiór ciągów Cauchy'ego, które leżą |
''dowolnie blisko'' siebie. Na każdy taki ciąg można patrzeć | ''dowolnie blisko'' siebie. Na każdy taki ciąg można patrzeć | ||
− | jak na pewną | + | jak na pewną aproksymację danej liczby rzeczywistej. |
}} | }} | ||
{{cwiczenie|3.8|| | {{cwiczenie|3.8|| | ||
Linia 731: | Linia 731: | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | ||
− | Mamy <math>\displaystyle \mathbb{R}\subseteq \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N}\times\mathbb{Q}))</math>, a więc <math>\displaystyle \bigcup\bigcup\bigcup\bigcup \mathbb{R}\subseteq \mathbb{N}\cup\mathbb{Q}</math>. Rozumując dalej mamy <math>\displaystyle \mathbb{Q}\subseteq\mathcal{P}(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z})</math>, a więc <math>\displaystyle \bigcup\bigcup\bigcup\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Z}</math>. W końcu <math>\displaystyle \mathbb{Z}\subseteq\mathcal{P}(\mathbb{N}\times\mathbb{N})</math> i <math>\displaystyle \bigcup\bigcup\bigcup\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{N}</math>. Reasumując otrzymujemy | + | Mamy <math>\displaystyle \mathbb{R}\subseteq \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N}\times\mathbb{Q}))</math>, a więc <math>\displaystyle \bigcup\bigcup\bigcup\bigcup \mathbb{R}\subseteq \mathbb{N}\cup\mathbb{Q}</math>. Rozumując dalej, mamy <math>\displaystyle \mathbb{Q}\subseteq\mathcal{P}(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z})</math>, a więc <math>\displaystyle \bigcup\bigcup\bigcup\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Z}</math>. W końcu <math>\displaystyle \mathbb{Z}\subseteq\mathcal{P}(\mathbb{N}\times\mathbb{N})</math> i <math>\displaystyle \bigcup\bigcup\bigcup\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{N}</math>. Reasumując, otrzymujemy: |
<center><math>\displaystyle \bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup(\mathbb{R}) | <center><math>\displaystyle \bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup(\mathbb{R}) | ||
Linia 739: | Linia 739: | ||
</math></center> | </math></center> | ||
− | Pozostaje wykazać, że po tylu iteracjach nie otrzymamy niczego mniejszego niż <math>\displaystyle \mathbb{N}</math>. Niech <math>\displaystyle z:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Q}</math> będzie funkcją taką, że <math>\displaystyle z(n) = [(0,1)]_{\sim}</math> dla dowolnego <math>\displaystyle n</math>. Wtedy <math>\displaystyle z</math> jest ciągiem Cauchego i <math>\displaystyle [z]_{\simeq}\in\mathbb{R}</math>. Ponieważ <math>\displaystyle \bigcup\bigcup z = \mathbb{N}\cup\{[(0,1)]_{\sim}\}</math>, to <math>\displaystyle \bigcup\bigcup\bigcup [z]_{\simeq} \supset \mathbb{N}\cup\{[(0,1)]_{\sim}\}</math> co implikuje, że | + | Pozostaje wykazać, że po tylu iteracjach nie otrzymamy niczego mniejszego niż <math>\displaystyle \mathbb{N}</math>. Niech <math>\displaystyle z:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Q}</math> będzie funkcją taką, że <math>\displaystyle z(n) = [(0,1)]_{\sim}</math>, dla dowolnego <math>\displaystyle n</math>. Wtedy <math>\displaystyle z</math> jest ciągiem Cauchego i <math>\displaystyle [z]_{\simeq}\in\mathbb{R}</math>. Ponieważ <math>\displaystyle \bigcup\bigcup z = \mathbb{N}\cup\{[(0,1)]_{\sim}\}</math>, to <math>\displaystyle \bigcup\bigcup\bigcup [z]_{\simeq} \supset \mathbb{N}\cup\{[(0,1)]_{\sim}\}</math>, co implikuje, że |
<center><math>\displaystyle \mathbb{N}\subseteq\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\mathbb{R}, | <center><math>\displaystyle \mathbb{N}\subseteq\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\mathbb{R}, | ||
Linia 758: | Linia 758: | ||
Dla ciągów <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> ciąg <math>\displaystyle a+ b</math> oraz <math>\displaystyle a \cdot b</math> oznaczają ciągi | Dla ciągów <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> ciąg <math>\displaystyle a+ b</math> oraz <math>\displaystyle a \cdot b</math> oznaczają ciągi | ||
− | zadane jako <math>\displaystyle (a +b)(i) = a(i) + b(i)</math> dla każdego <math>\displaystyle i</math>. Tak samo | + | zadane jako <math>\displaystyle (a +b)(i) = a(i) + b(i)</math>, dla każdego <math>\displaystyle i</math>. Tak samo |
− | definiujemy mnożenie: <math>\displaystyle (a \cdot b)(i) = a(i) \cdot b(i)</math> | + | definiujemy mnożenie: <math>\displaystyle (a \cdot b)(i) = a(i) \cdot b(i)</math>. |
}} | }} | ||
{{definicja|3.10.|| | {{definicja|3.10.|| | ||
Dodawanie i mnożenie ciągów liczb wymiernych definiujemy po | Dodawanie i mnożenie ciągów liczb wymiernych definiujemy po | ||
− | współrzędnych to znaczy: | + | współrzędnych, to znaczy: |
− | * dodawanie <math>\displaystyle [ a ]_{\simeq} + [b]_{\simeq} = [a+b]_{\simeq}</math> | + | * dodawanie <math>\displaystyle [ a ]_{\simeq} + [b]_{\simeq} = [a+b]_{\simeq}</math>, |
− | * mnożenie <math>\displaystyle [ a ]_{\simeq} \cdot [b]_{\simeq} = [a \cdot b]_{\simeq}</math> | + | * mnożenie <math>\displaystyle [ a ]_{\simeq} \cdot [b]_{\simeq} = [a \cdot b]_{\simeq}</math>. |
}} | }} | ||
{{cwiczenie|3.11|| | {{cwiczenie|3.11|| | ||
Linia 772: | Linia 772: | ||
Poniższe ćwiczenie odpowiada dowodowi ciągłości dodawania i | Poniższe ćwiczenie odpowiada dowodowi ciągłości dodawania i | ||
mnożenia. W innej wersji będziecie państwo zapoznawać się z tym | mnożenia. W innej wersji będziecie państwo zapoznawać się z tym | ||
− | zagadnieniem na wykładzie 8 analizy matematycznej. Pokazać, że | + | zagadnieniem na wykładzie 8 analizy matematycznej (patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 8: Granica i ciągłość funkcji|Wykład 8]]). Pokazać, że |
definicja dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych jest poprawna i | definicja dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych jest poprawna i | ||
niezależna od wyboru reprezentantów: | niezależna od wyboru reprezentantów: | ||
Linia 780: | Linia 780: | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | ||
− | Dowód poprawności definicji dodawania oprzeć na dowodzie | + | Dowód poprawności definicji dodawania oprzeć na dowodzie Twierdzenia 3.6 (patrz [[#twierdzenie_3_6|twierdzenie 3.6.]]) |
</div></div> | </div></div> | ||
Linia 796: | Linia 796: | ||
Cauchy'ego są ograniczone. Niech <math>\displaystyle M</math> będzie wspólnym ograniczeniem | Cauchy'ego są ograniczone. Niech <math>\displaystyle M</math> będzie wspólnym ograniczeniem | ||
tych ciągów. Dla <math>\displaystyle \varepsilon/(2 \cdot M)</math> dobierzmy takie <math>\displaystyle n_1</math> i | tych ciągów. Dla <math>\displaystyle \varepsilon/(2 \cdot M)</math> dobierzmy takie <math>\displaystyle n_1</math> i | ||
− | <math>\displaystyle n_2</math> aby <math>\displaystyle \left| a_k - a'_k \right| < \varepsilon/(2 \cdot M)</math> i | + | <math>\displaystyle n_2</math>, aby <math>\displaystyle \left| a_k - a'_k \right| < \varepsilon/(2 \cdot M)</math> i |
− | <math>\displaystyle \left| b_p - b'_p \right| < \varepsilon/(2 \cdot M)</math> dla <math>\displaystyle k>n_1</math> i | + | <math>\displaystyle \left| b_p - b'_p \right| < \varepsilon/(2 \cdot M)</math>, dla <math>\displaystyle k>n_1</math> i |
<math>\displaystyle p>n_2</math>. Obie nierówności będą zachodzić jednocześnie dla | <math>\displaystyle p>n_2</math>. Obie nierówności będą zachodzić jednocześnie dla | ||
− | wszystkich <math>\displaystyle k</math> poczynając od <math>\displaystyle \max(n_1 ,n_2)</math>. Prosty rachunek | + | wszystkich <math>\displaystyle k</math>, poczynając od <math>\displaystyle \max(n_1 ,n_2)</math>. Prosty rachunek |
korzystający z nierówności trójkąta kończy dowód: | korzystający z nierówności trójkąta kończy dowód: | ||
Linia 808: | Linia 808: | ||
&\leq \nonumber\\ | &\leq \nonumber\\ | ||
\varepsilon/(2 \cdot M ) \cdot M + | \varepsilon/(2 \cdot M ) \cdot M + | ||
− | \varepsilon/(2 \cdot M ) \cdot M = \varepsilon \nonumber | + | \varepsilon/(2 \cdot M ) \cdot M = \varepsilon. \nonumber |
\endaligned</math></center> | \endaligned</math></center> | ||
Linia 820: | Linia 820: | ||
Relacja <math>\displaystyle [ a ]_{\simeq} < [b]_{\simeq}</math> na | Relacja <math>\displaystyle [ a ]_{\simeq} < [b]_{\simeq}</math> na | ||
− | zbiorze liczb rzeczywistych <math>\displaystyle \mathbb{R}</math> jest zdefiniowana jako | + | zbiorze liczb rzeczywistych <math>\displaystyle \mathbb{R}</math> jest zdefiniowana jako: |
<center><math>\displaystyle \exists_{\varepsilon > 0} \;\; \exists_{n_0 \in | <center><math>\displaystyle \exists_{\varepsilon > 0} \;\; \exists_{n_0 \in | ||
− | \mathbb{N}} \;\; \forall_{k>n_0} \;\; a_k +\varepsilon <b_k | + | \mathbb{N}} \;\; \forall_{k>n_0} \;\; a_k +\varepsilon <b_k. |
</math></center> | </math></center> | ||
Będziemy mówili, że liczba wymierna <math>\displaystyle \varepsilon > 0</math> rozdziela | Będziemy mówili, że liczba wymierna <math>\displaystyle \varepsilon > 0</math> rozdziela | ||
− | dwa ciągi Cauchy'ego poczynając od elementu <math>\displaystyle a_{n_0 +1}</math>. | + | dwa ciągi Cauchy'ego, poczynając od elementu <math>\displaystyle a_{n_0 +1}</math>. |
}} | }} | ||
{{definicja|3.13.|| | {{definicja|3.13.|| | ||
Słaby porządek definiujemy tak jak zazwyczaj: dla liczb | Słaby porządek definiujemy tak jak zazwyczaj: dla liczb | ||
− | rzeczywistych <math>\displaystyle x \leq y</math> gdy <math>\displaystyle x < y</math> (patrz [[#definicja_3_12|definicja 3.12.]]) lub gdy <math>\displaystyle x=y</math> (patrz [[#definicja_3_5| | + | rzeczywistych <math>\displaystyle x \leq y</math>, gdy <math>\displaystyle x < y</math> (patrz [[#definicja_3_12|definicja 3.12.]]) lub gdy <math>\displaystyle x=y</math> (patrz [[#definicja_3_5|Definicja 3.5]]). |
}} | }} | ||
{{twierdzenie|3.14.|| | {{twierdzenie|3.14.|| | ||
Linia 841: | Linia 841: | ||
{{dowod||| | {{dowod||| | ||
− | Pokażemy, że dla dowolnych ciągów Cauchy'ego <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> jeżeli <math>\displaystyle [ | + | Pokażemy, że dla dowolnych ciągów Cauchy'ego <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math>, jeżeli <math>\displaystyle [ |
a ]_{\simeq} \neq [b]_{\simeq}</math> to <math>\displaystyle [ a ]_{\simeq} < | a ]_{\simeq} \neq [b]_{\simeq}</math> to <math>\displaystyle [ a ]_{\simeq} < | ||
[b]_{\simeq}</math> lub <math>\displaystyle [ a ]_{\simeq} > [b]_{\simeq}</math>. Niech zatem <math>\displaystyle | [b]_{\simeq}</math> lub <math>\displaystyle [ a ]_{\simeq} > [b]_{\simeq}</math>. Niech zatem <math>\displaystyle | ||
Linia 848: | Linia 848: | ||
<center><math>\displaystyle | <center><math>\displaystyle | ||
− | \exists_{\varepsilon>0} \;\; \forall_{n\in\mathbb{N}} \;\; \exists_{p\in\mathbb{N}} \;\; p>n \hspace*{0.1mm} \wedge \left| a_p -b_p \right| \geq \varepsilon | + | \exists_{\varepsilon>0} \;\; \forall_{n\in\mathbb{N}} \;\; \exists_{p\in\mathbb{N}} \;\; p>n \hspace*{0.1mm} \wedge \left| a_p -b_p \right| \geq \varepsilon. |
</math></center> | </math></center> | ||
Dobierzmy do <math>\displaystyle \varepsilon/3</math> liczby <math>\displaystyle n_a</math> i <math>\displaystyle n_b</math> odpowiednio dla ciągów <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> | Dobierzmy do <math>\displaystyle \varepsilon/3</math> liczby <math>\displaystyle n_a</math> i <math>\displaystyle n_b</math> odpowiednio dla ciągów <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> | ||
− | tak aby dla wszystkich <math>\displaystyle k,r > \max(n_a ,n_b)</math> zachodziło | + | tak, aby dla wszystkich <math>\displaystyle k,r > \max(n_a ,n_b)</math> zachodziło |
<math>\displaystyle \left| a_k - a_r \right| < \varepsilon/3</math> oraz | <math>\displaystyle \left| a_k - a_r \right| < \varepsilon/3</math> oraz | ||
<math>\displaystyle \left| b_k - b_r \right| < \varepsilon/3</math>. | <math>\displaystyle \left| b_k - b_r \right| < \varepsilon/3</math>. | ||
Linia 861: | Linia 861: | ||
Weźmy zatem dowolne <math>\displaystyle k>p_0</math>. Zachodzą następujące nierówności: | Weźmy zatem dowolne <math>\displaystyle k>p_0</math>. Zachodzą następujące nierówności: | ||
− | <center><math>\displaystyle \aligned a_{p_0} + \varepsilon &\leq b_{p_0} \quad \mbox{(3.3)}\\ | + | <center><math>\displaystyle \aligned a_{p_0} + \varepsilon &\leq b_{p_0}, \quad \mbox{(3.3)}\\ |
− | a_k - \varepsilon/3 &< a_{p_0} < a_k + \varepsilon/3 \quad \mbox{(3.4)}\\ | + | a_k - \varepsilon/3 &< a_{p_0} < a_k + \varepsilon/3, \quad \mbox{(3.4)}\\ |
− | b_k - \varepsilon/3 &< b_{p_0} < b_k + \varepsilon/3 \quad \mbox{(3.5)} | + | b_k - \varepsilon/3 &< b_{p_0} < b_k + \varepsilon/3, \quad \mbox{(3.5)} |
\endaligned</math></center> | \endaligned</math></center> | ||
− | Łatwo pokazać stosując powyższe nierówności, że poczynając od | + | Łatwo pokazać, stosując powyższe nierówności, że poczynając od |
− | <math>\displaystyle p_0</math> liczba wymierna <math>\displaystyle \varepsilon/3</math> będzie rozdzielała obydwa | + | <math>\displaystyle p_0</math> liczba wymierna <math>\displaystyle \varepsilon/3</math>, będzie rozdzielała obydwa |
− | ciągi Cauchy'ego. Mianowicie | + | ciągi Cauchy'ego. Mianowicie: |
<center><math>\displaystyle a_k + \varepsilon/3 < a_{p_0} + 2 \varepsilon/3 \leq b_{p_0} - | <center><math>\displaystyle a_k + \varepsilon/3 < a_{p_0} + 2 \varepsilon/3 \leq b_{p_0} - | ||
− | \varepsilon/3 < b_{p_0} | + | \varepsilon/3 < b_{p_0}. |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 881: | Linia 881: | ||
następująco: dla liczby wymiernej <math>\displaystyle q\in \mathbb{Q}</math> liczba | następująco: dla liczby wymiernej <math>\displaystyle q\in \mathbb{Q}</math> liczba | ||
rzeczywista <math>\displaystyle k(q)</math> jest klasą równoważności ciągu stale równego | rzeczywista <math>\displaystyle k(q)</math> jest klasą równoważności ciągu stale równego | ||
− | <math>\displaystyle q</math> czyli <math>\displaystyle k(q) = [b]_{\simeq}</math> gdzie <math>\displaystyle b(n) = q</math>. Tak więc liczby | + | <math>\displaystyle q</math>, czyli <math>\displaystyle k(q) = [b]_{\simeq}</math>, gdzie <math>\displaystyle b(n) = q</math>. Tak więc liczby |
wymierne stają się częścią liczb rzeczywistych. Funkcja <math>\displaystyle k</math> jest | wymierne stają się częścią liczb rzeczywistych. Funkcja <math>\displaystyle k</math> jest | ||
naturalnym włożeniem zbioru <math>\displaystyle \mathbb{Q}</math> w zbiór <math>\displaystyle \mathbb{R}</math>. | naturalnym włożeniem zbioru <math>\displaystyle \mathbb{Q}</math> w zbiór <math>\displaystyle \mathbb{R}</math>. | ||
− | Jest ona iniektywna i zgodna z działaniami i porządkiem | + | Jest ona iniektywna i zgodna z działaniami i porządkiem: |
− | # <math>\displaystyle k(a+b) = k(a)+k(b)</math> | + | # <math>\displaystyle k(a+b) = k(a)+k(b)</math>, |
− | # <math>\displaystyle k(a-b) = k(a)-k(b)</math> | + | # <math>\displaystyle k(a-b) = k(a)-k(b)</math>, |
− | # <math>\displaystyle k(a \cdot b) = k(a) \cdot k(b)</math> | + | # <math>\displaystyle k(a \cdot b) = k(a) \cdot k(b)</math>, |
− | # jeżeli <math>\displaystyle a<b</math> to <math>\displaystyle k(a) < k(b)</math> | + | # jeżeli <math>\displaystyle a<b</math>, to <math>\displaystyle k(a) < k(b)</math>. |
Dzięki włożeniu <math>\displaystyle k</math> będziemy utożsamiali liczbę wymierną <math>\displaystyle q</math> z | Dzięki włożeniu <math>\displaystyle k</math> będziemy utożsamiali liczbę wymierną <math>\displaystyle q</math> z | ||
Linia 899: | Linia 899: | ||
Dla każdej liczby rzeczywistej <math>\displaystyle 0\leq | Dla każdej liczby rzeczywistej <math>\displaystyle 0\leq | ||
x <1</math> istnieje ciąg <math>\displaystyle a_x \in 2^{\mathbb{N}}</math> taki, że ciąg jego | x <1</math> istnieje ciąg <math>\displaystyle a_x \in 2^{\mathbb{N}}</math> taki, że ciąg jego | ||
− | sum częściowych <math>\displaystyle b_x: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q}</math> dany jako <math>\displaystyle b_k | + | sum częściowych <math>\displaystyle b_x: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q}</math>, dany jako <math>\displaystyle b_k |
− | = \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2^{i+1}} </math> spełnia: | + | = \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2^{i+1}} </math>, spełnia: |
− | # <math>\displaystyle b_x</math> jest ciągiem Cauchy'ego | + | # <math>\displaystyle b_x</math> jest ciągiem Cauchy'ego, |
− | # <math>\displaystyle [ b_x ]_{\simeq} = x</math> | + | # <math>\displaystyle [ b_x ]_{\simeq} = x</math>. |
Taki ciąg <math>\displaystyle a_x</math> nazywamy rozwinięciem liczby <math>\displaystyle x</math> przy | Taki ciąg <math>\displaystyle a_x</math> nazywamy rozwinięciem liczby <math>\displaystyle x</math> przy | ||
Linia 911: | Linia 911: | ||
Dla liczby rzeczywistej <math>\displaystyle x</math> podamy indukcyjną konstrukcję ciągu | Dla liczby rzeczywistej <math>\displaystyle x</math> podamy indukcyjną konstrukcję ciągu | ||
− | <math>\displaystyle a</math> będącego rozwinięciem dwójkowym liczby <math>\displaystyle x</math> i równolegle | + | <math>\displaystyle a</math> będącego rozwinięciem dwójkowym liczby <math>\displaystyle x</math> i równolegle ciągu |
− | <math>\displaystyle b</math> jego sum częściowych. Jeżeli <math>\displaystyle 0 \leq x < 1/2</math> to definiujemy | + | <math>\displaystyle b</math> jego sum częściowych. Jeżeli <math>\displaystyle 0 \leq x < 1/2</math>, to definiujemy |
− | <math>\displaystyle a_0 = 0</math>, w przeciwnym wypadku to znaczy kiedy <math>\displaystyle 1/2 \leq x < 1</math> | + | <math>\displaystyle a_0 = 0</math>, w przeciwnym wypadku, to znaczy kiedy <math>\displaystyle 1/2 \leq x < 1</math>, |
definiujemy <math>\displaystyle a_0 =1</math>. Załóżmy, że mamy zdefiniowany ciąg <math>\displaystyle a</math> do | definiujemy <math>\displaystyle a_0 =1</math>. Załóżmy, że mamy zdefiniowany ciąg <math>\displaystyle a</math> do | ||
− | wyrazu <math>\displaystyle k</math>. Wyraz <math>\displaystyle k+1</math> definiujemy | + | wyrazu <math>\displaystyle k</math>. Wyraz <math>\displaystyle k+1</math> definiujemy: |
− | # <math>\displaystyle a_{k+1} = 1</math> jeżeli <math>\displaystyle \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2^{i+1}} + \frac{1}{2^{k+2}} \leq x</math> | + | # <math>\displaystyle a_{k+1} = 1,</math> jeżeli <math>\displaystyle \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2^{i+1}} + \frac{1}{2^{k+2}} \leq x</math>, |
− | # <math>\displaystyle a_{k+1} = 0</math> jeżeli <math>\displaystyle \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2^{i+1} }+ \frac{1}{2^{k+2}} > x</math> | + | # <math>\displaystyle a_{k+1} = 0,</math> jeżeli <math>\displaystyle \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2^{i+1} }+ \frac{1}{2^{k+2}} > x</math>. |
− | Ciąg <math>\displaystyle b</math> definiujemy tak jak w tezie twierdzenia to znaczy | + | Ciąg <math>\displaystyle b</math> definiujemy tak jak w tezie twierdzenia, to znaczy |
<math>\displaystyle b_k = \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2^{i+1}}</math>. | <math>\displaystyle b_k = \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2^{i+1}}</math>. | ||
− | Pokażemy indukcyjnie, że dla każdego <math>\displaystyle k</math> zachodzi | + | Pokażemy indukcyjnie, że dla każdego <math>\displaystyle k</math> zachodzi: |
<center><math>\displaystyle | <center><math>\displaystyle | ||
Linia 930: | Linia 930: | ||
</math></center> | </math></center> | ||
− | Dowód tego faktu pozostawimy jako | + | Dowód tego faktu pozostawimy jako Ćwiczenie 3.16. |
− | Z powyższej nierówności mamy pierwszy fakt, a mianowicie ciąg sum częściowych | + | Z powyższej nierówności mamy pierwszy fakt, a mianowicie: ciąg sum częściowych |
<math>\displaystyle b</math> jest ciągiem Cauchy'ego. | <math>\displaystyle b</math> jest ciągiem Cauchy'ego. | ||
}} | }} | ||
Linia 938: | Linia 938: | ||
Uzupełnij dowód indukcyjny nierówności 3.6 pierwszej części tezy | Uzupełnij dowód indukcyjny nierówności 3.6 pierwszej części tezy | ||
− | + | Twierdzenia 3.15 (patrz [[#twierdzenie_3_15|twierdzenie 3.15.]]). Wykonaj dowód drugiej części tezy Twierdzenia 3.15 (patrz [[#twierdzenie_3_15|twierdzenie 3.15.]]). poprzedzającego to | |
ćwiczenie. | ćwiczenie. | ||
Linia 945: | Linia 945: | ||
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> | ||
− | Dowód części drugiej <math>\displaystyle [ b ]_{\simeq} = x</math>. Niech <math>\displaystyle c</math> będzie dowolnym ciągiem Cauchy'ego wyznaczającym liczbę rzeczywistą <math>\displaystyle x</math> czyli niech <math>\displaystyle [ c ]_{\simeq} = x</math>. Należy pokazać, że ciągi <math>\displaystyle b</math> i <math>\displaystyle c</math> są równoważne w sensie <math>\displaystyle {\simeq}</math>. Weźmy <math>\displaystyle \varepsilon >0</math>. Dobierzmy tak duże <math>\displaystyle k</math> aby <math>\displaystyle \frac{1}{2^{k+1}} < \varepsilon</math>. Dalej wynika trywialnie z nierówności 3.6. | + | Dowód części drugiej: <math>\displaystyle [ b ]_{\simeq} = x</math>. Niech <math>\displaystyle c</math> będzie dowolnym ciągiem Cauchy'ego wyznaczającym liczbę rzeczywistą <math>\displaystyle x</math>, czyli niech <math>\displaystyle [ c ]_{\simeq} = x</math>. Należy pokazać, że ciągi <math>\displaystyle b</math> i <math>\displaystyle c</math> są równoważne w sensie <math>\displaystyle {\simeq}</math>. Weźmy <math>\displaystyle \varepsilon >0</math>. Dobierzmy tak duże <math>\displaystyle k</math>, aby <math>\displaystyle \frac{1}{2^{k+1}} < \varepsilon</math>. Dalej wynika trywialnie z nierówności 3.6. |
</div></div> | </div></div> | ||
Konstrukcja przedstawiona powyżej rozwija liczbę rzeczywistą z przedziału | Konstrukcja przedstawiona powyżej rozwija liczbę rzeczywistą z przedziału | ||
<math>\displaystyle [0,1)</math> przy podstawie <math>\displaystyle 2</math>. Na każdym etapie konstrukcji | <math>\displaystyle [0,1)</math> przy podstawie <math>\displaystyle 2</math>. Na każdym etapie konstrukcji | ||
− | sprawdzamy czy w przedziale w którym pracujemy aktualnie liczba znajduje się w | + | sprawdzamy, czy w przedziale, w którym pracujemy aktualnie, liczba znajduje się w |
− | lewej czy | + | lewej czy też prawej połówce przedziału. Stosownie do tego wybieramy cyfrę |
<math>\displaystyle 0</math> lub <math>\displaystyle 1</math> rozwinięcia. | <math>\displaystyle 0</math> lub <math>\displaystyle 1</math> rozwinięcia. | ||
− | Jak łatwo można przypuścić podobną konstrukcję jak w | + | Jak łatwo można przypuścić podobną konstrukcję jak w Twierdzeniu 3.15 (patrz [[#twierdzenie_3_15|Twierdzenie 3.15.]]) |
można wykonać przy dowolnej innej podstawie <math>\displaystyle k\geq 2</math>. W takim | można wykonać przy dowolnej innej podstawie <math>\displaystyle k\geq 2</math>. W takim | ||
wypadku aktualny analizowany przedział dzielilibyśmy na <math>\displaystyle k</math> | wypadku aktualny analizowany przedział dzielilibyśmy na <math>\displaystyle k</math> | ||
podprzedziałów i | podprzedziałów i | ||
stosownie do położenia liczby wybieralibyśmy jedną z <math>\displaystyle k</math> cyfr | stosownie do położenia liczby wybieralibyśmy jedną z <math>\displaystyle k</math> cyfr | ||
− | ze zbioru <math>\displaystyle \left\{0,\ldots k-1\right\}</math>. Przykładowo gdy za <math>\displaystyle k</math> wybierzemy | + | ze zbioru <math>\displaystyle \left\{0,\ldots k-1\right\}</math>. Przykładowo, gdy za <math>\displaystyle k</math> wybierzemy |
− | <math>\displaystyle k=10</math> dostaniemy przy pomocy takiej konstrukcji rozwinięcie dziesiętne | + | <math>\displaystyle k=10</math>, dostaniemy przy pomocy takiej konstrukcji rozwinięcie dziesiętne |
danej liczby rzeczywistej. | danej liczby rzeczywistej. | ||
Twierdzenie poniżej upewni nas o pewnej ciekawej | Twierdzenie poniżej upewni nas o pewnej ciekawej | ||
własności rozwinięć. Otóż rozwinięcie przy podstawie <math>\displaystyle k=2</math> otrzymane | własności rozwinięć. Otóż rozwinięcie przy podstawie <math>\displaystyle k=2</math> otrzymane | ||
− | przy pomocy | + | przy pomocy Twierdzenia 3.15 (patrz [[#twierdzenie_3_15|Twierdzenie 3.15.]]) zawsze jest takie, że |
zera w tym rozwinięciu występują dowolnie daleko. Innymi słowy, nie | zera w tym rozwinięciu występują dowolnie daleko. Innymi słowy, nie | ||
− | jest możliwe aby w rozwinięciu od pewnego miejsca występowały same | + | jest możliwe, aby w rozwinięciu od pewnego miejsca występowały same |
jedynki. W przykładzie dotyczącym rozwinięcia dziesiętnego liczby | jedynki. W przykładzie dotyczącym rozwinięcia dziesiętnego liczby | ||
− | odpowiada to sytuacji w której nie występują ciągi które stale od pewnego | + | odpowiada to sytuacji, w której nie występują ciągi, które stale od pewnego |
miejsca mają cyfrę <math>\displaystyle 9</math>. | miejsca mają cyfrę <math>\displaystyle 9</math>. | ||
Linia 975: | Linia 975: | ||
Rozwinięcia <math>\displaystyle a</math> uzyskane przy pomocy | Rozwinięcia <math>\displaystyle a</math> uzyskane przy pomocy | ||
konstrukcji twierdzenia 3.15 (patrz [[#twierdzenie_3_15|twierdzenie 3.15.]]) dla liczby <math>\displaystyle 0\leq x | konstrukcji twierdzenia 3.15 (patrz [[#twierdzenie_3_15|twierdzenie 3.15.]]) dla liczby <math>\displaystyle 0\leq x | ||
− | <1</math> jest zawsze takie że: | + | <1</math> jest zawsze takie, że: |
− | <center><math>\displaystyle \forall_{k} \;\; \exists_{n>k} \;\; a_n = 0 | + | <center><math>\displaystyle \forall_{k} \;\; \exists_{n>k} \;\; a_n = 0. |
</math></center> | </math></center> | ||
Linia 984: | Linia 984: | ||
{{dowod||| | {{dowod||| | ||
− | Przypuśćmy, że jest przeciwnie niż mówi teza czyli | + | Przypuśćmy, że jest przeciwnie, niż mówi teza, czyli |
<math>\displaystyle \exists_{k} \;\; \forall_{n>k} \;\; a_n = 0</math>. Weźmy najmniejsze takie | <math>\displaystyle \exists_{k} \;\; \forall_{n>k} \;\; a_n = 0</math>. Weźmy najmniejsze takie | ||
− | <math>\displaystyle k</math> i nazwijmy | + | <math>\displaystyle k</math> i nazwijmy <math>\displaystyle k_0</math>. Mamy zatem <math>\displaystyle a_{k_0} = 0</math> oraz wszystkie |
późniejsze wyrazy <math>\displaystyle a_i =1</math> dla <math>\displaystyle i>k_0</math>. Rozwijana liczba <math>\displaystyle x</math> | późniejsze wyrazy <math>\displaystyle a_i =1</math> dla <math>\displaystyle i>k_0</math>. Rozwijana liczba <math>\displaystyle x</math> | ||
− | spełniać będzie dla każdego <math>\displaystyle p\geq 1</math> nierówność 3.6 czyli zachodzić będzie: | + | spełniać będzie dla każdego <math>\displaystyle p\geq 1</math> nierówność 3.6, czyli zachodzić będzie: |
<center><math>\displaystyle b_{k_0 -1} + \frac{1}{2^{k_0 +2}} + \ldots +\frac{1}{2^{k_0 +p+1}} | <center><math>\displaystyle b_{k_0 -1} + \frac{1}{2^{k_0 +2}} + \ldots +\frac{1}{2^{k_0 +p+1}} | ||
\leq x \leq b_{k_0 -1} + \frac{1}{2^{k_0 +2}} + \ldots | \leq x \leq b_{k_0 -1} + \frac{1}{2^{k_0 +2}} + \ldots | ||
− | +\frac{1}{2^{k_0+ p+1}} + \;\; \frac{1}{2^{k_0 p+ 1}} | + | +\frac{1}{2^{k_0+ p+1}} + \;\; \frac{1}{2^{k_0 p+ 1}}. |
</math></center> | </math></center> | ||
− | Liczbą, która spełnia wszystkie te nierówności jest <math>\displaystyle b_{k_0 -1} + | + | Liczbą, która spełnia wszystkie te nierówności jest: <math>\displaystyle b_{k_0 -1} + |
\frac{1}{2^{k_0 +1}}</math>. Mamy zatem zamiast rozwinięcia, które | \frac{1}{2^{k_0 +1}}</math>. Mamy zatem zamiast rozwinięcia, które | ||
nieformalnie zapiszemy jako <math>\displaystyle a_0 \ldots a_{k_0 -1} 0 1 1 1 \ldots</math> | nieformalnie zapiszemy jako <math>\displaystyle a_0 \ldots a_{k_0 -1} 0 1 1 1 \ldots</math> | ||
rozwinięcie <math>\displaystyle a_0 \ldots a_{k_0 -1} 1 0 0 0 \ldots</math>. To właśnie to | rozwinięcie <math>\displaystyle a_0 \ldots a_{k_0 -1} 1 0 0 0 \ldots</math>. To właśnie to | ||
drugie rozwinięcie zostanie znalezione przez procedurę | drugie rozwinięcie zostanie znalezione przez procedurę | ||
− | rekurencyjną przedstawioną w | + | rekurencyjną przedstawioną w Twierdzeniu 3.15 (patrz [[#twierdzenie_3_15|Twierdzenie 3.15]]). |
}} | }} | ||
Linia 1012: | Linia 1012: | ||
{{dowod||| | {{dowod||| | ||
Bijekcja jest zdefiniowana przy pomocy techniki wprowadzonej w | Bijekcja jest zdefiniowana przy pomocy techniki wprowadzonej w | ||
− | + | Twierdzeniu 3.15 (patrz [[#twierdzenie_3_15|Twierdzenie 3.15]]). Istnienie funkcji przypisującej | |
liczbie rzeczywistej <math>\displaystyle x</math> jej rozwinięcie dwójkowe zostało tam | liczbie rzeczywistej <math>\displaystyle x</math> jej rozwinięcie dwójkowe zostało tam | ||
opisane. Własność tego rozwinięcia | opisane. Własność tego rozwinięcia | ||
<math>\displaystyle \forall_{k} \;\; \exists_{n>k} \;\; a_n = 0</math> została pokazana w | <math>\displaystyle \forall_{k} \;\; \exists_{n>k} \;\; a_n = 0</math> została pokazana w | ||
− | + | Twierdzeniu 3.17 (patrz [[#twierdzenie_3_17|Twierdzenie 3.17]]). Pozostaje uzasadnić | |
iniektywność takiego przypisania. Niech <math>\displaystyle x \neq y</math>. Załóżmy, | iniektywność takiego przypisania. Niech <math>\displaystyle x \neq y</math>. Załóżmy, | ||
że <math>\displaystyle x < y</math>. Rozważmy zatem ciągi <math>\displaystyle a</math> oraz <math>\displaystyle a'</math> rozwinięć dwójkowych | że <math>\displaystyle x < y</math>. Rozważmy zatem ciągi <math>\displaystyle a</math> oraz <math>\displaystyle a'</math> rozwinięć dwójkowych | ||
− | <math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y</math>. Nazwijmy ciągi ich sum częściowych odpowiednio przez <math>\displaystyle b</math> i <math>\displaystyle b'</math>. | + | <math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y</math>. Nazwijmy ciągi ich sum częściowych, odpowiednio przez <math>\displaystyle b</math> i <math>\displaystyle b'</math>. |
− | Ciągi sum wyznaczają te liczby czyli <math>\displaystyle [ b ]_{\simeq} = x , [b']_{\simeq} = | + | Ciągi sum wyznaczają te liczby, czyli <math>\displaystyle [ b ]_{\simeq} = x , [b']_{\simeq} = |
− | y</math>. Ciągi <math>\displaystyle b</math> i <math>\displaystyle b'</math> muszą być różne bo inaczej wyznaczałyby te | + | y</math>. Ciągi <math>\displaystyle b</math> i <math>\displaystyle b'</math> muszą być różne, bo inaczej wyznaczałyby te |
same liczby. W takim razie ciągi rozwinięć <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle a'</math> muszą być | same liczby. W takim razie ciągi rozwinięć <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle a'</math> muszą być | ||
różne. | różne. | ||
Linia 1027: | Linia 1027: | ||
Powyższe twierdzenie będzie miało fundamentalne znaczenie w | Powyższe twierdzenie będzie miało fundamentalne znaczenie w | ||
− | teorii mocy o którym mowa będzie w [http://osilek.mimuw.edu.pl/index.php?title=Logika_i_teoria_mnogo%C5%9Bci/Wyk%C5%82ad_9:_Teoria_mocy_twierdzenie_Cantora-Bernsteina%2C_twierdzenie_Cantora._Zbiory_przeliczalne%2C_zbiory_mocy_kontinuum Wykładzie 9]. Pokazuje bowiem że | + | teorii mocy, o którym mowa będzie w [http://osilek.mimuw.edu.pl/index.php?title=Logika_i_teoria_mnogo%C5%9Bci/Wyk%C5%82ad_9:_Teoria_mocy_twierdzenie_Cantora-Bernsteina%2C_twierdzenie_Cantora._Zbiory_przeliczalne%2C_zbiory_mocy_kontinuum Wykładzie 9]. Pokazuje bowiem, że |
liczby rzeczywiste są równoliczne ze zbiorem <math>\displaystyle 2^\mathbb{N}</math>. | liczby rzeczywiste są równoliczne ze zbiorem <math>\displaystyle 2^\mathbb{N}</math>. |
Wersja z 13:30, 17 wrz 2006
Liczby całkowite
W poprzednim wykładzie skonstruowaliśmy przy pomocy aksjomatu nieskończoności liczby naturalne. Określiliśmy dla nich podstawowe operacje, takie jak dodawanie i mnożenie. Teraz własności tych operacji będą użyte do dalszych konstrukcji liczbowych. Pokażemy, że mając liczby naturalne zbudowane na bazie liczby
, czyli zbioru pustego, możemy definiować bardziej skomplikowane twory liczbowe takie, jak liczby całkowite, wymierne i w końcu liczby rzeczywiste. Wszystkie te obiekty mają ogromne zastosowanie w praktyce matematycznej i informatycznej. Będziemy później w innych wykładach odwoływać się do niebanalnej reprezentacji tych obiektów, które stworzymy w tym rozdziale.Konstrukcja liczb całkowitych
Definicja 1.1.
Niech
będzie relacją określoną na następująco:Ćwiczenie 1.2
Relacja
jest relacją równoważności o polu .Ćwiczenie 1.3
Wykaż, że dla dowolnej pary
istnieje para taka, że oraz lub .Definicja 1.4.
Niech
Ćwiczenie 1.5
Które z liczb całkowitych
są relacjami równoważności na ?Operacje na
Definicja 1.6.
Element zero
to element .Element przeciwny do danego: jeżeli
, to przezDodawanie:
.Mnożenie:
{Dla przejrzystości zapisu będziemy czasami pomijać znak , pisząc , zamiast }.Odejmowanie:
Proszę o zwrócenie uwagi na pewną kolizję oznaczeń. Po lewej stronie definicji (dodawania, mnożenia i odejmowania) używamy tych samych znaków działań co po stronie prawej. Jest to ewidentna kolizja oznaczeń, którą wykonujemy z pełną świadomością. W praktyce matematycznej i informatycznej przyjęło się używać te same znaki działań, wiedząc, że mają one zgoła inne znaczenie. Również element
będziemy oznaczać identycznie jak w liczbach naturalnych, pomimo że jest to zupełnie inny zbiór. Pod koniec tej konstrukcji podamy naturalne włożenie (iniekcje wkładającą liczby naturalne w całkowite) takie, które zachowuje działania na liczbach, co upewni nas, że stosowanie tych samych oznaczeń nie grozi konfliktem.Ćwiczenie 1.7
Pokazać, że działania na liczbach całkowitych są dobrze określone. To znaczy pokazać, że zbiory (klasy równoważności) będące wynikiem działań nie zależą od wyboru reprezentantów:
Ćwiczenie 1.8
Pokaż własności działań dodawania i mnożenia. Dla dowolnych liczb całkowitych
zachodzą równości:- (przemienność dodawania),
- (przemienność mnożenia),
- oraz to (prawo skracania),
- (rozdzielność).
Porządek liczb całkowitych
Definicja 1.9.
Liczba
zachodzi, gdy .Ćwiczenie 1.10
Pokaż, że definicja porządku nie jest zależna od wyboru reprezentanta.
Ćwiczenie 1.11
Pokaż, że porządek liczb całkowitych spełnia postulaty porządku liniowego, to znaczy jest zwrotny, antysymetryczny, przechodni i spójny.
Definicja 1.12.
Rozważmy funkcje
zadaną wzorem:Funkcja ta jest naturalnym włożeniem zbioru
w zbiór . Jako ćwiczenie pokażemy, że funkcja jest iniektywna i zgodna z działaniami. Dzięki włożeniu będziemy utożsamiali liczbę naturalną z odpowiadającą jej liczbą całkowitą . W ten sposób każdą liczbę naturalną możemy traktować jak całkowitą.Ćwiczenie 1.13
Pokaż, że funkcja
jest iniekcją. Pokaż, że jest zgodne z działaniami i porządkiem, to znaczy:- ,
- ,
- ,
- jeżeli , to .
Liczby wymierne
Niech
. Określamy relację na zbiorze następująco:Ćwiczenie 2.1
Relacja
jest równoważnością.Definicja 2.2.
Niech
OZNACZENIE: Będziemy tradycyjne oznaczać ułamek
. Oznacza on zbiór .Ćwiczenie 2.3
Dla jakich liczb wymiernych
mamy ?Działania na ułamkach
Definiujemy stałe i standardowe działania na ułamkach.
- Zero w liczbach wymiernych to .
- Jedynka w liczbach wymiernych to ułamek .
- Dodawanie .
- Odejmowanie .
- Mnożenie .
- Dzielenie, gdy .
Tak jak poprzednio w przypadku liczb całkowitych będziemy starali się utożsamiać liczby całkowite z pewnymi ułamkami.
Proszę tak jak poprzednio o zwrócenie uwagi na kolizję oznaczeń. Jest to zamierzona kolizja oznaczeń, którą wprowadzamy z pełną świadomością. Po lewej stronie definicji (dodawania, mnożenia, odejmowania i liczby przeciwnej) używamy tych samych znaków działań co po stronie prawej. Pod koniec tej konstrukcji podamy naturalne włożenie (iniekcje wkładającą liczby całkowite w wymierne) takie, które zachowuje działania na liczbach. Upewni nas to, że stosowanie tych samych oznaczeń de facto nie grozi konfliktem.
Ćwiczenie 2.4
Pokazać, że działania na liczbach wymiernych są dobrze określone. To znaczy pokazać, że zbiory (klasy równoważności) będące wynikiem działań nie zależą od wyboru reprezentantów:
Porządek ułamków.
Definicja 2.5.
, gdy
Ćwiczenie 2.6
Pokaż, że definicja porządku nie jest zależna od wyboru reprezentanta.
Ćwiczenie 2.7
Pokaż, że porządek liczb wymiernych spełnia postulaty porządku liniowego, to znaczy jest zwrotny, antysymetryczny, przechodni i spójny.
Do rozważań nad konstrukcją liczb rzeczywistych potrzebna nam będzie definicja wartości bezwzględnej
Definicja 2.8.
Ćwiczenie 2.9
Pokaż warunek trójkąta, czyli:
Definicja 2.10.
Rozważmy teraz funkcje
identyfikującą liczby całkowite jako pewne specjalne liczby wymierne zadaną wzorem:Funkcja ta jest naturalnym włożeniem zbioru
w zbiór . Jest iniektywna, zgodna z działaniami i zachowująca stałe. Pokazanie tych własności będzie treścią następnego ćwiczenia.Ćwiczenie 2.11
Pokaż własności włożenia
:- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- jeżeli , to .
Dzięki włożeniu
będziemy utożsamiali liczbę całkowitą z odpowiadającą jej liczbą wymierną .Konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych

Definicja 3.1.
Ciągiem elementów zbioru
nazywamy każdą funkcje . Przez oznaczamy element ciągu .Konstrukcja liczb rzeczywistych pochodzi od Georga Cantora. Genialny pomysł Georga Cantora polega na rozważaniu nieskończonych ciągów liczb wymiernych spełniających warunek Augustina Louis Cauchy'ego. Wiemy z analizy (patrz wykład Szeregi liczbowe), że ciągi takie są zbieżne. Dlatego ciąg ten można uważać za aproksymacje liczby rzeczywistej. Będziemy za liczbę rzeczywistą brać wszystkie takie ciągi aproksymacji, które w sensie poniższych definicji będą dowolnie bliskie siebie.
Definicja 3.2.
Ciągiem Cauchy'ego zbioru liczb wymiernych
nazywamy każdy taki ciąg który spełnia warunek (Cauchy'ego):Definicja 3.3.
Ciąg
nazywamy ograniczonym, gdy spełnia:Fakt 1
Ciągi Cauchy'ego są ograniczone.
Dowód
Do ciągu Cauchy'ego definicja 3.2.), znajdziemy tak duże , że dla wszystkich liczb naturalnych , poczynając od będzie zachodzić: . Połóżmy za największą z pośród liczb oraz powiększoną o . Łatwo sprawdzić, że tak zdefiniowane majoryzuje moduły wszystkich liczb ciągu.
będziemy dobierać ograniczenie . Weźmy dodatnią liczbę wymierną . Dla niej, zgodnie z Definicją 3.2 (patrz
Poniżej wprowadzimy relacje równoważności na zborze ciągów Cauchy'ego, taką która skleja ciągi, które leżą dowolnie blisko. Każdy taki ciąg będzie inną aproksymacją tej samej liczby rzeczywistej. Zbiór wszystkich takich aproksymacji będzie dla nas właśnie liczbą rzeczywistą.
Definicja 3.4.
Niech
jest ciągiem Cauchy'ego .Definicja 3.5.
Na zbiorze
ciągów Cauchy'ego określamy relację następująco: dwa ciągi i są równoważne, co zapisujemy jako , gdy:Twierdzenie 3.6.
Relacja
określona na jest relacją równoważności.Dowód
Zwrotność i symetria relacji
są oczywiste. Zajmijmy się dowodem przechodniości. Niech oraz . Oznacza to:Weźmy Ćwiczenie 2.9), mamy:
. Będziemy dobierać niezależnie liczby i do dla pierwszej i drugiej pary ciągów. Mamy zatem parę nierówności: dla zachodzi oraz dla zachodzi . Biorąc większą z tych dwóch liczb, będziemy oczywiście jednocześnie spełniać obie nierówności. Zatem dla zachodzą oraz . Używając nierówności trójkąta (patrzco kończy dowód.

Definicja 3.7.
Przez liczby rzeczywiste będziemy rozumieli zbiór
i oznaczamy przez .Liczbą rzeczywistą jest zatem zbiór ciągów Cauchy'ego, które leżą dowolnie blisko siebie. Na każdy taki ciąg można patrzeć jak na pewną aproksymację danej liczby rzeczywistej.
Ćwiczenie 3.8
Ile razy należy poprzedzić znakiem
zbiór , aby otrzymać ?Działania na
Definicja 3.9.
Dla ciągów
i ciąg oraz oznaczają ciągi zadane jako , dla każdego . Tak samo definiujemy mnożenie: .Definicja 3.10.
Dodawanie i mnożenie ciągów liczb wymiernych definiujemy po współrzędnych, to znaczy:
- dodawanie ,
- mnożenie .
Ćwiczenie 3.11
Poniższe ćwiczenie odpowiada dowodowi ciągłości dodawania i mnożenia. W innej wersji będziecie państwo zapoznawać się z tym zagadnieniem na wykładzie 8 analizy matematycznej (patrz Wykład 8). Pokazać, że definicja dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych jest poprawna i niezależna od wyboru reprezentantów:
Porządek na
Definicja 3.12.
Relacja
na zbiorze liczb rzeczywistych jest zdefiniowana jako:Będziemy mówili, że liczba wymierna
rozdziela dwa ciągi Cauchy'ego, poczynając od elementu .Definicja 3.13.
Słaby porządek definiujemy tak jak zazwyczaj: dla liczb rzeczywistych definicja 3.12.) lub gdy (patrz Definicja 3.5).
, gdy (patrzTwierdzenie 3.14.
Porządek na
jest liniowy.Dowód
Pokażemy, że dla dowolnych ciągów Cauchy'ego
i , jeżeli to lub . Niech zatem . Zgodnie z definicją oznacza to:Dobierzmy do
liczby i odpowiednio dla ciągów i tak, aby dla wszystkich zachodziło oraz . Zgodnie z formulą powyżej dla musi istnieć takie, że . Ustalmy, że to (gdy będzie odwrotnie rozumowania jest identyczne). Weźmy zatem dowolne . Zachodzą następujące nierówności:Łatwo pokazać, stosując powyższe nierówności, że poczynając od
liczba wymierna , będzie rozdzielała obydwa ciągi Cauchy'ego. Mianowicie:
Włożenie w
Rozważmy funkcje
zadaną następująco: dla liczby wymiernej liczba rzeczywista jest klasą równoważności ciągu stale równego , czyli , gdzie . Tak więc liczby wymierne stają się częścią liczb rzeczywistych. Funkcja jest naturalnym włożeniem zbioru w zbiór . Jest ona iniektywna i zgodna z działaniami i porządkiem:- ,
- ,
- ,
- jeżeli , to .
Dzięki włożeniu
będziemy utożsamiali liczbę wymierną z odpowiadającą jej liczbą rzeczywistą .Rozwijanie liczb rzeczywistych przy podstawie
Twierdzenie 3.15.
Dla każdej liczby rzeczywistej
istnieje ciąg taki, że ciąg jego sum częściowych , dany jako , spełnia:- jest ciągiem Cauchy'ego,
- .
Taki ciąg
nazywamy rozwinięciem liczby przy podstawie .Dowód
Dla liczby rzeczywistej
podamy indukcyjną konstrukcję ciągu będącego rozwinięciem dwójkowym liczby i równolegle ciągu jego sum częściowych. Jeżeli , to definiujemy , w przeciwnym wypadku, to znaczy kiedy , definiujemy . Załóżmy, że mamy zdefiniowany ciąg do wyrazu . Wyraz definiujemy:- jeżeli ,
- jeżeli .
Ciąg
definiujemy tak jak w tezie twierdzenia, to znaczy .Pokażemy indukcyjnie, że dla każdego
zachodzi:Dowód tego faktu pozostawimy jako Ćwiczenie 3.16. Z powyższej nierówności mamy pierwszy fakt, a mianowicie: ciąg sum częściowych
jest ciągiem Cauchy'ego.
Ćwiczenie 3.16
Uzupełnij dowód indukcyjny nierówności 3.6 pierwszej części tezy Twierdzenia 3.15 (patrz twierdzenie 3.15.). Wykonaj dowód drugiej części tezy Twierdzenia 3.15 (patrz twierdzenie 3.15.). poprzedzającego to ćwiczenie.
Konstrukcja przedstawiona powyżej rozwija liczbę rzeczywistą z przedziału Twierdzenie 3.15.) można wykonać przy dowolnej innej podstawie . W takim wypadku aktualny analizowany przedział dzielilibyśmy na podprzedziałów i stosownie do położenia liczby wybieralibyśmy jedną z cyfr ze zbioru . Przykładowo, gdy za wybierzemy , dostaniemy przy pomocy takiej konstrukcji rozwinięcie dziesiętne danej liczby rzeczywistej.
przy podstawie . Na każdym etapie konstrukcji sprawdzamy, czy w przedziale, w którym pracujemy aktualnie, liczba znajduje się w lewej czy też prawej połówce przedziału. Stosownie do tego wybieramy cyfrę lub rozwinięcia. Jak łatwo można przypuścić podobną konstrukcję jak w Twierdzeniu 3.15 (patrzTwierdzenie poniżej upewni nas o pewnej ciekawej własności rozwinięć. Otóż rozwinięcie przy podstawie Twierdzenie 3.15.) zawsze jest takie, że zera w tym rozwinięciu występują dowolnie daleko. Innymi słowy, nie jest możliwe, aby w rozwinięciu od pewnego miejsca występowały same jedynki. W przykładzie dotyczącym rozwinięcia dziesiętnego liczby odpowiada to sytuacji, w której nie występują ciągi, które stale od pewnego miejsca mają cyfrę .
otrzymane przy pomocy Twierdzenia 3.15 (patrzTwierdzenie 3.17.
Rozwinięcia twierdzenie 3.15.) dla liczby jest zawsze takie, że:
uzyskane przy pomocy konstrukcji twierdzenia 3.15 (patrzDowód
Przypuśćmy, że jest przeciwnie, niż mówi teza, czyli
. Weźmy najmniejsze takie i nazwijmy . Mamy zatem oraz wszystkie późniejsze wyrazy dla . Rozwijana liczba spełniać będzie dla każdego nierówność 3.6, czyli zachodzić będzie:Liczbą, która spełnia wszystkie te nierówności jest: Twierdzenie 3.15).
. Mamy zatem zamiast rozwinięcia, które nieformalnie zapiszemy jako rozwinięcie . To właśnie to drugie rozwinięcie zostanie znalezione przez procedurę rekurencyjną przedstawioną w Twierdzeniu 3.15 (patrz
Twierdzenie 3.18.
Istnieje bijekcja pomiędzy odcinkiem
a zbioremDowód
Bijekcja jest zdefiniowana przy pomocy techniki wprowadzonej w Twierdzeniu 3.15 (patrz Twierdzenie 3.15). Istnienie funkcji przypisującej liczbie rzeczywistej jej rozwinięcie dwójkowe zostało tam opisane. Własność tego rozwinięcia została pokazana w Twierdzeniu 3.17 (patrz Twierdzenie 3.17). Pozostaje uzasadnić iniektywność takiego przypisania. Niech . Załóżmy, że . Rozważmy zatem ciągi oraz rozwinięć dwójkowych i . Nazwijmy ciągi ich sum częściowych, odpowiednio przez i . Ciągi sum wyznaczają te liczby, czyli . Ciągi i muszą być różne, bo inaczej wyznaczałyby te same liczby. W takim razie ciągi rozwinięć i muszą być różne.

Powyższe twierdzenie będzie miało fundamentalne znaczenie w teorii mocy, o którym mowa będzie w Wykładzie 9. Pokazuje bowiem, że liczby rzeczywiste są równoliczne ze zbiorem .