Tekst źródłowy strony Logika i teoria mnogości/Wykład 8: Konstrukcje liczbowe, liczby całkowite, wymierne, konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych: działania i porządek

==Liczby całkowite==

W poprzednim wykładzie skonstruowaliśmy przy pomocy aksjomatu
nieskończoności liczby naturalne. Określiliśmy dla nich podstawowe
operacje, takie jak dodawanie i mnożenie. Teraz własności tych
operacji będą użyte do dalszych konstrukcji liczbowych. Pokażemy,
że mając liczby naturalne zbudowane na bazie liczby <math>0</math>, czyli
zbioru pustego, możemy definiować bardziej skomplikowane twory
liczbowe takie, jak liczby całkowite, wymierne i w końcu liczby
rzeczywiste. Wszystkie te obiekty mają ogromne zastosowanie w
praktyce matematycznej i informatycznej. Będziemy później w innych
wykładach odwoływać się do niebanalnej reprezentacji tych
obiektów, które stworzymy w tym rozdziale.

===Konstrukcja liczb całkowitych===

{{definicja|1.1.||

Niech <math>\approx</math> będzie relacją określoną na
<math>\mathbb{N} \times \mathbb{N}</math> następująco:

<center><math>(n,k)\approx (p,q)</math>   wtw   <math>n+q = k+p</math></center>
}}
{{cwiczenie|1.2||

Relacja <math>\approx</math> jest relacją równoważności o polu
<math>\mathbb{N} \times \mathbb{N}</math>.

}}

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  

Wykażemy, że relacja <math>\approx</math> jest relacją równoważności na <math>\mathbb{N} \times \mathbb{N}</math>. Dla dowolnych liczb naturalnych <math>n</math> i <math>k</math> mamy <math>(n,k)\approx (n,k)</math> ponieważ <math>n+k = n+k</math>, więc relacja jest zwrotna. Podobnie, dla dowolnych liczb <math>n, k, p, q</math> jeśli <math>(n,k)\approx(p,q)</math>, to <math>n+q = k+p</math> i korzystając z przemienności dodawania, otrzymujemy <math>p+k = q+n</math>, czyli <math>(p,q)\approx(n,k)</math> i relacja jest symetryczna.

Aby wykazać przechodniość, ustalmy trzy dowolne pary <math>(n,k),(p,q)</math> i <math>(m,l)</math> spełniające <math>(n,k)\approx (p,q)</math> oraz <math>(p,q)\approx (m,l)</math>. Wtedy <math>n+q = k+p</math> oraz <math>p+l=q+m</math>, więc <math>(n+q)+(p+l) = (k+p)+(q+m)</math> i na mocy łączności i przemienności dodawania w liczbach naturalnych otrzymujemy <math>(n+l) + (q+p) = (k+m)+(q+p)</math>. Skracamy czynnik <math>(p+q)</math>&nbsp;(na mocy własności skracania dla dodawanie) i otrzymujemy <math>n+l=k+m</math>, czyli <math>(n,k)\approx (m,l)</math>, co dowodzi przechodniości relacji <math>\approx</math>. Wykazaliśmy, że <math>\approx</math> jest relacją równoważności.
</div></div>

<span id="cwiczenie_1_3">{{cwiczenie|1.3||

Wykaż, że dla dowolnej pary <math>(n,k)\in\mathbb{N}\times \mathbb{N}</math> istnieje
para <math>(p,q)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}</math> taka, że <math>(n,k)\approx (p,q)</math>
oraz <math>p=0</math> lub <math>q=0</math>.  
}}</span>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  

Ustalmy dowolną parę <math>(n,k)\in\mathbb{N}\times \mathbb{N}</math>. Jeśli <math>n=k</math>, to mamy <math>(n,k)\approx(0,0)</math> i warunek jest spełniony. Jeśli <math>n\neq k</math>, to, na mocy własności liczb naturalnych, istnieje liczba naturalna <math>l</math> taka, że <math>n=k+l</math>&nbsp;(lub że <math>n+l =k</math>). Wtedy <math>n+0=k+l</math>&nbsp;(lub <math>n+l = k+0</math>), czyli <math>(n,k)\approx(l,0)</math>&nbsp;(lub <math>(n,k)\approx(0,l)</math>), co należało dowieść.
</div></div>

{{definicja|1.4.||

Niech <math>\mathbb{Z} =  \mathbb{N}
\times\mathbb{N} / \approx</math>
}}
{{cwiczenie|1.5||

Które z liczb całkowitych <math>[(n,k)]_{\approx}</math> są relacjami równoważności
na <math>\mathbb{N}</math>?  
}}

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  

Aby liczb całkowita była relacją równoważności, koniecznym jest <math>(0,0)\in[(k,n)]_{\approx}</math>, a więc jedynym kandydatem na liczbę będącą relacją równoważności na <math>\mathbb{N}</math> jest <math>[(0,0)]_{\approx}</math>. Weźmy teraz dowolną parę liczb naturalnych <math>(n,k)</math>, jeśli <math>(0,0)\approx(n,k)</math>, to <math>0+k = n+0</math>, czyli <math>n=k</math>. Liczba całkowita <math>[(0,0)]_{\approx}</math> jest relacją równoważności na <math>\mathbb{N}</math> i żadna inna liczba całkowita nie jest relacją równoważności.
</div></div>

=== Operacje na <math>\mathbb{Z}</math> ===

{{definicja|1.6.||

Element zero <math>0 \in \mathbb{Z}</math> to element <math>[ (0,0) ]_{\approx}</math>.

Element przeciwny do danego: jeżeli <math>x = [ (n,k) ]_{\approx}</math>, to
przez  <math>-x = [ (k,n) ]_{\approx}</math>

Dodawanie: <math>[ (n,k) ]_{\approx} + [ (p,q) ]_{\approx} = [
(n+p,k+q) ]_{\approx}</math>.

Mnożenie: <math>[ (n,k) ]_{\approx} \cdot [ (p,q) ]_{\approx} = [ (n
\cdot p + k \cdot q \;,\; n \cdot q + k \cdot p )
]_{\approx}</math>{Dla przejrzystości zapisu będziemy czasami
pomijać znak <math>\cdot</math>, pisząc <math>xy</math>, zamiast <math>x\cdot y</math>}.

Odejmowanie: <math>x-y = x+ (-y)</math>
}}
Proszę o zwrócenie uwagi na pewną kolizję oznaczeń. Po lewej
stronie definicji (dodawania, mnożenia i odejmowania) używamy tych
samych znaków działań co po stronie prawej. Jest to ewidentna
kolizja oznaczeń, którą wykonujemy z pełną świadomością. W
praktyce matematycznej i informatycznej przyjęło się używać te
same znaki działań, wiedząc, że mają one zgoła inne znaczenie.
Również element <math>0</math> będziemy oznaczać identycznie jak <math>0</math> w
liczbach naturalnych, pomimo że jest to zupełnie inny zbiór. Pod
koniec tej konstrukcji podamy naturalne włożenie (iniekcje
wkładającą liczby naturalne w całkowite) takie, które zachowuje
działania na liczbach, co upewni nas, że stosowanie tych samych
oznaczeń nie grozi konfliktem.

{{cwiczenie|1.7||

Pokazać, że działania na liczbach całkowitych są dobrze określone.
To znaczy pokazać, że zbiory (klasy równoważności) będące wynikiem
działań nie zależą od wyboru reprezentantów:  
}}

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  

Zapisz w jaki sposób wynik działań jest niezależny od wyboru
reprezentantów.

</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  

Dla dowodu wykazującego dobre zdefiniowanie operacji na liczbach całkowitych ustalmy dowolne pary <math>(n,k),(p,q),(m,l),(r,s)</math> spełniające <math>(n,k)\approx (m,l)</math> oraz <math>(p,q)\approx (r,s)</math>.

Dla dowodu dobrego zdefiniowania elementów przeciwnych musimy wykazać, że <math>-[(n,k)]_{\approx} = -[(m,l)]_{\approx}</math>, czyli że <math>[(k,n)]_{\approx} =[(l,m)]_{\approx}</math>. Potrzebujemy <math>(k,n)\approx(l,m)</math>, co jest równoważne stwierdzeniu, że <math>k+m = n+l</math>, który to fakt jest oczywistą konsekwencją <math>(n,k)\approx (m,l)</math>. Wykazaliśmy, że definicja elementu przeciwnego nie zależy od wyboru reprezentantów dla klas.

Analogiczny dowód przeprowadzamy dla dodawania. Musimy wykazać, że
<math>[(n,k)]_{\approx}+[(p,q)]_{\approx} = [(m,l)]_{\approx} + [(r,s)]_{\approx}</math>. Równość ta jest prawdą wtedy i tylko wtedy, kiedy <math>[(n+p,k+q)]_{\approx} =[(m+r,l+s)]_{\approx}</math>, czyli kiedy <math>(n+p,k+q)\approx(m+r,l+s)</math>. Korzystając z definicji relacji <math>\approx</math>, potrzebujemy <math>(n+p)+(l+s) = (k+q)+(m+r)</math>. Z założeń wynika, że <math>n+l=k+m</math> oraz <math>p+s = q+r</math> - dodając te równości stronami i korzystając z łączności i przemienności dodawania w liczbach naturalnych, otrzymujemy żądany fakt.

Wykażemy, że mnożenie dwóch liczb całkowitych nie zależy od wyboru reprezentantów w klasach równoważności. Niewątpliwie, używając założeń i przemienności, łączności i definicji mnożenia, mamy:

<center><math>(n+l+k+m)(q+r) = 2 (k+m)(q+r)  = 2(q+r)(k+m) = (p+s+q+r)(k+m)
</math></center>

i dalej, używając rozdzielności mnożenia:

<center><math>n(q+r)+l(q+r)+k(q+r)+m(q+r) = p(k+m)+s(k+m)+q(k+m)+r(k+m)</math></center>

Używamy raz jeszcze założeń i dostajemy:

<center><math>n(p+s)+l(q+r)+k(q+r)+m(p+s) = p(k+m) + s(l+n) +q(l+n)+r(k+m)
</math></center>

co, po wymnożeniu daje:

<center><math>np + ns + lq + lr + kq + kr +mp + ms = pk + pm + sl +sn + ql +qn
+rk+rm</math></center>

Stosujemy prawo skracania dla liczb naturalnych do <math>ns + lq + kr
+mp</math> i dostajemy:

<center><math>np+lr +kq + ms = pk + sl + qn + rm
</math></center>

co, używając przemienności mnożenia i przemienności i łączności
dodawania, daje:

<center><math>(np +kq, nq + kp)\approx (mr +ls, ms +lr)</math></center>

Wywnioskowaliśmy, że <math>[(n,k)]_{\approx}\cdot [(p,q)]_{\approx} =
[(m,l)]_{\approx}\cdot [(r,s)]_{\approx}</math>, co oznacza, że definicja mnożenia
nie zależy od wyboru reprezentantów dla klas.
</div></div>

<span id="cwiczenie_1_8">
{{cwiczenie|1.8||

Pokaż własności działań dodawania i mnożenia. Dla dowolnych liczb
całkowitych <math>x,y,z</math> zachodzą równości:
# <math>x+y = y+x</math> (przemienność dodawania),
# <math>x \cdot y = y \cdot x</math> (przemienność mnożenia),
# <math>x \cdot y = z \cdot y</math> oraz  <math>y\neq 0</math> to <math>x=z</math> (prawo skracania),
# <math>x \cdot(y+z) = x\cdot y + x\cdot z</math> (rozdzielność).

}}
</span>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  

Zapisz każde z powyższych praw, ujawniając strukturę liczb całkowitych. Zauważ, że w dowodzie będą interweniowały udowodnione już prawa łączności, przemienności i prawo skreśleń i skracania dla liczb naturalnych.

</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  

Dla dowodu powyższych własności ustalmy dowolne liczby całkowite <math>[(n,k)]_{\approx},[(p,q)]_{\approx},[(m,l)]_{\approx}</math>.
# Dla dowodu przemienności dodawania zauważmy, że <math>[(n,k)]_{\approx} + [(p,q)]_{\approx} = [(n+p,k+q)]_{\approx}</math> i korzystając z przemienności dodawania dla liczb naturalnych, otrzymujemy <math>[(n+p,k+q)]_{\approx} = [(p+n,q+k)]_{\approx} =[(p,q)]_{\approx}+[(n,k)]_{\approx}</math>. Wykazaliśmy, że dodawanie liczb całkowitych jest przemienne.
# Podobne rozumowanie stosujemy dla mnożenia <math>[(n,k)]_{\approx}\cdot[(p,q)]_{\approx} = [(np+kq,nq+kp)]_{\approx}</math> i, stosując przemienność mnożenia i dodawania <math>[(np+kq,nq+kp)]_{\approx} = [(pn+qk,pk+qn)]_{\approx} =[(p,q)]_{\approx}\cdot[(n,k)]_{\approx}</math>, co należało wykazać.
# Dla dowodu prawa skracania dla liczb całkowitych załóżmy, że <math>[(n,k)]_{\approx}\cdot[(p,q)]_{\approx}=[(m,l)]_{\approx}\cdot[(p,q)]_{\approx}</math>, oraz że dokładnie jedna z liczb <math>p, q</math> jest równa zero. Na mocy Ćwiczenia 1.3 (patrz [[#cwiczenie_1_3|ćwiczenie 1.3]]) reprezentacja taka istnieje dla każdej, różnej od zera, liczby całkowitej. Wnioskujemy, że <math>[(np+kq,nq+kp)]_{\approx}=[(mp+lq,mq+lp)]_{\approx}</math>. Wnioskujemy stąd, że <math>(np+kq,nq+kp)\approx(mp+lq,mq+lp)</math>, czyli że <math>np+kq+mq+lp = nq+kp+mp+lq</math>.  Jeśli <math>p=0</math>, to otrzymujemy, korzystając z rozdzielności,  <math>(k+m)q = (n+l)q</math> i korzystając z prawa skracania dla liczb naturalnych <math>k+m =n+l</math>, czyli <math>[(k,l)]_{\approx}=[(m,l)]_{\approx}</math>, co należało dowieść. Podobnie, jeśli <math>q=0</math>, to <math>(n+l)p = (k+m)p</math> i, podobnie jak w poprzednim przypadku, <math>[(k,l)]_{\approx}=[(m,l)]_{\approx}</math>. Wykazaliśmy, że mnożenie liczb całkowitych jest skracalne. 
# Dla dowodu rozdzielności postępujemy następująco. Liczby <math>[(n,k)]_{\approx}\cdot([(p,q)]_{\approx}+[(m,l)]_{\approx})=[(n(p+m) + k(q+l),n(q+l)+k(p+m))]_{\approx}</math>. Korzystając z rozdzielności, przemienności i łączności działań na liczbach naturalnych, dostajemy, <math>[(n(p+m) + k(q+l),n(q+l)+k(p+m))]_{\approx}= [((np + kq) + (nm+kl),(nq+kp)+(nl+km)]_{\approx}=[(np+kq,nq+kp)]_{\approx}+[(nm+kl,nl+km)]_{\approx}</math>, co równa się <math>[(n,k)]_{\approx}\cdot [(p,q)]_{\approx}+[(n,k)]_{\approx}\cdot[(m,l)]_{\approx}</math>, co należało wykazać.

</div></div>

===Porządek liczb całkowitych===

{{definicja|1.9.||

Liczba <math>[ (n,k) ]_{\approx} \leq [ (p,q) ]_{\approx}</math> zachodzi, gdy <math>n+q \leq p+k</math>.
}}
{{cwiczenie|1.10||

Pokaż, że definicja porządku nie jest zależna od wyboru
reprezentanta.  
}}

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  

Do dowodu zastosuj własności dodawania liczb naturalnych. 
</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  

Niech <math>(n,k),(m,l),(p,q),(r,s)</math> będą parami liczb naturalnych takimi, że <math>(n,k)\approx (m,l)</math> oraz <math>(p,q)\approx (r,s)</math>. Załóżmy dodatkowo, że <math>[(n,k)]_{\approx}\leq[(p,q)]_{\approx}</math>. Wykażemy, iż w takim przypadku również <math>[(m,l)]_{\approx}\leq [(r,s)]_{\approx}</math>, czyli że porządek na liczbach całkowitych jest niezależny od wyboru reprezentantów dla klas równoważności. Skoro <math>[(n,k)]_{\approx}\leq[(p,q)]_{\approx}</math>, to <math>n+q \leq p+k</math> i z wykładu o liczbach naturalnych wiemy, że istnieje liczba naturalna <math>t</math> taka, że <math>n+q+t = p+k</math>. Równocześnie nasze założenia gwarantują, że <math>n+l=k+m</math> i <math>p+s=q+r</math>, czyli że:

<center><math>n+l+q+r = k+m+p+s</math></center>

Korzystając z udowodnionej własności <math>t</math> podstawiamy liczby do
wzoru, otrzymując:

<center><math>n+l+q+r=n+m+q+t+s</math>,</center>

co z kolei możemy skrócić przez <math>n+q</math>, otrzymując:

<center><math>l+r =  m+s+t \text{ co oznacza } l+r\geq m+s</math></center>

Czyli <math>[(m,l)]_{\approx}\leq[(r,s)]_{\approx}</math>, co należało wykazać.
</div></div>

{{cwiczenie|1.11||

Pokaż, że porządek liczb całkowitych spełnia postulaty porządku
liniowego, to znaczy jest zwrotny, antysymetryczny, przechodni i
spójny.  
}}

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  

Do dowodu zastosuj własności dodawania liczb naturalnych i porządku liczb naturalnych. 
</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  

Porządek na liczbach całkowitych jest zwrotny. Dla dowolnej liczby całkowitej <math>[(n,k)]_{\approx}</math> mamy <math>[(n,k)]_{\approx}\leq [(n,k)]_{\approx}</math>, ponieważ <math>n+k\leq n+k</math>.

Dla dowodu antysymetrii załóżmy, że dla dwu liczb całkowitych mamy <math>[(n,k)]_{\approx}\leq [(p,q)]_{\approx}</math> oraz <math>[(p,q)]_{\approx}\leq [(n,k)]_{\approx}</math>. Wnioskujemy natychmiast, że <math>n+q\leq k+p</math> oraz, że <math>p+k \leq q+n</math>. Korzystając z przemienności dodawania, przechodniości i antysymetrii porządku na liczbach naturalnych, dostajemy: <math>n+q =
k+p</math>, czyli <math>(n,k)\approx(p,q)</math>, co należało wykazać.

Aby wykazać przechodniość, ustalmy trzy dowolne liczby całkowite takie, że <math>[(n,k)]_{\approx}\leq [(p,q)]_{\approx}\leq [(m,l)]_{\approx}</math>. Definicja porządku gwarantuje, że:

<center><math>n+q\leq k+p \text{ oraz, że } p+l\leq q+m</math></center>

Operując ćwiczeniami z [[Logika i teoria mnogości/Wykład 7: Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych, twierdzenie o indukcji, zasady minimum, maksimum, definiowanie przez indukcje|Wykładu 7]] możemy łatwo pokazać, że jeśli dodamy do obu stron nierówności tę samą liczbę, to nierówność pozostanie zachowana. W związku z tym:

<center><math>n+q+l\leq k+p+l \text{ oraz, że } p+l+k\leq q+m+k
</math></center>

i używając przechodniości, dostajemy: <math>n+q+l\leq q+m+k</math>. Jeszcze raz wykorzystując ćwiczenia dotyczące liczb naturalnych, możemy skrócić <math>q</math> i otrzymać <math>n+l\leq m+k</math>, czyli <math>[(n,k)]_{\approx}\leq [(m,l)]_{\approx}</math>, co należało wykazać.

Dowód spójności porządku na liczbach całkowitych jest trywialną konsekwencją faktu, że dla dowolnych dwóch par liczb naturalnych <math>(n,k)</math> i <math>(p,q)</math> mamy <math>n+q\leq p+k</math> lub <math>p+k\leq q+n</math>.
</div></div>

{{definicja|1.12.||

Rozważmy funkcje <math>i:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}</math> zadaną wzorem:

<center><math>i(n) = [ (n,0)]_{\approx}</math></center>
}}
Funkcja ta jest naturalnym włożeniem zbioru <math>\mathbb{N}</math> w zbiór
<math>\mathbb{Z}</math>. Jako ćwiczenie pokażemy, że funkcja <math>i</math> jest
iniektywna i zgodna z działaniami. Dzięki włożeniu <math>i</math> będziemy
utożsamiali liczbę naturalną <math>n</math> z odpowiadającą jej liczbą
całkowitą <math>i(n)</math>. W ten sposób każdą liczbę naturalną możemy
traktować jak całkowitą.

{{cwiczenie|1.13||

Pokaż, że funkcja <math>i</math> jest iniekcją. Pokaż, że <math>i</math> jest zgodne z
działaniami i porządkiem, to znaczy:
# <math>i(0) =0</math>,
# <math>i(n+m) = i(n)+i(m)</math>,
# <math>i(n \cdot m) = i(n) \cdot i(m)</math>,
# jeżeli <math>n \leq k</math>, to <math>i(n) \leq i(k)</math>.

}}

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  

Pamiętaj, że znaki działań i porządku (oraz <math>0</math>) po prawej i po lewej stronie równości znaczą co innego. Zapisz każde z powyższych praw, ujawniając strukturę liczb całkowitych. Zauważ, że w dowodzie będą interweniowały udowodnione już prawa łączności, przemienności, prawo skreśleń i skracania oraz własności porządkowe dla liczb naturalnych.

</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  

Aby wykazać iniektywność funkcji <math>i</math>, wybierzmy dwie dowolne liczby naturalne <math>m,n</math>. Jeśli <math>i(n)=i(m)</math>, to <math>[(n,0)]_{\approx}=[(m,0)]_{\approx}</math>, czyli <math>n+0=m+0</math> i używając prawa skracania dla liczb naturalnych, dostajemy: <math>n=m</math>, co należało wykazać. Nasze rozumowanie wykazało, że funkcja <math>i</math> jest iniekcją. Przechodzimy teraz do dowodu własności funkcji <math>i</math>.
# Oczywiście <math>i(0)=0</math>, ponieważ <math>i(0)=[(0,0)]_{\approx} = 0</math>. 
# Dla dowolnych dwóch liczb naturalnych <math>n,m</math> mamy <math>i(n+m) = [(n+m,0)]_{\approx} = [(n,0)]_{\approx}+[(m,0)]_{\approx} = i(n) +i(m)</math>, co należało wykazać.
# Podobnie jak w poprzednim przypadku ustalmy dowolne dwie liczby naturalne <math>n</math> i <math>m</math>. Wtedy, używając całego arsenału identyczności prawdziwych dla liczb naturalnych, mamy <math>i(n\cdot m) = [(nm,0)]_{\approx} = [(nm+00,n0+0m)]_{\approx} = [(n,0)]_{\approx}\cdot[(m,0)]_{\approx} = i(n)\cdot i(m)</math>, co należało wykazać.
# Jeśli <math>n\leq k</math>, to niewątpliwie <math>n+0\leq k+0</math>, czyli <math>[(n,0)]_{\approx}\leq [(k,0)]_{\approx}</math>, co oznacza, że <math>i(n)\leq i(k)</math>. Dowód jest zakończony.

</div></div>

==Liczby wymierne==

Niech <math>\mathbb{Z}^* = \mathbb{Z} \setminus \left\{\emptyset\right\}</math>.
Określamy relację <math>\sim</math> na zbiorze <math>\mathbb{Z} \times
\mathbb{Z}^*</math> następująco:

<center><math>(a,b) \sim (c,d)</math>   wtw   <math>a \cdot d = c \cdot b</math></center>

{{cwiczenie|2.1||

Relacja <math>\sim</math> jest równoważnością.

}}

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  

Zwrotność i symetria <math>\sim</math> są trywialne. Przy dowodzie przechodniości zastosuj prawo skracania (patrz [[#cwiczenie_1_8|Ćwiczenie 1.8]]) dla liczb całkowitych.

</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  

Zwrotność relacji <math>\sim</math> wynika z faktu, że dla dowolnych liczb całkowitych mamy <math>a\cdot b = a\cdot b</math>.

Dla dowodu symetrii załóżmy, że <math>(a,b) \sim (c,d)</math>. Wtedy <math>a\cdot d = c\cdot b</math>, czyli <math>c\cdot b=a\cdot d</math>, co oznacza, że <math>(c,d)\sim (a,b)</math>. Wykazaliśmy symetrię relacji <math>\sim</math>.

Aby dowieść przechodniości, ustalmy trzy dowolne elementy <math>\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^*</math> spełniające <math>(a,b) \sim (c,d)</math> oraz <math>(c,d)\sim(e,f)</math>. Wtedy <math>a\cdot d = c\cdot b</math> oraz <math>c\cdot f = e\cdot d</math>, używając przemienności i łączności {Dowód łączności mnożenia liczb całkowitych zostawiamy zainteresowanym czytelnikom.} mnożenia liczb całkowitych, otrzymujemy: <math>a\cdot d\cdot f = c\cdot b\cdot f = e\cdot b\cdot d</math>. Korzystając z prawa skracania dla liczb całkowitych, korzystając z założenia, że <math>d\neq 0</math>, dostajemy: <math>a\cdot f = e\cdot b</math>, czyli: <math>(a,b)\sim (e,f)</math>, co należało wykazać.
</div></div>

{{definicja|2.2.||

Niech <math>\mathbb{Q} =  \mathbb{Z}
\times\mathbb{Z}^* / \sim</math>.
}}
OZNACZENIE:  Będziemy tradycyjne oznaczać ułamek
<math>\frac{a}{b}</math>. Oznacza on zbiór <math>[ (a,b) ]_{\sim}</math>.

{{cwiczenie|2.3||

Dla jakich liczb wymiernych <math>[(a,b)]_{\sim}</math> mamy <math>\bigcup\bigcup
[(a,b)]_{\sim} = \mathbb{Z}</math>?  
}}

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  

Po pierwsze zauważmy, że <math>\bigcup\bigcup [(a,b)]_{\sim} = \{c\in\mathbb{Z}:\exists d\; (a,b)\sim (c,d) \lor (a,b)\sim (d,c) \}</math>. Niewątpliwie musimy więc mieć <math>(0,d)\sim(a,b)</math> dla pewnego <math>d\in\mathbb{Z}</math>&nbsp;(gdyż <math>0</math> nie może występować na drugiej współrzędnej). Definicja relacji <math>\sim</math> implikuje, że <math>0\cdot b = d\cdot a</math>, czyli że <math>a=0</math>. Co więcej dla dowolnej liczby całkowitej <math>c</math> mamy <math>(0,d)\sim(0,c)</math>, ponieważ <math>0\cdot c = 0\cdot d</math>. Tak więc jedyną klasą równoważności relacji <math>\sim</math> spełniającą nasz warunek jest zbiór:

<center><math>\{(0,d): d\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\}</math>,</center>

który zostanie później nazwany "zerem" liczb wymiernych.
</div></div>

===Działania na ułamkach===

Definiujemy stałe i standardowe działania na ułamkach.
* Zero w liczbach wymiernych <math>0 \in \mathbb{Q}</math> to <math>[(0, 1) ]_{\sim}</math>.
* Jedynka w liczbach wymiernych <math>1 \in \mathbb{Q}</math> to ułamek <math>[(1, 1) ]_{\sim}</math>.
* <math>- [ (a,b) ]_{\sim} = [(-a, b) ]_{\sim}</math>.
* Dodawanie <math>[ (a,b) ]_{\sim} + [ (c,d) ]_{\sim} = [(ad +bc, bd) ]_{\sim}</math>.
* Odejmowanie <math>[ (a,b) ]_{\sim} - [ (c,d) ]_{\sim} = [(ad - bc, bd)]_{\sim}</math>.
* Mnożenie <math>[ (a,b) ]_{\sim} \cdot [ (c,d) ]_{\sim} =
[(ac, bd) ]_{\sim}</math>.
* Dzielenie, <math>[ (a,b) ]_{\sim} : [ (c,d) ]_{\sim} = [(ad, bc)
]_{\sim}</math> gdy <math>[ (c,d) ]_{\sim} \neq [(0, d)  ]_{\sim}</math>.

Tak jak poprzednio w przypadku liczb całkowitych będziemy starali
się utożsamiać liczby całkowite z pewnymi ułamkami.

Proszę tak jak poprzednio o zwrócenie uwagi na kolizję oznaczeń.
Jest to zamierzona kolizja oznaczeń, którą
wprowadzamy z pełną świadomością. Po lewej stronie definicji
(dodawania, mnożenia, odejmowania i liczby przeciwnej) używamy
tych samych znaków działań co po stronie prawej.   Pod koniec tej
konstrukcji podamy naturalne włożenie (iniekcje wkładającą liczby
całkowite w wymierne) takie, które zachowuje działania na
liczbach. Upewni nas to, że stosowanie tych samych oznaczeń de
facto nie grozi konfliktem.

{{cwiczenie|2.4||

Pokazać, że działania na liczbach wymiernych są dobrze określone.
To znaczy pokazać, że zbiory (klasy równoważności) będące wynikiem
działań nie zależą od wyboru reprezentantów:

}}

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  

Zapisz, w jaki sposób wynik działań jest niezależny od wyboru reprezentantów.

</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  

Pierwszym działaniem, które może zależeć od reprezentantów wybranych z klasy równoważności jest branie elementu przeciwnego. Załóżmy, że <math>(a,b)\sim (c,d)</math>. Wtedy <math>ad=cb</math> i korzystając z własności liczb całkowitych {Tylko niektóre z niezbędnych własności liczb całkowitych zostały wykazane we wcześniejszej części wykładu. Pozostawiamy dociekliwym czytelnikom możliwość dowiedzenia wszystkich faktów niezbędnych do rozumowań na liczbach wymiernych}, <math>(-1)\cdot a\cdot d = (-1)\cdot c \cdot b</math> i dalej <math>-a\cdot d = -c\cdot b</math>, czyli <math>[(-a,b)]_{\sim}=[(-c,d)]_{\sim}</math>, co należało wykazać.

Aby dowieść niezależności dodawania ustalmy cztery elementy <math>\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^*</math> takie, że <math>(a,b)\sim (e,f)</math> oraz <math>(c,d)\sim(g,h)</math>. Natychmiast wnioskujemy, że <math>a\cdot f = e\cdot b</math> oraz <math>c\cdot h = g\cdot d</math> i dalej

<center><math>a\cdot f \cdot d \cdot h = e \cdot b \cdot d \cdot h \text{ oraz }
c \cdot h \cdot b \cdot f = g \cdot d \cdot b \cdot f</math></center>

Sumując obie równości i wyłączając wspólne czynniki, otrzymujemy:

<center><math>(f\cdot h)\cdot (a\cdot d + c\cdot b) = (b\cdot d)\cdot ( e\cdot h
+ g\cdot f)</math>,</center>

czyli: <math>(a\cdot d + c\cdot b, b\cdot d)\sim ( e\cdot h + g\cdot f, f\cdot h)</math> i dalej:

<center><math>[(a,b)]_{\sim}+[(c,d)]_{\sim} = [(a\cdot d + c\cdot b,b\cdot d)]_{\sim} = [(e\cdot h + g\cdot f,f\cdot h)]_{\sim} = [(e,f)]_{\sim} + [(g,h)]_{\sim}</math></center>

co należało wykazać.

Niezależność odejmowania jest bezpośrednią konsekwencją faktów dowiedzionych powyżej. Wystarczy zauważyć, że <math>[(a,b)]_{\sim}-[(c,d)]_{\sim} = [(a,b)]_{\sim}+ (-[(c,d)]_{\sim})</math>, co wynika wprost z definicji odejmowania. Ponieważ dodawanie i znajdowanie elementu przeciwnego są niezależne od wyboru reprezentantów z klas, to również ich złożenie jest od niego niezależne - czego należało dowieść.

Dla dowodu mnożenia ustalmy cztery elementy <math>\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^*</math> takie, że <math>(a,b)\sim (e,f)</math> oraz <math>(c,d)\sim(g,h)</math>. Z założeń wnioskujemy, że <math>af = be</math> oraz że <math>ch = dg</math>. W związku z tym <math>afch = bedg</math> i korzystając z przemienności i łączności mnożenia liczb całkowitych <math>(ac,bd)\sim (eg,fh)</math>, czyli:

<center><math>[(a,b)]_{\sim}\cdot[(c,d)]_{\sim} = [(ac,bd)]_{\sim}
=[(eg,fh)]_{\sim}=[(e,f)]_{\sim}\cdot[(g,h)]_{\sim}</math>,</center>

co należało wykazać.

Dla dowodu dzielenia zauważmy, że dla dowolnego <math>(c,d)\sim(g,h)</math>&nbsp;(<math>c,g</math> różne od <math>0</math>) mamy <math>(d,c)\sim(h,g)</math>, ponieważ oba fakty są równoważne <math>ch=gd</math>&nbsp;(korzystając z przemienności mnożenia liczb całkowitych). W związku z tym "zamiana miejscami" nie zależy od wyboru reprezentanta klasy równoważności.  Zauważmy, że <math>[(a,b)]_{\sim}:[(c,d)]_{\sim} =[(a,b)]_{\sim}\cdot[(d,c)]_{\sim}</math> i ponieważ założyliśmy <math>c\neq 0</math>, to dzielenie jest złożeniem dwóch operacji niezależnych od wyboru reprezentantów dla klas równoważności - co należało wykazać.
</div></div>

===Porządek ułamków.===

{{definicja|2.5.||

<math>\frac{a}{b} \geq \frac{c}{d}</math>, gdy <math>(a\cdot d - b \cdot c) \cdot
b \cdot d \geq 0</math>.
}}
{{cwiczenie|2.6||

Pokaż, że definicja porządku nie jest zależna od wyboru
reprezentanta.

}}

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  

Do dowodu zastosuj własności dodawania, mnożenia i odejmowania liczb całkowitych.

</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  

Ustalmy dowolne <math>\frac{a}{b}\geq \frac{c}{d}</math>. Wtedy <math>(a\cdot d - b \cdot c) \cdot b \cdot d \geq 0</math> jest równoważne <math>((a\cdot d
- b \cdot c)\cdot 1 -(b\cdot d)\cdot 0 )\cdot( b \cdot d)\cdot 1 \geq 0</math>, co z kolej znaczy, że <math>\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\geq\frac{0}{1}</math>. Ponieważ wykazaliśmy wcześniej, że odejmowanie liczb wymiernych nie zależy od wyboru reprezentantów dla klasy, pozostaje wykazać, że dla <math>\frac{a}{b}=\frac{e}{f}</math> mamy <math>\frac{a}{b}\geq\frac{0}{1}</math> wtedy i tylko wtedy, kiedy <math>\frac{e}{f}\geq\frac{0}{1}</math>. Pierwsza nierówność jest prawdą wtedy i tylko wtedy, kiedy <math>(a\cdot 1 - b\cdot 0)\cdot b\cdot 1=a\cdot b\geq 0</math>, a druga, kiedy <math>e\cdot f \geq 0</math>. W świetle założenia mówiącego, że <math>\frac{a}{b}=\frac{e}{f}</math>, czyli że <math>a\cdot f = b\cdot e</math>, równoważność otrzymujemy przez analizę dodatniości <math>a,b,e</math> i <math>f</math>.
</div></div>

{{cwiczenie|2.7||

Pokaż, że porządek liczb wymiernych spełnia postulaty porządku
liniowego, to znaczy jest zwrotny, antysymetryczny, przechodni i
spójny.

}}

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  

Do dowodu zastosuj własności dodawania liczb całkowitych i porządku dla liczb całkowitych. 
</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  

Zwrotność porządku na liczbach wymiernych jest trywialna. Nierówność <math>\frac{a}{b}\geq\frac{a}{b}</math> oznacza <math>(ab-ba)bb\geq 0</math>, co jest zawsze prawdą.

Dla dowodu antysymetrii załóżmy, że <math>\frac{a}{b}\geq\frac{c}{d}</math> oraz <math>\frac{c}{d}\geq \frac{a}{b}</math>. Wtedy <math>(ad-bc)bd\geq 0</math> i <math>(cb-da)db\geq 0</math>. Ponieważ definicja liczb wymiernych gwarantuje, że <math>db\neq 0</math>, to <math>ad-bc=0</math>, czyli <math>ad=bc</math>, co jest definicją równości: <math>\frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math>. Antysymetria jest pokazana.

Aby pokazać przechodniość, wybierzmy trzy liczby wymierne <math>\frac{a}{b}\geq\frac{c}{d}\geq\frac{e}{f}</math>. Z założeń wynika, że <math>(ad-bc)bd\geq 0</math> oraz <math>(cf-de)df\geq 0</math>. Wnioskujemy, że

<center><math>adbd\geq bcbd</math>  oraz  <math>cfdf\geq dedf</math>,</center>

mnożąc nierówności przez, odpowiednio <math>ff</math> i <math>bb</math>&nbsp;(założenia gwarantują <math>f\neq 0\neq b</math>), otrzymujemy:

<center><math>adbdff\geq bcbdff</math>  oraz  <math>cfdfbb\geq dedfbb
</math></center>

i korzystając z przechodniości nierówności <math>adbdff\geq dedfbb</math>, co możemy przekształcić do <math>(af-be)bfdd\geq 0</math>. Ponieważ założenia gwarantują, że <math>d\neq 0</math>, to <math>(af-be)bf\geq 0</math>, czyli <math>\frac{a}{b}\geq\frac{e}{f}</math>, co należało pokazać.

Pozostała nam do wykazania spójność porządku. Bardzo łatwo zauważyć, że dla dwóch liczb wymiernych <math>\frac{a}{b}</math> i <math>\frac{c}{d}</math> mamy <math>(ad-bc)bd\geq 0</math> lub <math>(bc-ad)db\geq 0</math>, co kończy dowód spójności.
</div></div>

Do rozważań nad konstrukcją liczb rzeczywistych potrzebna nam będzie
definicja wartości bezwzględnej

{{definicja|2.8.||

<center><math>\left| x \right|\ =  
\begin{cases}
x, & \text{ gdy } x\geq 0, \\
-x, & \text{ w przeciwnym przypadku}.
\end{cases}</math></center>
}}
<span id="cwiczenie_2_9">
{{cwiczenie|2.9||

Pokaż warunek trójkąta, czyli:

<center><math>\left| x+y \right|  \leq  \left| x \right| + \left| y \right|</math></center>
}}
</span>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  

Rozważ przypadki, kiedy obie liczby są dodatnie, obie ujemne, jedna dodatnia, a druga ujemna. W każdym z przypadków rozumowanie jest trywialne.

</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  

Dowód przeprowadzimy, wprowadzając podobną notację dla liczb całkowitych. Jeśli uda nam się zdefiniować funkcję moduł w ten sposób, że <math>\left| n+k \right| \leq  \left| n \right| + \left| k \right|</math>, <math>\left| nk \right| = \left| n \right|  \left| k \right|</math>, <math>\left| n \right| \geq 0</math>, dla dowolnych liczb całkowitych oraz <math>\left| \frac{a}{b} \right| =\frac{ \left| a \right| }{ \left| b \right| }</math>, to:

<center><math>\left| \frac{a}{b}+\frac{c}{d} \right|  =  \left| \frac{ad+bc}{bd} \right|  =
\frac{ \left| ad+bc \right| }{ \left| bd \right| }
</math></center>

oraz:

<center><math>\left| \frac{a}{b} \right|  + \left| \frac{c}{d} \right|  =
\frac{ \left| a \right| }{ \left| b \right| }+\frac{ \left| c \right| }{ \left| d \right| } =
\frac{ \left| a \right|  \left| d \right| + \left| b \right|  \left| c \right| }{ \left| b \right|  \left| d \right| }</math></center>

Żądana nierówność będzie prawdą, jeśli uda nam się wykazać, że:

<center><math>\left[( \left| a \right|  \left| d \right| + \left| b \right|  \left| c \right| ) \left| bd \right|  -
\left| ad+bc \right|  \left| b \right|  \left| d \right| \right] \left| b \right|  \left| d \right|  \left| bd \right| \geq
0</math>,</center>

ale korzystając z właściwości modułu dla liczb całkowitych&nbsp;(które wkrótce wykażemy), przekształcamy wzór do:

<center><math>\left[( \left| ad \right| + \left| bc \right| -
\left| ad+bc \right| \right] \left| b \right|  \left| c \right|  \left| b \right|  \left| d \right|  \left| b \right|  \left| d \right| \geq
0
</math></center>

i ponieważ <math>\left| b \right|</math> i <math>\left| d \right|</math> są stale większe od zera, a
<math>\left| ad \right| + \left| bc \right| \geq  \left| ad+bc \right|</math> w liczbach całkowitych,
nierówność jest dowiedziona.

Pozostaje zdefiniować funkcję moduł w liczbach całkowitych. Definiujemy ją jako: <math>\left| [(n,k)]_{\approx} \right|  = [(l,0)]_{\approx}</math>, gdzie <math>l</math> jest unikalną liczbą naturalną taką, że <math>[(n,k)]_{\approx}=[(l,0)]_{\approx}</math> lub <math>[(n,k)]_{\approx}=[(0,l)]_{\approx}</math>. Liczba taka istnieje na podstawie Ćwiczenia 1.3 (patrz [[#cwiczenie_1_3|ćwiczenie 1.3.]]) i jest unikalna, ponieważ <math>[(l,0)]_{\approx}=[(0,p)]_{\approx}</math> implikuje <math>p=l=0</math>, a <math>[(l,0)]_{\approx}=[(p,0)]_{\approx}</math> implikuje <math>p=l</math>. Pozostaje wykazać wymagane fakty o funkcji moduł.

Ustalmy dwie liczby całkowite <math>[(n,k)]_{\approx}</math> i <math>[(l,m)]_{\approx}</math> - wykażemy, że <math>\left| [(n,k)]_{\approx} +[(l,m)]_{\approx} \right| \leq \left| [(n,k)]_{\approx} \right|  + \left| [(l,m)]_{\approx} \right|</math>. Ponieważ zarówno dodawanie, jak i porządek nie zależą od wyboru reprezentantów dla klas równoważności, możemy założyć, że <math>n=0</math> lub <math>k=0</math>&nbsp;(i równocześnie <math>l=0</math> lub <math>m=0</math>). Jeśli <math>k=0</math> oraz <math>m=0</math>, to mamy <math>\left| [(n,k)]_{\approx} \right| = [(n,k)]_{\approx}</math> oraz <math>\left| [(l,m)]_{\approx} \right| =[(l,m)]_{\approx}</math> i nierówność jest prawdziwa. Jeśli z kolei <math>n=0</math> i <math>l=0</math>, to:

<center><math>\left| [(n,k)]_{\approx} +[(l,m)]_{\approx} \right|  =  \left| [(0,k+m)]_{\approx} \right|  = [(k+m,0)]_{\approx} =[(k,0)]_{\approx}+[(m,0)]_{\approx} =  \left| [(0,k)]_{\approx} \right| + \left| [(0,m)]_{\approx} \right|
</math></center>

i nierówność znowu jest spełniona. Pozostają dwa symetryczne przypadki. Bez straty ogólności możemy założyć, że <math>n=0</math> i <math>m=0</math>. Wtedy <math>\left| [(n,k)]_{\approx} + [(l,m)]_{\approx} \right| = \left| [(l,k)]_{\approx} \right|</math> jest niewątpliwie mniejszy od <math>\left| [(k,n)]_{\approx} \right| + \left| [(l,m)]_{\approx} \right|  = [(l+k,0)]_{\approx}</math>, ponieważ zgodnie z definicją modułu pierwsza współrzędna <math>\left| [(l,k)]_{\approx} \right|</math> jest mniejsza lub równa większej z liczb <math>k</math>, <math>l</math>, która jest z kolei mniejsza lub równa <math>l+k</math>.

Aby dowieść, że w liczbach całkowitych moduł jest rozdzielny względem mnożenia, ustalmy dwie liczby <math>[(n,k)]_{\approx}</math> i <math>[(l,m)]_{\approx}</math> i, podobnie jak poprzednio, załóżmy, że że <math>n=0</math> lub <math>k=0</math>&nbsp;(i równocześnie <math>l=0</math> lub <math>m=0</math>). Wtedy <math>[(n,k)]_{\approx}\cdot[(l,m)]_{\approx} = [(nl+km,lk+mn)]_{\approx}</math>, gdzie co najwyżej jeden z czterech sumandów jest niezerowy. Moduł otrzymanej liczby będzie liczbą całkowitą posiadającą na pierwszej współrzędnej ten właśnie sumand, a na drugiej zero. Równocześnie <math>\left| [(n,k)]_{\approx} \right| \cdot \left| [(l,m)]_{\approx} \right|</math> będzie posiadał na pierwszej współrzędnej dokładnie ten sumand, a na drugiej zero, co dowodzi żądanej równości.

Aby dowieść, że <math>\left| [(n,k)]_{\approx} \right| \geq 0</math>, wystarczy zauważyć, że druga współrzędna pary reprezentującej liczbę jest równa zero i w związku z tym warunek nierówności jest zawsze spełniony.

Pozostaje wykazać, że <math>\left| \frac{a}{b} \right| =\frac{ \left| a \right| }{ \left| b \right| }</math>. Rozważmy dwa przypadki: jeśli <math>\frac{a}{b}\geq 0</math>, to <math>\left| \frac{a}{b} \right|  = \frac{a}{b}</math>. W tym przypadku nierówność implikuje, że <math>(a1-b0)b1\geq 0</math>, czyli że <math>a</math> i <math>b</math> są liczbami całkowitymi tego samego znaku. To znaczy, że posiadają reprezentacje postaci <math>[(n,0)]_{\approx}</math> i <math>[(k,0)]_{\approx}</math>&nbsp;(lub <math>[(0,n)]_{\approx}</math>  i <math>[(0,k)]_{\approx}</math>). Wnioskujemy, że <math>a\cdot  \left| b \right|  = b\cdot \left| a \right|</math>, czyli <math>\frac{a}{b} = \frac{ \left| a \right| }{ \left| b \right| }</math>, co należało wykazać. W drugim przypadku mamy <math>\frac{a}{b}< 0</math>, czyli <math>(a1-b0)b1< 0</math>, więc znaki <math>a</math> i <math>b</math> są przeciwne&nbsp;(posiadają reprezentacje <math>[(n,0)]_{\approx}</math> i <math>[(0,k)]_{\approx}</math> lub na odwrót). Wtedy mamy <math>\left| \frac{a}{b} \right|  = \frac{-a}{b}</math> i znowu <math>-a\cdot \left| b \right|  = b\cdot  \left| a \right|</math> jest prawdą. Wykazaliśmy, że moduł zdefiniowany w liczbach wymiernych jest zgodny z modułem dla liczb całkowitych, co było ostatnim brakującym faktem w dowodzie.
</div></div>

{{definicja|2.10.||

Rozważmy teraz funkcje <math>j:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q}</math>
identyfikującą liczby całkowite jako pewne specjalne liczby
wymierne zadaną wzorem:

<center><math>j(a) = [ (a,1)]_{\sim}</math></center>
}}
Funkcja ta jest naturalnym włożeniem zbioru <math>\mathbb{Z}</math> w zbiór
<math>\mathbb{Q}</math>. Jest iniektywna, zgodna z działaniami i zachowująca
stałe. Pokazanie tych własności będzie treścią następnego
ćwiczenia.

{{cwiczenie|2.11||

Pokaż własności włożenia <math>j</math>:
# <math>j(0) = 0</math>,
# <math>j(1)=1</math>,
# <math>j(a+b) = j(a)+j(b)</math>,
# <math>j(a-b) = j(a)-j(b)</math>,
# <math>j(a \cdot b) = j(a) \cdot j(b)</math>,
# jeżeli <math>x \leq y</math>, to <math>j(x) \leq j(y)</math>.

}}

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  

Pamiętaj, że znaki działań i porządku (oraz <math>0</math> i <math>1</math>) po prawej i po lewej stronie równości znaczą co innego. Zapisz każde z powyższych praw, ujawniając strukturę liczb wymiernych. Zauważ, że w dowodzie będą interweniowały udowodnione już prawa łączności, przemienności, prawo skreśleń i skracania oraz własności porządkowe dla liczb całkowitych. 
</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  

Włożenie <math>j</math> przekształca <math>0</math> w <math>0</math> i <math>1</math> w <math>1</math>, co jest trywialną konsekwencją definicji funkcji <math>j</math>.

Aby wykazać, że włożenie jest zgodne z dodawanie, ustalmy dwie dowolne liczby całkowite <math>a</math> i <math>b</math>. Wtedy, <math>j(a+b)= [(a+b,1)]_{\sim}=[((a1+1b)11,11)]_{\sim} = [(a,1)]_{\sim} +[(b,1)]_{\sim} = j(a) + j(b)</math>, co należało wykazać.

Dla dowodu różnicy ustalmy ponownie <math>a</math> i <math>b</math>, wtedy <math>j(a-b)=[(a-b,1)]_{\sim}=[((a1-1b)11,11)]_{\sim} = [(a,1)]_{\sim} -[(b,1)]_{\sim} = j(a) - j(b)</math>, co kończy dowód podobnie jak w poprzednim przypadku.

Dla dowodu iloczynu, ustalmy znów <math>a</math> i <math>b</math>, mamy <math>j(a\cdot b) =
[(ab,1)]_{\sim} = [(ab,11)]_{\sim} = [(a,1)]_{\sim}\cdot[(b,1)]_{\sim} = j(a)\cdot j(b)</math>, co dowodzi wymaganego faktu.

Dla dowodu zgodności z porządkiem załóżmy, że <math>a\leq b</math> wtedy <math>b-a\geq 0</math> i dalej <math>(b1-1a)11\geq 0</math>, co oznacza, że <math>[(b,1)]_{\sim}\geq[(a,1)]_{\sim}</math>.
</div></div>

Dzięki włożeniu <math>j</math> będziemy utożsamiali liczbę całkowitą <math>a</math> z odpowiadającą jej liczbą wymierną <math>j(a) = [ (a,1)]_{\sim}</math>.

==Konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych==
[[grafika:Cantor.jpg|thumb|right||Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918)[[Biografia Cantor|Zobacz biografię]]]]
{{definicja|3.1.||

Ciągiem elementów zbioru <math>A</math> nazywamy
każdą funkcje <math>a: \mathbb{N} \rightarrow A</math>.
Przez <math>a_n</math> oznaczamy element ciągu  <math>a(n)</math>.
}}
Konstrukcja liczb rzeczywistych pochodzi od [[Biografia_Cantor|Georga Cantora]]. Genialny pomysł [[Biografia_Cantor|Georga Cantora]] polega na rozważaniu nieskończonych ciągów liczb wymiernych spełniających warunek [[Biografia_Cauchy|Augustina Louis Cauchy'ego]]. Wiemy z analizy (patrz wykład [[Analiza matematyczna 1/Wykład 6: Szeregi liczbowe#twierdzenie_6_7|Szeregi liczbowe]]), że ciągi takie są zbieżne. Dlatego ciąg ten można uważać za aproksymacje liczby rzeczywistej. Będziemy za liczbę rzeczywistą brać wszystkie takie ciągi aproksymacji, które w sensie poniższych definicji będą ''dowolnie bliskie siebie''.

<span id="definicja_3_2">{{definicja|3.2.||

Ciągiem Cauchy'ego zbioru liczb
wymiernych <math>\mathbb{Q}</math> nazywamy każdy taki ciąg <math>a: \mathbb{N} \rightarrow
\mathbb{Q}</math> który spełnia warunek (Cauchy'ego):

<center><math>\forall_{\varepsilon \in \mathbb{Q}  \wedge  \varepsilon
>0} \;\; \exists_{n_0 \in \mathbb{N}} \;\; \forall_{p,k \in \mathbb{N}} \;\; (
p>n_0 \wedge k >n_0  \Rightarrow   \left| a_p - a_k \right|  < \varepsilon ) 
</math></center>
}}</span>
{{definicja|3.3.||

Ciąg  <math>a: \mathbb{N} \rightarrow
\mathbb{Q}</math> nazywamy ograniczonym, gdy spełnia:

<center><math>\exists_{M>0} \;\; \forall_{n \in \mathbb{N}} \;\;   \left| a_n \right|  <M 
</math></center>
}}
{{fakt|1||

Ciągi Cauchy'ego są ograniczone.
}}

{{dowod|||

Do ciągu Cauchy'ego <math>a</math> będziemy dobierać ograniczenie <math>M</math>.
Weźmy dodatnią liczbę wymierną <math>\varepsilon</math>. Dla niej, zgodnie z Definicją 3.2 (patrz [[#definicja_3_2|definicja 3.2.]]), znajdziemy
tak duże <math>n_0</math>, że dla wszystkich liczb naturalnych <math>p,k</math>, poczynając
od <math>n_0 +1</math> będzie zachodzić: <math>\left| a_p - a_k \right|  < \varepsilon</math>.
Połóżmy za <math>M</math> największą z pośród liczb <math>\left| a_0 \right| ,\ldots
\left| a_{n_0} \right|</math> oraz <math>\left| a_{n_0 +1} \right|  + \varepsilon</math> powiększoną o <math>1</math>.
Łatwo sprawdzić, że tak zdefiniowane <math>M</math> majoryzuje moduły wszystkich
liczb ciągu.
}}

Poniżej wprowadzimy relacje równoważności na zborze ciągów
Cauchy'ego,  taką która skleja ciągi, które leżą ''dowolnie
blisko''. Każdy taki ciąg będzie inną aproksymacją tej samej liczby
rzeczywistej. Zbiór wszystkich takich aproksymacji będzie dla nas
właśnie liczbą rzeczywistą.

{{definicja|3.4.||

Niech <math>X=\{ a: \mathbb{N} \rightarrow
\mathbb{Q} : a</math>  jest ciągiem Cauchy'ego  <math>\}</math>.

}}
<span id="definicja_3_5">{{definicja|3.5.||

Na zbiorze <math>X</math> ciągów Cauchy'ego określamy relację następująco:
dwa ciągi <math>a</math> i <math>b</math> są równoważne, co zapisujemy jako <math>a \simeq b</math>,
gdy:

<center><math>\forall_{\varepsilon >0} \;\; \exists_{n_0 \in \mathbb{N}} \;\; \forall_{n
\in \mathbb{N}} \;\; ( n>n_0  \Rightarrow   \left| a_n - b_n \right|  < \varepsilon ).

</math></center>
}}</span>
<span id="twierdzenie_3_6">{{twierdzenie|3.6.||

Relacja <math>\simeq</math> określona na <math>X</math> jest relacją równoważności. 
}}</span>

{{dowod|||

Zwrotność i symetria relacji <math>\simeq</math> są oczywiste. Zajmijmy się
dowodem przechodniości. Niech <math>a \simeq b</math> oraz <math>b\simeq c</math>.
Oznacza to:

<center><math>\begin{align} \forall_{\varepsilon >0} \;\; \exists_{n_1 \in \mathbb{N}} \;\; \forall_{n
\in \mathbb{N}} \;\; ( n>n_1  \Rightarrow   \left| a_n - b_n \right|  < \varepsilon ) \quad \mbox{(3.1)} \\
\forall_{\varepsilon >0} \;\; \exists_{n_2 \in \mathbb{N}} \;\; \forall_{n
\in \mathbb{N}} \;\; ( n>n_0  \Rightarrow   \left| b_n - c_n \right|  < \varepsilon ) \quad \mbox{(3.2)}
\end{align}</math></center>

Weźmy <math>\varepsilon >0</math>. Będziemy dobierać niezależnie liczby <math>n_1</math>
i <math>n_2</math> do <math>\varepsilon /2</math> dla pierwszej i drugiej pary ciągów.
Mamy zatem parę nierówności: dla <math>n>n_1</math> zachodzi   <math>\left| a_n -
b_n \right|  < \varepsilon/2</math> oraz dla <math>n>n_2</math> zachodzi  <math>\left| b_n -
c_n \right|  < \varepsilon/2</math>. Biorąc większą z tych dwóch liczb, będziemy
oczywiście jednocześnie spełniać obie nierówności. Zatem dla
<math>n>\max(n_1 , n_2)</math> zachodzą <math>\left| a_n - b_n \right|  < \varepsilon/2</math>
oraz <math>\left| b_n - c_n \right|  < \varepsilon/2</math>. Używając nierówności
trójkąta (patrz [[#cwiczenie_2_9|Ćwiczenie 2.9]]), mamy:

<center><math>\left| a_n - c_n \right|  \leq  \left| a_n - b_n \right|  +  \left| b_n - c_n \right|  <
\varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon</math>,</center>

co kończy dowód.
}}

{{definicja|3.7.||

Przez liczby rzeczywiste będziemy rozumieli zbiór <math>X/\simeq</math> i
oznaczamy przez <math>\mathbb{R}</math>.

Liczbą rzeczywistą jest zatem zbiór ciągów Cauchy'ego, które leżą
''dowolnie blisko'' siebie.  Na każdy taki ciąg można patrzeć
jak na pewną aproksymację danej liczby rzeczywistej.
}}
{{cwiczenie|3.8||

Ile razy należy poprzedzić znakiem <math>\bigcup</math> zbiór <math>\mathbb{R}</math>,
aby otrzymać <math>\mathbb{N}</math>?  
}}

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  

Mamy <math>\mathbb{R}\subseteq \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N}\times\mathbb{Q}))</math>, a więc <math>\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup \mathbb{R}\subseteq \mathbb{N}\cup\mathbb{Q}</math>. Rozumując dalej, mamy <math>\mathbb{Q}\subseteq\mathcal{P}(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z})</math>, a więc <math>\bigcup\bigcup\bigcup\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Z}</math>. W końcu <math>\mathbb{Z}\subseteq\mathcal{P}(\mathbb{N}\times\mathbb{N})</math> i <math>\bigcup\bigcup\bigcup\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{N}</math>. Reasumując, otrzymujemy:

<center><math>\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup(\mathbb{R})
\subseteq
\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup(\mathbb{N}\cup
\mathbb{Q}) \subseteq \mathbb{N}</math></center>

Pozostaje wykazać, że po tylu iteracjach nie otrzymamy niczego mniejszego niż <math>\mathbb{N}</math>. Niech <math>z:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Q}</math> będzie funkcją taką, że <math>z(n) = [(0,1)]_{\sim}</math>, dla dowolnego <math>n</math>. Wtedy <math>z</math> jest ciągiem Cauchego i <math>[z]_{\simeq}\in\mathbb{R}</math>. Ponieważ <math>\bigcup\bigcup z = \mathbb{N}\cup\{[(0,1)]_{\sim}\}</math>, to <math>\bigcup\bigcup\bigcup [z]_{\simeq} \supset \mathbb{N}\cup\{[(0,1)]_{\sim}\}</math>, co implikuje, że

<center><math>\mathbb{N}\subseteq\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\mathbb{R}</math>,</center>

a ponieważ <math>\bigcup\mathbb{N} = \mathbb{N}</math>

<center><math>\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\bigcup\mathbb{R }
=\mathbb{N}
</math></center>

i każda większa ilość jest również odpowiednia.
</div></div>

===Działania na <math>\mathbb{R}</math>===

{{definicja|3.9.||

Dla ciągów <math>a</math> i <math>b</math> ciąg <math>a+ b</math> oraz <math>a \cdot b</math> oznaczają ciągi
zadane jako <math>(a +b)(i) = a(i) + b(i)</math>, dla każdego <math>i</math>. Tak samo
definiujemy mnożenie: <math>(a \cdot b)(i) = a(i) \cdot b(i)</math>.
}}
{{definicja|3.10.||

Dodawanie i mnożenie ciągów liczb wymiernych definiujemy po
współrzędnych, to znaczy:
* dodawanie <math>[ a ]_{\simeq} + [b]_{\simeq} = [a+b]_{\simeq}</math>,
* mnożenie <math>[ a ]_{\simeq} \cdot  [b]_{\simeq} = [a \cdot b]_{\simeq}</math>.
}}
{{cwiczenie|3.11||

Poniższe ćwiczenie odpowiada dowodowi ciągłości dodawania i
mnożenia. W innej wersji będziecie państwo zapoznawać się z tym
zagadnieniem na wykładzie 8 analizy matematycznej (patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 8: Granica i ciągłość funkcji|Wykład 8]]). Pokazać, że
definicja dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych jest poprawna i
niezależna od wyboru reprezentantów:

}}

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  

Dowód poprawności definicji dodawania oprzeć na dowodzie Twierdzenia 3.6 (patrz [[#twierdzenie_3_6|twierdzenie 3.6.]])

</div></div>

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  

Pokażemy poprawność definicji mnożenia (lub ciągłość mnożenia w
sensie wykładu 8 analizy matematycznej)

{{dowod|||

Niech <math>[ a ]_{\simeq} = [a']_{\simeq}</math> oraz  <math>[ b ]_{\simeq} =
[b']_{\simeq}</math>. Pokazujemy, że <math>[ a\cdot b ]_{\simeq} = [a' \cdot
b']_{\simeq}</math>. Weźmy <math>\varepsilon >0</math>. Ciągi <math>a'</math> i <math>b</math> jako ciągi
Cauchy'ego są ograniczone. Niech <math>M</math> będzie wspólnym ograniczeniem
tych ciągów. Dla <math>\varepsilon/(2 \cdot M)</math> dobierzmy takie <math>n_1</math> i
<math>n_2</math>, aby  <math>\left| a_k - a'_k \right|  < \varepsilon/(2 \cdot M)</math> i
<math>\left| b_p - b'_p \right|  < \varepsilon/(2 \cdot M)</math>, dla <math>k>n_1</math> i
<math>p>n_2</math>. Obie nierówności będą zachodzić jednocześnie dla
wszystkich <math>k</math>, poczynając od <math>\max(n_1 ,n_2)</math>. Prosty rachunek
korzystający z nierówności trójkąta kończy dowód:

<center><math>\begin{align}  \left| a_k \cdot b_k - a'_k \cdot b'_k \right|  =
\left| (a_k - a'_k)\cdot b_k + (b_k - b'_k)\cdot a'_k \right|  &\leq   \\
\left| (a_k - a'_k)\cdot b_k \right|  +  \left| (b_k - b'_k)\cdot a'_k \right|  =
\left| (a_k - a'_k) \right| \cdot  \left| b_k \right|  +  \left| (b_k - b'_k) \right| \cdot  \left| a'_k \right| 
&\leq  \\
\varepsilon/(2 \cdot M ) \cdot M +
\varepsilon/(2 \cdot M ) \cdot M = \varepsilon. 
\end{align}</math></center>

}}

</div></div>

===Porządek  na <math>\mathbb{R}</math>===

<span id="definicja_3_12">{{definicja|3.12.||

Relacja <math>[ a ]_{\simeq} < [b]_{\simeq}</math> na
zbiorze liczb rzeczywistych <math>\mathbb{R}</math> jest zdefiniowana jako:

<center><math>\exists_{\varepsilon > 0} \;\;  \exists_{n_0 \in
\mathbb{N}} \;\; \forall_{k>n_0} \;\; a_k +\varepsilon <b_k</math></center>

Będziemy mówili, że liczba wymierna <math>\varepsilon > 0</math> rozdziela
dwa ciągi Cauchy'ego, poczynając od elementu <math>a_{n_0 +1}</math>.
}}
{{definicja|3.13.||

Słaby porządek definiujemy tak jak zazwyczaj: dla liczb
rzeczywistych <math>x \leq y</math>, gdy <math>x < y</math> (patrz [[#definicja_3_12|definicja 3.12.]]) lub gdy <math>x=y</math> (patrz [[#definicja_3_5|Definicja 3.5]]).
}}
{{twierdzenie|3.14.||

Porządek na <math>\mathbb{R}</math> jest liniowy.
}}

{{dowod|||

Pokażemy, że dla dowolnych ciągów Cauchy'ego <math>a</math> i <math>b</math>, jeżeli  <math>[
a ]_{\simeq} \neq [b]_{\simeq}</math> to <math>[ a ]_{\simeq} <
[b]_{\simeq}</math> lub <math>[ a ]_{\simeq} > [b]_{\simeq}</math>. Niech zatem <math>
[ a ]_{\simeq} \neq [b]_{\simeq}</math>. Zgodnie z definicją <math>\simeq</math>
oznacza to:

<center><math>
\exists_{\varepsilon>0} \;\; \forall_{n\in\mathbb{N}} \;\; \exists_{p\in\mathbb{N}} \;\; p>n  \wedge   \left| a_p -b_p \right| \geq \varepsilon</math></center>

Dobierzmy do <math>\varepsilon/3</math> liczby <math>n_a</math> i <math>n_b</math> odpowiednio dla ciągów <math>a</math> i <math>b</math>
tak, aby dla wszystkich <math>k,r > \max(n_a ,n_b)</math> zachodziło
<math>\left| a_k - a_r \right|  < \varepsilon/3</math> oraz
<math>\left| b_k - b_r \right|  < \varepsilon/3</math>.
Zgodnie z formulą powyżej dla <math>\max(n_a ,n_b)</math> musi istnieć
<math>p_0 > \max(n_a ,n_b)</math>
takie,  że <math>\left| a_{p_0} -b_{p_0} \right| \geq \varepsilon</math>. Ustalmy, że to
<math>a_{p_0} < b_{p_0}</math> (gdy będzie odwrotnie rozumowania jest identyczne).
Weźmy zatem dowolne <math>k>p_0</math>. Zachodzą następujące nierówności:

<center><math>\begin{align} a_{p_0} + \varepsilon &\leq  b_{p_0}, \quad \mbox{(3.3)}\\
a_k - \varepsilon/3   &< a_{p_0} < a_k + \varepsilon/3, \quad \mbox{(3.4)}\\
b_k - \varepsilon/3   &< b_{p_0} < b_k + \varepsilon/3, \quad \mbox{(3.5)}
\end{align}</math></center>

Łatwo pokazać, stosując powyższe nierówności, że poczynając od
<math>p_0</math> liczba wymierna <math>\varepsilon/3</math>, będzie rozdzielała obydwa
ciągi Cauchy'ego. Mianowicie:

<center><math>a_k + \varepsilon/3 <   a_{p_0} + 2 \varepsilon/3 \leq b_{p_0} -
\varepsilon/3 < b_{p_0}</math></center>

}}

===Włożenie <math>\mathbb{Q}</math> w <math>\mathbb{R}</math>===

Rozważmy funkcje <math>k:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R}</math> zadaną
następująco: dla liczby wymiernej <math>q\in \mathbb{Q}</math> liczba
rzeczywista  <math>k(q)</math> jest klasą równoważności ciągu stale równego
<math>q</math>, czyli <math>k(q) = [b]_{\simeq}</math>, gdzie <math>b(n) = q</math>. Tak więc liczby
wymierne stają się częścią liczb rzeczywistych. Funkcja <math>k</math> jest
naturalnym włożeniem zbioru <math>\mathbb{Q}</math> w zbiór <math>\mathbb{R}</math>.
Jest ona iniektywna i zgodna z działaniami i porządkiem:
# <math>k(a+b) = k(a)+k(b)</math>,
# <math>k(a-b) = k(a)-k(b)</math>,
# <math>k(a \cdot b) = k(a) \cdot k(b)</math>,
# jeżeli <math>a<b</math>, to <math>k(a) < k(b)</math>.

Dzięki włożeniu <math>k</math> będziemy utożsamiali liczbę wymierną <math>q</math> z
odpowiadającą jej liczbą rzeczywistą <math>k(q)</math>.

===Rozwijanie liczb rzeczywistych przy podstawie <math>2</math>===

<span id="twierdzenie_3_15">{{twierdzenie|3.15.||

Dla każdej liczby rzeczywistej <math>0\leq
x <1</math> istnieje ciąg <math>a_x \in 2^{\mathbb{N}}</math> taki, że ciąg jego
sum częściowych <math>b_x: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q}</math>, dany jako <math>b_k
= \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2^{i+1}}</math>, spełnia:
# <math>b_x</math> jest ciągiem Cauchy'ego,
# <math>[ b_x ]_{\simeq} = x</math>.

Taki ciąg <math>a_x</math> nazywamy rozwinięciem liczby <math>x</math> przy
podstawie <math>2</math>.
}}</span>

{{dowod|||

Dla liczby rzeczywistej <math>x</math> podamy indukcyjną konstrukcję ciągu
<math>a</math> będącego rozwinięciem dwójkowym liczby <math>x</math> i równolegle ciągu
<math>b</math> jego sum częściowych. Jeżeli <math>0 \leq x < 1/2</math>, to definiujemy
<math>a_0 = 0</math>, w przeciwnym wypadku, to znaczy kiedy <math>1/2 \leq x < 1</math>,
definiujemy <math>a_0 =1</math>. Załóżmy, że mamy zdefiniowany ciąg <math>a</math> do
wyrazu <math>k</math>. Wyraz <math>k+1</math> definiujemy:

# <math>a_{k+1} = 1</math>, jeżeli <math>\sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2^{i+1}} + \frac{1}{2^{k+2}} \leq x</math>, 
# <math>a_{k+1} = 0</math>, jeżeli <math>\sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2^{i+1} }+ \frac{1}{2^{k+2}} > x</math>.

Ciąg <math>b</math> definiujemy tak jak w tezie twierdzenia, to znaczy
<math>b_k = \sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2^{i+1}}</math>.

Pokażemy indukcyjnie, że dla każdego <math>k</math> zachodzi:

<center><math>
\sum_{i=0}^{k} \frac{a_i}{2^{i+1}} \leq x \leq \sum_{i=0}^{k}
\frac{a_i}{2^{i+1}} + \frac{1}{2^{k+1}}. \quad \mbox{(3.6)}
</math></center>

Dowód tego faktu pozostawimy jako Ćwiczenie 3.16.
Z powyższej nierówności mamy pierwszy  fakt, a mianowicie: ciąg sum częściowych
<math>b</math> jest ciągiem Cauchy'ego.
}}

{{cwiczenie|3.16||

Uzupełnij dowód indukcyjny nierówności 3.6 pierwszej części tezy
Twierdzenia 3.15 (patrz [[#twierdzenie_3_15|twierdzenie 3.15.]]). Wykonaj dowód drugiej części tezy Twierdzenia 3.15 (patrz [[#twierdzenie_3_15|twierdzenie 3.15.]]). poprzedzającego to
ćwiczenie.

}}

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">  

Dowód części drugiej: <math>[ b ]_{\simeq} = x</math>.  Niech <math>c</math> będzie dowolnym ciągiem Cauchy'ego wyznaczającym liczbę rzeczywistą <math>x</math>, czyli  niech <math>[ c ]_{\simeq} = x</math>. Należy pokazać, że ciągi <math>b</math> i <math>c</math> są równoważne w sensie <math>{\simeq}</math>. Weźmy <math>\varepsilon >0</math>. Dobierzmy tak duże <math>k</math>, aby <math>\frac{1}{2^{k+1}} < \varepsilon</math>. Dalej wynika trywialnie z nierówności 3.6.
</div></div>

Konstrukcja przedstawiona powyżej rozwija liczbę rzeczywistą z przedziału
<math>[0,1)</math> przy podstawie <math>2</math>. Na każdym etapie konstrukcji
sprawdzamy, czy w przedziale, w którym pracujemy aktualnie, liczba znajduje się w
lewej czy też prawej połówce przedziału. Stosownie do tego wybieramy cyfrę
<math>0</math> lub <math>1</math> rozwinięcia.
Jak łatwo można przypuścić podobną konstrukcję jak w Twierdzeniu 3.15 (patrz [[#twierdzenie_3_15|Twierdzenie 3.15.]]) 
można wykonać przy dowolnej innej podstawie <math>k\geq 2</math>. W takim
wypadku aktualny analizowany przedział dzielilibyśmy na <math>k</math>
podprzedziałów i
stosownie do położenia liczby wybieralibyśmy jedną z <math>k</math> cyfr
ze zbioru <math>\left\{0,\ldots k-1\right\}</math>. Przykładowo, gdy za <math>k</math> wybierzemy
<math>k=10</math>, dostaniemy przy pomocy takiej konstrukcji rozwinięcie dziesiętne
danej liczby rzeczywistej.

Twierdzenie poniżej upewni nas o pewnej ciekawej
własności rozwinięć. Otóż rozwinięcie przy podstawie <math>k=2</math> otrzymane
przy pomocy Twierdzenia 3.15 (patrz [[#twierdzenie_3_15|Twierdzenie 3.15.]]) zawsze jest takie, że
zera w tym rozwinięciu występują dowolnie daleko. Innymi słowy, nie
jest możliwe, aby w rozwinięciu od pewnego miejsca występowały same
jedynki. W przykładzie dotyczącym rozwinięcia dziesiętnego liczby
odpowiada to sytuacji, w której nie występują ciągi, które  stale od pewnego
miejsca mają cyfrę <math>9</math>.

<span id="twierdzenie_3_17">{{twierdzenie|3.17.||

Rozwinięcia <math>a</math> uzyskane przy pomocy
konstrukcji twierdzenia 3.15 (patrz [[#twierdzenie_3_15|twierdzenie 3.15.]]) dla liczby  <math>0\leq x
<1</math> jest zawsze takie, że:

<center><math>\forall_{k} \;\; \exists_{n>k} \;\; a_n = 0</math></center>

}}</span>

{{dowod|||

Przypuśćmy, że jest przeciwnie, niż mówi teza, czyli
<math>\exists_{k} \;\; \forall_{n>k} \;\; a_n = 0</math>. Weźmy najmniejsze takie
<math>k</math> i nazwijmy <math>k_0</math>. Mamy zatem <math>a_{k_0} = 0</math> oraz wszystkie
późniejsze wyrazy <math>a_i =1</math> dla <math>i>k_0</math>. Rozwijana liczba <math>x</math>
spełniać będzie dla każdego <math>p\geq 1</math> nierówność 3.6, czyli zachodzić będzie:

<center><math>b_{k_0 -1} + \frac{1}{2^{k_0 +2}} + \ldots  +\frac{1}{2^{k_0 +p+1}}
\leq x \leq  b_{k_0 -1} + \frac{1}{2^{k_0 +2}} + \ldots
+\frac{1}{2^{k_0+ p+1}}  + \;\;  \frac{1}{2^{k_0 p+ 1}}</math></center>

Liczbą, która spełnia wszystkie te nierówności jest: <math>b_{k_0 -1} +
\frac{1}{2^{k_0 +1}}</math>. Mamy zatem zamiast rozwinięcia, które
nieformalnie zapiszemy jako <math>a_0 \ldots a_{k_0 -1} 0 1 1 1 \ldots</math>
rozwinięcie <math>a_0 \ldots a_{k_0 -1} 1 0 0 0  \ldots</math>. To właśnie to
drugie rozwinięcie zostanie znalezione przez procedurę
rekurencyjną przedstawioną w Twierdzeniu 3.15 (patrz [[#twierdzenie_3_15|Twierdzenie 3.15]]).
}}

{{twierdzenie|3.18.||

Istnieje bijekcja pomiędzy odcinkiem <math>[0;1)</math>
a zbiorem
<math>\left\{a\in 2^{\mathbb{N}}: \forall_{k} \;\; \exists_{n>k} \;\; a_n = 0\right\}</math>
}}

{{dowod|||
Bijekcja jest zdefiniowana przy pomocy techniki wprowadzonej w
Twierdzeniu 3.15 (patrz [[#twierdzenie_3_15|Twierdzenie 3.15]]). Istnienie funkcji przypisującej
liczbie rzeczywistej <math>x</math> jej rozwinięcie dwójkowe zostało tam
opisane. Własność tego rozwinięcia
<math>\forall_{k} \;\; \exists_{n>k} \;\; a_n = 0</math> została pokazana w
Twierdzeniu 3.17 (patrz [[#twierdzenie_3_17|Twierdzenie 3.17]]). Pozostaje uzasadnić
iniektywność takiego przypisania. Niech <math>x \neq y</math>. Załóżmy,
że <math>x < y</math>. Rozważmy zatem ciągi <math>a</math> oraz <math>a'</math> rozwinięć dwójkowych
<math>x</math> i <math>y</math>. Nazwijmy ciągi ich sum częściowych, odpowiednio przez <math>b</math> i <math>b'</math>.
Ciągi sum wyznaczają te liczby, czyli <math>[ b ]_{\simeq} = x , [b']_{\simeq} =
y</math>. Ciągi <math>b</math> i <math>b'</math> muszą być różne, bo inaczej wyznaczałyby te
same liczby. W takim razie ciągi rozwinięć <math>a</math> i <math>a'</math> muszą być
różne.
}}

Powyższe twierdzenie będzie miało fundamentalne znaczenie  w
teorii mocy, o którym mowa będzie w [[Logika i teoria mnogości/Wykład 9: Teoria mocy twierdzenie Cantora-Bernsteina, twierdzenie Cantora. Zbiory przeliczalne, zbiory mocy kontinuum|Wykładzie 9]]. Pokazuje bowiem, że
liczby rzeczywiste są równoliczne ze zbiorem <math>2^\mathbb{N}</math>.