Logika i teoria mnogości/Wykład 3: Rachunek predykatów, przykład teorii w rachunku predykatów

Wprowadzenie

Na początku rozdziału o logice zdaniowej rozważaliśmy zdanie

Jeśli ${\text{n}}$ jest liczbą pierwszą to ${\text{n}}$ jest liczbą nieparzystą lub ${\text{n}}$ jest równe 2.

Opisaliśmy je wtedy formułą

$p\Rightarrow (q\vee r).$

w której $p,q,r$ odpowiadały odpowiednio zdaniom

1. ${\text{n}}$ jest liczbą pierwszą,

2. ${\text{n}}$ jest liczbą nieparzystą,

3. ${\text{n}}$ jest równe 2.

Podstawiając zamiast zdania ${\text{n}}$ jest liczbą pierwszą zmienną zdaniową ${\text{p}}$ ukrywamy jednak część informacji. Zdanie to mówi przecież o pewnej liczbie ${\text{n}}$, co więcej zdania ${p,q}$ i ${\text{r}}$ dotyczą tej samej liczby ${\text{n}}$. Zapiszmy więc $p(n)$ zamiast ${p}$ aby podkreślić fakt że prawdziwość ${p}$ zależy od tego jaką konkretną wartość przypiszemy zmiennej ${\text{n}}$. Zdanie $p(n)$ będzie prawdziwe jeśli za ${\text{n}}$ podstawimy jakąś liczbę pierwszą i fałszywe w przeciwnym przypadku. Zgodnie z tą konwencją nasze zdanie przyjmie postać

$p(n)\Rightarrow (q(n)\vee r(n)).$

Zwróćmy uwagę jednak, że trudno ocenić prawdziwość zdania ${\text{p}}$ dopóki nie podstawimy w miejsce ${\text{n}}$ jakiejś konkretnej liczby. Z drugiej strony jednak zdanie jakąkolwiek liczbę nie postawimy w miejsce ${\text{n}}$ zdanie będzie prawdziwe. Możemy więc przeformułować je jako

Dla każdej liczby naturalnej ${\text{n}}$, jeśli ${\text{n}}$ jest liczbą pierwszą to ${\text{n}}$ jest liczbą nieparzystą lub ${\text{n}}$ jest równe 2.

Aby móc formalnie zapisywać zdania takie jak powyższe wprowadzimy kwantyfikator $\forall$ który będzie oznaczał ,,dla każdego" oraz $\exists$ który będzie oznaczał ,,istnieje". Każde wystąpienie kwantyfikatora będzie dotyczyło pewnej zmiennej. W naszym przykładzie napiszemy

$\forall _{n}p(n)\Rightarrow (q(n)\vee r(n)).\quad {\mbox{(1.1)}}$

Możemy teraz powiedzieć, że powyższa formuła jest prawdziwa w zbiorze liczb naturalnych, gdzie $p(n),q(n),r(n)$ będą oznaczać odpowiednio ${\text{n}}$ jest liczbą pierwszą, ${\text{n}}$ jest liczbą nieparzystą, ${\text{n}}$ jest równe 2.

Przy tej samej interpretacji $p(n),q(n)$ moglibyśmy wyrazić zdanie

Istnieje parzysta liczba pierwsza.

jako

$\exists _{n}p(n)\wedge \neg q(n)\quad {\mbox{(1.2)}}$

Język rachunku predykatów

Podobnie jak dla rachunku zdań zaczniemy od zdefiniowania języka rachunku predykatów.

Definicja 2.1.

Alfabet języka rachunku predykatów składa się z:

1. symboli stałych (a,b,c,)

2. symboli zmiennych (x,y,z,)

3. symboli funkcji $(f^{1},f^{2},f^{3},\dots ,g^{1},g^{2},g^{3},\dots ,h^{1},h^{2},h^{3},\dots )$

4. symboli predykatów $(p^{1},p^{2},p^{3},\dots ,q^{1},q^{2},q^{3},\dots ,r^{1},r^{2},r^{3},\dots )$

5. spójników logicznych: $\Rightarrow ,\neg$

6. kwantyfikatorów: $\forall ,\exists$

7. nawiasów i przecinków (niekonieczne)

Przyjmujemy, że cztery pierwsze alfabety są nieskończone, w tym sensie że nigdy nam nie braknie ich symboli. Z każdym symbolem funkcyjnym oraz predykatywnym jest związana liczba (którą zapisujemy w indeksie górnym) która będzie oznaczała liczbę jego argumetów.

Zwykle będą nam wystarczały symbole wymienione w nawiasach. Zanim przystąpimy do konstrukcji formuł zdefiniujemy tzw. termy.

Definicja 2.2. [Termy]

1. każdy symbol stałej jest termem

2. każdy symbol zmiennej jest termem

3. jeśli $t_{1},..,t_{n}$ są termami, a $\alpha ^{n}$ jest symbolem funkcyjnym, to $\alpha ^{n}(t_{1},..,t_{n})$ jest termem

4. nic innego nie jest termem

Przykład 2.3.

Jeśli rozważymy język, w którym 1,2,3 są symbolami stałych, ${x,y}$ są symbolami zmiennych a $+^{2},\times ^{2},-^{1},s^{1}$ są symbolami funkcji to poniższe napisy będą termami

1. $+^{2}(1,x)$

2. $-^{1}(3)$

3. $s^{1}(-^{1}(3))$

4. $\times ^{2}(y,+^{2}(x,-^{1}(2)))$

Dla uproszczenia zapisu będziemy często pomijać liczby opisujące ilość argumentów symbolu. Symbole binarne będziemy czasem zapisywać w notacji infiksowej. Zgodnie z tą konwencją powyższe termy możemy zapisać jako

1. $1+x$

2. $-3$

3. $s(-3)$

4. $y\times (x+(-3))$

Kiedy będziemy mówić o modelach zobaczymy, że termy będą interpretowane jako elementy rozważanej dziedziny, np. jeśli tą dziedziną będą liczby naturalne to termy będą interpretowane jako liczby naturalne. Formuły rachunku predykatów zdefiniujemy w dwóch krokach. Zaczniemy od formuł atomowych.

Definicja 2.4. [Formuły atomowe]

Jeśli $t_{1},..,t_{n}$ są termami, a $\beta ^{n}$ jest symbolem predykatu, to $\beta ^{n}(t_{1},..,t_{n})$ jest formułą atomową.

Przykład 2.5.

Kontynuując przykład dotyczący termów przyjmijmy dodatkowo, że w rozważanym języku $p^{3},q^{1},=^{2}$ są symbolami predykatów wtedy formułami atomowymi będą

1. $p^{3}(1+x,-3,y\times (x+(-3)))$

2. $q^{1}(1)$

3. $=^{2}(y\times (x+(-3)),2)$

Stosując analogiczną konwencję jak dla termów powyższe formuły atomowe zapiszemy jako

1. $p(1+x,-3,y\times (x+(-3)))$

2. $q(1)$

3. $y\times (x+(-3))=2$

Symbole predykatywne będą odpowiadały funkcjom, które elementom rozważanej dziedziny (lub parom, trójkom itd. elementów) przypisują wartość prawdy lub fałszu. Takie funkcje nazywamy predykatami. W przypadku liczb naturalnych możemy na przykład mówić o predykacie pierwszości $p(n)$, który przyjmuje wartość prawdy jeśli $n$ jest liczbą pierwszą i fałszu w przeciwnym przypadku. Podobnie możemy mówić o binarnym predykacie równości (zwyczajowo oznaczanym przez $=$). Dla argumentów ${x,y}$ przyjmuje on wartość prawdy wtedy kiedy ${\text{x}}$ jest tą samą liczbą co ${\text{y}}$ i fałszu w przeciwnym przypadku. Formuły atomowe będą opisywały proste zdania typu ${\text{x}}$ jest liczbą pierwszą, ${\text{x}}$ dzieli ${\text{y}}$, ${\text{x}}$ jest równe ${\text{y}}$. Innymi słowy sprowadzają sie do stwierdzania czy dany zestaw argumentów ma pewną własność opisywaną predykatem.

Uwaga 2.6.

W oznaczeniach z poprzednich przykładów, napis $y\times (x+(-3))=q(1)$ nie jest formułą atomową ani termem. Gdyby predykat ${\text{q}}$ oznaczał np. bycie liczbą nieparzystą to powyższy napis powinniśmy przeczytać jako

$y\times (x+(-3))$ jest równe temu, że 1 jest liczbą nieparzystą.

Nie wolno porównywać elementów dziedziny (opisywanych przez termy) z wartościami prawdy i fałszu.

Z formuł atomowych będziemy budować bardziej złożone formuły zgodnie z poniższą definicją

Definicja 2.7. [Formuły rachunku predykatów]

1. Formuły atomowe są formułami.

2. Jeśli ${\text{A}}$ i $B$ są formułami, to $(A\Rightarrow B)$ oraz $\neg A$ są formułami.

3. Jeśli ${\text{A}}$ jest formułą i ${\text{x}}$ jest zmienną, to $\forall _{x}A$ jest formułą.

4. Nic innego nie jest formułą.

Przyjmujemy analogiczną konwencję dotyczącą nawiasowania jak dla rachunku zdań.

Przykład 2.8.

W oznaczeniach z poprzednich przykładów poniższe napisy nie są formułami rachunku predykatów

• $x+1$

• $(x=1)\Rightarrow 2$

• $\forall _{x}(x+y)$

• $\forall _{x}(\neg x)$

Poniższe napisy są formułami rachunku predykatów

• $x=1$

• $x=1\Rightarrow x=2$

• $\forall _{x}q(x+y)$

• $\forall _{x}\neg (x=0)$

• $\forall _{x}\forall _{z}\neg (x=0)$

• $\forall _{x}\forall _{y}\neg (x=y)$

Ćwiczenie 2.1

Z poniższych formuł wypisz wszytkie termy i formuły atomowe

1. $\forall _{x}\forall _{y}(s(x)=s(y)\Rightarrow x=y)$

2. $\forall _{x}\neg s(x)=0$

3. $\forall _{x}(\neg (x=0)\Rightarrow (\exists _{y}s(y)=x))$

4. $\forall _{x}x+0=x$

5. $\forall _{x}\forall _{y}x+s(y)=s(x+y)$

Rozwiązanie

1.

• termy: $x,y,s(x),s(y)$

• formuły atomowe: $s(x)=s(y),x=y$

2.

• termy: $x,s(x),0$

• formuły atomowe: $s(x)=0$

3.

• termy: $x,0,y,s(y)$

• formuły atomowe: $x=0,s(y)=x$

4.

• termy: $x,0,x+0$

• formuły atomowe: $x+0=x$

5

• termy: $x,y,s(y),x+y,s(x+y)$

• formuły atomowe: $x+s(y)=s(x+y)$

Często będziemy używać dodatkowych spójników $\wedge ,\vee ,\Leftrightarrow$. Ponieważ wszystkie dadzą się zdefiniować przy pomocy $\Rightarrow$ i $\neg$ nie włączamy ich do języka, a napisy w których występują będziemy traktować jako skróty. Ustalmy poniższe definicje

1. $\phi \vee \psi {\stackrel {\text{def}}{\equiv }}\neg \phi \Rightarrow \psi$

2. $\phi \wedge \psi {\stackrel {\text{def}}{\equiv }}\neg (\phi \Rightarrow \neg \psi )$

3. $\phi \Leftrightarrow \psi {\stackrel {\text{def}}{\equiv }}(\phi \Rightarrow \psi )\wedge (\psi \Rightarrow \phi )$

Kwantyfikator egzystencjalny

Wprowadzimy jeszcze jeden bardzo ważny skrót - kwantyfikator egzystencjalny, oznaczamy go przez $\exists$ i definiujemy w następujący sposób

$\exists _{x}\phi {\stackrel {\text{def}}{\equiv }}\neg (\forall _{x}\neg \phi )$

Nieformalnie kwantyfikator egzystencjalny mówi o tym, że istnieje jakiś obiekt, który podstawiony w miejsce ${\text{x}}$ uczyni formułę ${\phi }$ prawdziwą. Zdefiniowaliśmy go poprzez równoważne stwierdzenie które mówi że nieprawdą jest, że każdy obiekt podstawiony w miejsce ${\text{x}}$ falsyfikuje ${\phi }$. Zgodnie z powyższą konwencją formułę ze wstępu

$\exists _{n}[p(n)\wedge \neg q(n)]$

powinniśmy rozumieć jako

$\neg \forall _{n}\neg (p(n)\wedge \neg q(n)).$

Kwantyfikatory ograniczone

Kwantyfikatory ograniczone są skrótami które definujemy następująco

1. $\forall _{x:\phi }\psi {\stackrel {\text{def}}{\equiv }}\forall _{x}\phi \Rightarrow \psi$

2. $\exists _{x:\phi }\psi {\stackrel {\text{def}}{\equiv }}\exists _{x}\phi \wedge \psi$

i czytamy

1. dla każdego ${\text{x}}$ które spełnia ${\phi }$ spełnione jest ${\psi }$

2. istnieje ${\text{x}}$ spełniające ${\phi }$ które spełnia ${\psi }$

Zgodnie z tą konwencją formułę 1.1 możemy zapisać następująco

$\forall _{n:p(n)}q(n)\vee r(n).$

Podobnie formułę 1.2 zapiszemy jako

$\exists _{n:p(n)}\neg q(n)$

Ćwiczenie 2.2

Wyeliminuj wszystkie skróty z napisu

$\exists _{x:\phi }\psi$

Podpowiedź 1

eliminacja kwantyfikatora ograniczonego:

$\exists _{x:\phi }\psi {\stackrel {\text{def}}{\equiv }}\exists _{x}\phi \wedge \psi$

Podpowiedź 2

eliminacja kwantyfikatora egzystencjalnego

$\exists _{x}\phi \wedge \psi {\stackrel {\text{def}}{\equiv }}\neg \forall _{x}\neg (\phi \wedge \psi )$

Rozwiązanie

Pozostało jedynie wyeliminować $\wedge$

$\neg \forall _{x}\neg (\phi \wedge \psi ){\stackrel {\text{def}}{\equiv }}\neg \forall _{x}\neg (\neg (\phi \Rightarrow \neg \psi ))$

Zmienne wolne i związane

Jeśli ${\text{x}}$ jest zmienną, a ${\phi }$ jest formułą to każda pozycję w napisie ${\phi }$ na której występuje symbol ${\text{x}}$ i nie jest poprzedzony bezpośrednio kwantyfikatorem, nazywamy wystąpieniem zmiennej ${\text{x}}$. Wystąpienia dzielimy na wolne i związanie. Wystąpienie jest związane jeśli znajduje się ,,pod działaniem" jakiegoś kwantyfikatora.

Definicja 2.9.

Rodzaj wystąpienia zmiennej w formule określamy zgodnie z poniższymi regułami:

1. Jeśli ${\gamma }$ jest formułą atomową to wszystkie wystąpienia zmiennych w napisie ${\gamma }$ są wolne.

2. Jeśli formuła jest postaci $\phi \Rightarrow \psi$ lub $\neg \phi$ to wystąpienia zmiennych pozostają takie same jak wystąpienia w w ${\phi }$ oraz ${\psi }$.

3. Jeśli formuła jest postaci $\forall _{x}\phi$ to wszystkie wystąpienia zmiennej ${\text{x}}$ w $\forall _{x}\phi$ są związane, a wystąpienia innych zmiennych pozostają takie jak w $\phi$.

Przykład 2.10.

Rozważamy język z przykładu 2.5 (patrz przykład 2.5.)

1. w formule $y\times (x+(-3))=x$ wszystkie wystąpienia zmiennych są wolne. Zmienna $x$ ma dwa wystąpienia a zmienna $y$ jedno.

2. w formule $\forall _{x}y\times (x+(-3))=x$ wszystkie wystąpienia zmiennej $y$ są wolne, i wszystkie wystąpienia zmiennej $x$ są związane     (nadal są tylko dwa wystąpienia $x$ ponieważ zgodnie z definicją nie liczymy symbolu $x$ w $\forall _{x}$)

3. w formule $\forall _{x}\exists _{y}y\times (x+(-3))=x$ wszystkie wystąpienia zmiennych $x$ oraz $y$ są związane

4. w formule $x=2\Rightarrow \exists _{x}x=2$ zmienna $x$ ma jedno wystąpienie wolne (pierwsze) i jedno związane (drugie).

5. w formule $\forall _{x}(x=2\Rightarrow \exists _{x}x=2)$ obydwa wystąpienia zmiennej $x$ są związane.

Ćwiczenie 2.3

W podanych poniżej formułach podkreśl wszystkie wolne wystąpienia zmiennych.

1. $p(z)\Rightarrow \exists _{z}p(z)$

2. $\forall _{y}((\exists _{z}q(y,z))\Rightarrow q(y,z))$

3. $q(x,y)\Rightarrow \forall _{x}(q(x,y)\Rightarrow (\forall _{y}q(x,y)))$

4. $\forall _{x}\exists _{y}q(x,y)\Rightarrow \exists _{x}\forall _{y}q(x,y)$

5. $(\exists _{z}p(z))\Rightarrow (\forall _{z}q(z,z)\vee \exists _{x}q(z,x))$

Rozwiązanie

1. $p(z)\Rightarrow \exists _{z}p({\underline {z}})$

2. $\forall _{y}((\exists _{z}q(y,z))\Rightarrow q(y,{\underline {z}}))$

3. $q({\underline {x}},{\underline {y}})\Rightarrow \forall _{x}(q(x,{\underline {y}})\Rightarrow (\forall _{y}q(x,y)))$

4. $\forall _{x}\exists _{y}q(x,y)\Rightarrow \exists _{x}\forall _{y}q(x,y)$

5. $(\exists _{z}p(z))\Rightarrow (\forall _{z}q(z,z)\vee \exists _{x}q({\underline {z}},x))$

Definicja 2.11.

Formułę ${\phi }$ nazywamy domkniętą jeśli żadna zmienna nie ma wolnych wystąpień w ${\phi }$.

Ćwiczenie 2.4

Które z formuł z ćwiczenia 2.3 są domknięte?

Rozwiązanie

Jedynie formuła $\forall _{x}\exists _{y}q(x,y)\Rightarrow \exists _{x}\forall _{y}q(x,y)$ jest formułą domkniętą.

Podstawienia

Często będziemy w formułach zastępować wystąpienia zmiennych pewnymi termami. Częstym przykładem jest podstawienie w miejsce zmiennej pewnej stałej np. w formule $\displaystyle \forall _{x}x+y>x$, wstawiając w miejsce $\displaystyle y$ stałą $\displaystyle 1$, otrzymamy $\displaystyle \forall _{x}x+1>x$.

Definicja 2.10.

Przez $[x\leftarrow t]\phi$ będziemy oznaczać formułę powstałą przez zastąpienie wszystkich wolnych wystąpień zmiennej $\displaystyle x$ w formule $\displaystyle \phi$ termem $\displaystyle t$. Pisząc $[x\leftarrow t]\phi$ zakładamy również, że w formule $\displaystyle \phi$ żadna ze zmiennych występujących w termie $\displaystyle t$ nie ma związanych wystąpień w $\displaystyle \phi$.

Aksjomatyka Rachunku Predykatów

Rachunek predykatów podobnie jak klasyczny rachunek zdań może być wprowadzony aksjomatycznie. Pierwsza grupa aksjomatów to aksjomaty klasycznego rachunku zdań. Druga dotyczy kwantyfikatora $\forall$ oraz jego interakcji z implikacją. Przypomnijmy, że kwantyfikator $\exists$ traktujemy jako pewien skrót zapisu.

Definicja 3.1.

Schematy aksjomatów rachunku predykatów

1. (Aksjomaty logiki zdaniowej) Każda formuła pasująca do któregokolwiek z poniższych schematów jest tautologią

(a) $(\phi \Rightarrow (\psi \Rightarrow \phi ))$

(b) $(\phi \Rightarrow (\nu \Rightarrow \psi )\Rightarrow \left((\phi \Rightarrow \nu )\Rightarrow (\phi \Rightarrow \psi )\right)$

(c) $(\neg \phi \Rightarrow \psi )\Rightarrow ((\neg \phi \Rightarrow \neg \psi )\Rightarrow \phi )$

2. (Aksjomaty dotyczące kwantyfikatora)

(a) Dla dowolnej formuły $\phi$ oraz termu $t$ następująca formuła jest aksjomatem $\forall _{x}\phi \Rightarrow (\phi [x\leftarrow t])$ (uwaga na podstawienie)

(b) Dla dowolnej formuły $\phi$ oraz zmiennej ${\text{x}}$, która nie ma wolnych wystąpień w $\phi$ następująca formuła jest aksjomatem $\phi \Rightarrow \forall _{x}\phi$

(c) Dla dowolnych formuł ${\phi }$ i ${\psi }$ aksjomatem jest formuła $\forall _{x}(\phi \Rightarrow \psi )\Rightarrow ((\forall _{x}\phi )\Rightarrow (\forall _{x}\psi ))$

Poza tym do aksjomatów dorzucamy również wszystkie generalizacje formuł pasujących do powyższych schematów. Generalizacja formuły jest to ta sama formuła poprzedzona blokiem kwantyfikatorów ogólnych - dla dowolej formuły $\phi$ oraz dowolnych zmiennych $x_{1},\dots ,x_{k}$ formuła $\forall _{x_{1}}\dots \forall _{x_{k}}\phi$ jest generalizacją $\phi$.

Podobnie jak w rachunku zdań dowodem formuły ${\phi }$ nazwiemy ciąg formuł $\phi _{0},\dots ,\phi _{n}$ taki, że $\phi _{n}$ jest tym samym napisem co ${\phi }$ a każda formuła $\phi _{i}$ dla $i<n$ jest aksjomatem rachunku predykatów lub powstaje z dwóch formuł występujących wcześniej w dowodzie poprzez zastosowanie reguły Modus Ponens z Wykładu 2.

Definicja 3.2.

Twierdzeniem rachunku predykatów nazywamy dowolną formułę którą da się dowieść z aksjomatów rachunku predykatów.

Przykład 3.3.

Formalne dowody twierdzeń rachunku predykatów są zwykle skomplikowane. Dlatego w rozważanym przykładzie poczynimy kilka uproszczeń. Będziemy się zajmować formułą $\displaystyle p(t)\Rightarrow \exists _{x}p(x).$

Zamiast dowodzić dokładnie powyższą formułę, dowiedziemy podobny fakt, a mianowicie, że jeśli dołączymy do zbioru aksjomatów formułę $\displaystyle p(t)$, to będziemy w stanie udowodnić $\displaystyle \exists _{x}p(x)$. Twierdzenie o dedukcji, które można znaleźć w wykładzie Logika dla informatyków, mówi, że te podejścia są równoważne.

W poniższym dowodzie pominiemy również dowód formuły $\displaystyle \neg \neg \forall _{x}\neg p(x)\Rightarrow \forall _{x}\neg p(x)$. Formuła ta pasuje do schematu $\displaystyle \neg \neg \phi \Rightarrow \phi$. Łatwo więc sprawdzić, że formuła $\displaystyle \neg \neg \phi \Rightarrow \phi$ jest tautologią klasycznego rachunku zdań, a więc -- w myśl twierdzenia Posta (patrz Wykład 2, Twierdzenie 4.4) -- ma dowód. Po zastąpieniu w tym dowodzie zmiennej $\displaystyle \phi$ formułą $\displaystyle \forall _{x}\neg p(x)$, otrzymamy dowód formuły $\displaystyle \neg \neg \forall _{x}\neg p(x)\Rightarrow \forall _{x}\neg p(x)$.

Przestawiamy uproszczony dowód formuły $\displaystyle p(t)\Rightarrow \exists _{x}p(x)$:

1. $\displaystyle \neg \neg \forall _{x}\neg p(x)\Rightarrow \forall _{x}\neg p(x)$ (patrz komentarz powyżej)
2. $\displaystyle (\forall _{x}\neg p(x))\Rightarrow \neg p(t)$ (aksjomat 2a)
3. $\displaystyle [(\forall _{x}\neg p(x))\Rightarrow \neg p(t)]\Rightarrow ([\neg \neg \forall _{x}\neg p(x)]\Rightarrow [(\forall _{x}\neg p(x))\Rightarrow \neg p(t)])$ (aksjomat 1a)
4. $\displaystyle [\neg \neg \forall _{x}\neg p(x)]\Rightarrow [(\forall _{x}\neg p(x))\Rightarrow \neg p(t)]$ (MP z 2 i 3)
5. $\displaystyle ([\neg \neg \forall _{x}\neg p(x)]\Rightarrow [(\forall _{x}\neg p(x))\Rightarrow \neg p(t)])\Rightarrow [(\neg \neg \forall _{x}\neg p(x)\Rightarrow \forall _{x}\neg p(x))\Rightarrow [(\neg \neg \forall _{x}\neg p(x))\Rightarrow \neg p(t)]]$ (aksjomat 1b)
6. $\displaystyle (\neg \neg \forall _{x}\neg p(x)\Rightarrow \forall _{x}\neg p(x))\Rightarrow [(\neg \neg \forall _{x}\neg p(x))\Rightarrow \neg p(t)]$ (MP z 4 i 5)
7. $\displaystyle (\neg \neg \forall _{x}\neg p(x))\Rightarrow \neg p(t)$ (MP z 6 i 1)
8. $\displaystyle p(t)\Rightarrow ([\neg \neg \forall _{x}\neg p(x)]\Rightarrow p(t))$ (aksjomat 1a)
9. $\displaystyle p(t)$ (dołączyliśmy tę formułę jako aksjomat)
10. $\displaystyle [\neg \neg \forall _{x}\neg p(x)]\Rightarrow p(t)$ (MP z 8 i 9)
11. $\displaystyle ([\neg \neg \forall _{x}\neg p(x)]\Rightarrow p(t))\Rightarrow [((\neg \neg \forall _{x}\neg p(x))\Rightarrow \neg p(t))\Rightarrow \neg \forall _{x}\neg p(x)]$ (aksjomat 1c)
12. $\displaystyle (\neg \neg \forall _{x}\neg p(x))\Rightarrow \neg p(t))\Rightarrow \neg \forall _{x}\neg p(x)$ (MP z 10 i 11)
13. $\displaystyle \neg \forall _{x}\neg p(x)$ (MP z 7 i 12)

Ostatnia formuła to dokładnie $\displaystyle \exists _{x}p(x)$ po rozpisaniu skrótu $\displaystyle \exists$.

Przykład teorii w rachunku predykatów

W oparciu o logikę predykatów możemy budować nowe teorie, dokładając inne, tzw. pozalogiczne aksjomaty. W językach wielu teorii pojawia się symbol predykatywny $=^{2}$, mający symbolizować równość. Ponieważ zwykle wymagamy aby te same własności były spełnione dla $=^{2}$, zostały wyodrębnione specjalne aksjomaty dla równości. Aksjomaty, te to wszystkie formuły oraz ich generalizacje odpowiadające poniższym schematom:

1. $t=t$, dla każdego termu $t$

2. $(t_{1}=t_{1}'\wedge \ldots \wedge t_{k}=t_{k}')\Rightarrow f(t_{1},\ldots ,t_{k})=f(t_{1}',\ldots ,t_{k}')$, dla dowolnego symbolu funkcyjnego $f$, oraz dowolnych termów $t_{1},\ldots ,t_{k},t_{1}',\ldots ,t_{k}'$, gdzie $k$ jest ilością argumentów symbolu $f$

3. $(t_{1}=t_{1}'\wedge \ldots \wedge t_{k}=t_{k}')\Rightarrow (p(t_{1},\ldots ,t_{k})\Rightarrow p(t_{1}',\ldots ,t_{k}'))$, dla dowolnego symbolu predykatywnego $p$, oraz dowolnych termów $t_{1},\ldots ,t_{k},t_{1}',\ldots ,t_{k}'$, gdzie $k$ jest ilością argumentów symbolu $p$

Rozważmy język, w którym mamy jeden binarny symbol predykatywny $=^{2}$, jeden symbol stałej $0$ oraz symbole funkcyjne $s^{1},+^{2},\times ^{2}$. Zgodnie z przyjętą konwencją termy i formuły będziemy zapisywać infixowo. Do aksjomatów logicznych, oraz aksjomatów dla równości, dokładamy następujące aksjomaty:

1. $\forall _{x}\forall _{y}(s(x)=s(y)\Rightarrow x=y)$

2. $\forall _{x}\neg s(x)=0$

3. $\forall _{x}(\neg (x=0)\Rightarrow (\exists _{y}s(y)=x))$

4. $\forall _{x}x+0=x$

5. $\forall _{x}\forall _{y}x+s(y)=s(x+y)$

6. $\forall _{x}x\times 0=0$

7. $\forall _{x}\forall _{y}x\times s(y)=x\times y+y$

Teorią Q nazwiemy wszystkie formuły w ustalonym języku które da się udowodnić z aksjomatów logiki predykatów z dołączonymi aksjomatami równości oraz 1-7. Nietrudno się przekonać, że wszystkie twierdzenia teorii Q są prawdziwe w liczbach naturalnych, przy naturalnej interpretacji występujących symboli ($s(x)$ interpretujemy jako $x+1$). W następnym wykładzie (patrz Wykład 4) przedstawiamy aksjomatyczną teorię w rachunku predykatów nazywaną teorią mnogości ZFC.

Modele

Dotychczas wprowadziliśmy rachunek predykatów aksjomatycznie. Zaletą takiego definiowania jest niewielka ilość potrzebnych pojęć. Z drugiej strony jednak dowody z aksjomatów są żmudne i nie sprzyjają budowaniu intuicji. W przypadku rachunku zdań widzieliśmy, że ten sam zbiór formuł można równoważnie zdefiniować za pomocą matrycy Boolowskiej z Wykładu 2 . Niestety w przypadku rachunku predykatów nie istnieje taka skończona struktura, która pozwalałaby nam stwierdzać czy formuła jest twierdzeniem. Zobaczymy jednak, że pewne struktury warto rozważać. Mówiąc o modelach będziemy musieli użyć naiwnej teorii zbiorów opisanej w pierwszym rozdziale. Decydujemy się na to nadużycie w celu zdobycia dobrych intuicji i sprawności w posługiwaniu się kwantyfikatorami.

Przykład 4.1.

Rozważmy następujące zdanie

$\forall _{x}\exists _{y}x\prec y$

Sytuacja 1.

Przypuśćmy, że to zdanie mówi o liczbach naturalnych, a $x\prec y$ jest prawdą wtedy i tylko wtedy gdy liczba ${\text{x}}$ jest silnie mniejsza od liczby ${\text{y}}$. Wtedy zdanie to powinniśmy uznać za nieprawdziwe, gdyż dla liczby 0 nie istnieje silnie mniejsza liczba naturalna.

Sytuacja 2.

Przypuśćmy, że to zdanie mówi o liczbach całkowitych, a $x\prec y$ jest prawdą wtedy i tylko wtedy gdy liczba ${\text{x}}$ jest silnie mniejsza od liczby ${\text{y}}$. Wtedy zdanie to powinniśmy uznać prawdziwe. Istotnie, dla każdej liczby całkowitej ${\text{x}}$ możemy dobrać liczbę ${\text{y}}$ (na przykład równą $x-1$) która jest od niej silnie mniejsza.

Sytuacja 3.

Przypuśćmy, że to zdanie mówi o liczbach naturalnych, a $x\prec y$ jest prawdą wtedy i tylko wtedy gdy liczba ${\text{x}}$ jest równa liczbie ${\text{y}}$. Wtedy zdanie to powinniśmy uznać prawdziwe (do każdej liczby ${\text{x}}$ możemy dobrać liczbę ${\text{y}}$ tak aby była równa ${\text{x}}$).

Powyższe przykłady pokazują różne interpretacje tej samej formuły. Wydaje się również że prawdziwość zdania zmienia się w zależności od interpretacji. Aby mówić o interpretacji danej formuły powinniśmy powiedzieć w jakim zbiorze będziemy interpretować zmienne i stałe (w naszym przykładzie były to kolejno zbiory $N,Z,N$) oraz jak interpretujemy symbole funkcyjne i predykatywne (w naszym przykładzie występował jedynie symbol predykatywny $\prec$ który był interpretowany kolejno jako silna mniejszość, silna mniejszość, równość). Poniżej definiujemy formalnie pojęcie modelu.

Definicja 4.2. [Model]

Modelem języka rachunku predykatów nazywamy $M=(D,I)$, gdzie:

1. $D$ - jest niepustym zbiorem (dziedziną).

2. ${\text{I}}$ - jest interpretacją symboli języka taką, że:

(a) dla symboli stałych: $I(c)\in D$ (symbole stałych są interpretowane jako elementy dziedziny)

(b) dla symboli funkcyjnych: $I(f):D^{k}\rightarrow D$, gdzie ${\text{k}}$ jest ilością argumentów ${\text{f}}$ (symbole funkcyjne są interpretowane jako funkcje z potęgi dziedziny w dziedzinę)

(c) dla symboli predykatów: $I(p):D^{k}\rightarrow {0,1}$, gdzie $k$ jest ilością argumentów ${\text{p}}$ (symbole predykatywne są interpretowane jako funkcje przekształcające ciągi elementów z dziedziny w prawdę lub fałsz)

Definicja 4.3.

Mówimy, że model $M$ jest odpowiedni dla formuły ${\phi }$ jeśli są w nim zdefiniowane interpretacje wszystkich symboli stałych funkcji oraz predykatów występujących w formule ${\phi }$.

Zanim ustalimy co to znaczy że formuła jest prawdziwa w modelu zdefiniujemy tzw. wartościowanie zmiennych

Definicja 4.4.

Wartościowanie zmiennych modelu $M=(D,I)$ to funkcja która zmiennym przypisuje wartości dziedziny.

Jeśli ustalimy już wartościowanie zmiennych w modelu to możemy też mówić o wartościach przyjmowanych przez termy.

Definicja 4.5. [Wartościowanie termów]

Przy ustalonym modelu $M=(D,I)$ wartościowanie zmiennych $\sigma$ możemy rozszerzyć na wszytekie termy. Oznaczymy je przez ${\hat {\sigma }}$. Rozszerzenie definiujemy w następujący sposób

1. jeśli term ${\text{t}}$ jest zmienną, ${\hat {\sigma }}(t)=\sigma (t)$

2. jeśli term ${\text{t}}$ jest stałą, to ${\hat {\sigma }}(t)=I(t)$ (stałe wartościujemy zgodnie z interpretacją w modelu)

3. jeśli term ${\text{t}}$ jest postaci $f(t_{0},..,t_{n})$, to

${\hat {\sigma }}(f(t_{0},..,t_{n}))=I(f)({\hat {\sigma }}(t_{0}),..,{\hat {\sigma }}(t_{n}))$

czyli aby poznać wartość termu najpierw obliczamy wartości poddtermów a potem obliczamy wartość funkcji odpowiadającej w modelu $M$ symbolowi ${\text{f}}$ na wartościach poddtermów. Funkcję wartościującą termy będziemy często oznaczali tym samym symbolem co wartościowanie zmiennych.

Przykład 4.6.

Przypuśćmy, że w rozważanym języku symbol $o$ jest symbolem stałej, symbole $s,+,\times$ są symbolami funkcji, symbole $<,=$ są symbolami predykatów, ${x,y,z}$ są zmiennymi. Ustalmy model w którym dziedziną jest zbiór liczb naturalnych, a symbole są interpretowane zgodnie z ich zwyczajowym znaczeniem (${\text{s}}$ będziemy interpretować jako jednoargumentową funkcję która każdej liczbie przypisuje liczbę większą o jeden, $o$ interpretujemy jako 0). Jeśli ustalimy ocenę zmiennych tak, że $\sigma (x)=2,\sigma (y)=3,\sigma (z)=5$ to

1. term ${x+y}$ będzie wartościowany na 5

2. term $s(x)$ będzie wartościowany na 3

3. term $o$ będzie wartościowany na 0 (zgodnie z interpretacją stałych)

4 term $s(o)\times s(z)$ będzie wartościowany na 6

Definicja 4.7. [Waluacja formuł]

Zdefiniujemy teraz prawdziwość formuł w ustalonym modelu $M=(D,I)$ przy ustalonym wartościowaniu zmiennych ${\sigma }$.

1. Jeśli formuła jest postaci $p(t_{0},..,t_{n})$ (czyli jest formułą atomową), to jest ona prawdziwa wtedy i tylko wtedy jeśli wartością predykatu odpowiadającego w modelu $M$ symbolowi ${\text{p}}$ (czyli $I(p)$) na elementach dziedziny odpowiadających termom $t_{0},\dots ,t_{n}$ jest prawdą.

2. Jeśli formuła jest postaci $A\Rightarrow B$, to jest ona prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy formuła ${\text{A}}$ jest wartościowana na fałsz lub formuła $B$ jest wartościowana na prawdę (zgodnie z tabelą dla implikacji)

3. Jeśli formuła jest postaci $\neg A$ to jest ona prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy formuła ${\text{A}}$ jest wartościowana na fałsz (zgodnie z tabelą dla negacji)

4. Jeśli formuła jest postaci $\forall _{x}\;A$, to jest ona prawdziwa jeśli prawdziwe jest ${\text{A}}$ i dla każdego wartościowania zmiennych różniącego się od ${\sigma }$ co najwyżej interpretacją symbolu ${\text{x}}$ prawdziwe jest ${\text{A}}$.

5. Jeśli formuła jest postaci $\exists _{x}\;A$, to jest ona prawdziwa jeśli istnieje ocena zmiennych różniąca się od ${\sigma }$ co najwyżej interpretacją symbolu ${\text{x}}$ taka, że przy tej ocenie prawdziwe jest ${\text{A}}$.

Interpretacje kwantyfikatorów, jest w gruncie rzeczy bardzo intuicyjna. Formuła $\forall _{x}A$ jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego elementu dziedziny ,,podstawionego" w miejsce ${\text{x}}$ w formule ${\text{A}}$ prawdziwa jest formuła ${\text{A}}$ (uwaga! podstawiamy jedynie w miejsca wolnych wystąpień ${\text{x}}$). Analogicznie formuła $\exists _{x}A$ jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy istnieje taki element dziedziny, który ,,podstawiony" w miejsce ${\text{x}}$ w formule ${\text{A}}$ uczyni ją prawdziwa. Dotąd rozważaliśmy kwantyfikator $\exists$ jako skrót pewnego napisu, jednak ze względu na jego naturalną interpretacje zdecydowaliśmy się dodać go do definicji waluacji formuł. W ćwiczeniu 4 pokażemy, że zdefiniowana powyżej waluacja formuł z kwantyfikatorem egzystencjalnym jest zgodna z waluacją zdefiniowanego wcześniej skrótu.

Przykład 4.8.

Możemy teraz powiedzieć, że formuła

$\forall _{y}(x<y\vee x=y)$

jest prawdziwa w modelu z Przykładu 4.6 przy ocenie zmiennych $\sigma _{1}$ takiej, że $\sigma _{1}(x)=0$, oraz że jest fałszywa w tym samym modelu dla przy ocenie zmiennej $\sigma _{2}$ takiej, że $\sigma _{2}(x)=7$ (bo na przykład wartościując ${\text{y}}$ na 3 formuła $x<y\vee x=y$ nie będzie prawdziwa).

Istnieją jednak formuły które są prawdziwe w modelu z Przykładu 4.6 niezależnie od oceny zmiennych. Przykładem może być

$\forall _{y}(x<y+x\vee y=o).$

Definicja 4.9.

Formuła ${\phi }$ jest prawdziwa w modelu $M$ jeśli jest prawdziwa w tym modelu przy każdej ocenie zmiennych. Mówimy wtedy, że model $M$ jest modelem formuły ${\phi }$.

Ciekawe, że istnieją również formuły które są prawdziwe we wszystkich modelach. Rozważmy formułę

$(\forall _{x}p(x))\Rightarrow (\exists _{x}p(x)).\quad {\mbox{(4.1)}}$

Rozważmy dowolny model $M$ odpowiedni dla powyższej formuły (odpowiedni to znaczy taki który ustala interpretację wszystkich symboli stałychm, funkcji i predykatów występujących w formule, w tym przypadku symbolu predykatywnego ${\text{p}}$). Jeśli w tym modelu nie jest prawdziwa formuła $(\forall _{x}p(x))$ to cała implikacja 4.1 jest prawdziwa a więc wszystkie te modele są modelami formuły 4.1. Pozostają więc do rozważenia te modele w których prawdziwe jest $(\forall _{x}p(x))$. Weźmy dowolny taki model i oznaczmy go przez $M$. Aby pokazać, że $(\exists _{x}p(x))$ jest prawdziwe w $M$ wystarczy wskazać że istnieje w dziedzinie taka wartość, że podstawiona w miejsce ${\text{x}}$ uczyni predykat oznaczony przez ${\text{p}}$ prawdziwym. Formuła $(\forall _{x}p(x))$ jest prawdziwa w $M$ więc każda wartość podstawiona pod ${\text{x}}$ czyni predykat odpowiadający ${\text{p}}$ prawdziwym. Ponieważ dziedzina modelu $M$ zgodnie z definicją 4.2 nie może być pusta więc istnieje przynajmniej jeden element dziedziny. Ponieważ w dziedzinie istnieje przynajmiej jeden element, oraz że formuła ${p(x)}$ jest prawdziwy niezależnie od tego co podstawimy w miejsce ${\text{x}}$, to rzeczywiście istnieje taki element dziedziny, który podstawiony w miejsce ${\text{x}}$ uczyni formułę ${p(x)}$ prawdziwą. A więc formuła $\exists _{x}p(x)$ również jest prawdziwa. Wobec tego cała implikacja 4.1 jest prawdziwa w $M$. Pokazaliśmy więc, że formuła 4.1 jest prawdziwa w każdym modelu.

Definicja 4.10.

Formułę rachunku predykatów nazywamy tautologią rachunku predykatów jeśli jest prawdziwa w każdym odpowiednim dla niej modelu .

Podobnie jak klasycznym rachunku zdań, w rachunku predykatów również tautologie okazują się tym samym co twierdzenia. Mówi o tym następujące klasyczne twierdzenie udowodnione przez Kurta Gödela.

Kurt Goedel (1906-1978)
Zobacz biografię

Twierdzenie 4.11. [Kurt Gödel]

Formuła rachunku predykatów jest tautologią rachunku predykatów wtedy i tylko wtedy gdy jest twierdzeniem rachunku predykatów.

Dowód powyższego twierdzenia jest przedstawiony na wykładzie Logika dla informatyków. Zauważmy, że zgodnie z powyższym twierdzeniem aby udowodnić, że formuła nie jest twierdzeniem rachunku predykatów wystarczy wskazać model w którym nie jest prawdziwa.

Ćwiczenie 4.1

Rozważmy model $M$, którego dziedziną będą liczby naturalne, oraz w którym jest jeden predykat binarny oznaczony symbolem ${\text{p}}$, który przyjmuje wartość prawdy jeśli pierwszy z jego argumentów dzieli drugi. Napisz formuły które w modelu $M$ są równowążne następującym zdaniom (w kolejnych formułach można wykorzystywać skróty dla formuł zdefiniowanych wcześniej)

1. ${\text{x}}$ jest równe ${\text{y}}$

2. ${\text{x}}$ jest zerem

3. ${\text{x}}$ jest jedynką

4. ${\text{x}}$ jest liczbą pierwszą

5. ${\text{x}}$ jest kwadratem pewnej liczby pierwszej

6. ${\text{x}}$ jest iloczynem dwóch różnych liczb pierwszych

7. ${\text{x}}$ jest iloczynem dwóch liczb pierwszych

8. ${\text{x}}$ jest potęgą liczby pierwszej

9. dla każdych dwóch liczb istnieje ich największy wspólny dzielnik

10. dla każdych dwóch liczb istnieje ich najmniejsza wspólna wielokrotność

11 liczby ${\text{x}}$ i ${\text{y}}$ są względnie pierwsze

Podpowiedź

1. wstarczy aby się dzieliły nawzajem

2. każda liczba dzieli zero

3. jedynka dzieli wszystkie liczby

4. jest podzielna tylko przez siebie i przez jeden (uwaga!, 1 nie jest pierwsza)

5. ma dokładnie 3 różne dzielniki

6. ma dokładnie 2 różne dzielniki, które są różne od x i od 1

7. jest kwadratem lub iloczynem dwóch różnych liczb pierwszych

8. każde dwa dzielniki różne od 1 mają wspólny dzielnik różny od 1

9. każda liczba która dzieli obie liczby dzieli też ich największy wspólny dzielnik

10. każda liczba która jest podzielna przez obie liczby jest też podzielna przez ich najmniejszą wspólną wielokrotność

11. ich największym wspólnym dzielnikiem jest 1

Rozwiązanie

Uwaga: przekonwertowane latex2mediawiki; prawdopodobnie trzeba wprowadzi� poprawki

Dla każdej z poniższych formuł w nawiasie zapisujemy skróty których będziemy używać dla tych formuł.

1. $\displaystyle p(x,y)\wedge p(y,z)$ (skrót $\displaystyle x=y$),
2. $\displaystyle \forall _{z}p(z,x)$ (skrót $\displaystyle x=0$),
3. $\displaystyle \forall _{z}p(x,z)$ (skrót $\displaystyle x=1$),
4. $\displaystyle \neg (x=1)\wedge \forall _{z}[p(z,x)\Rightarrow (z=1\vee z=x)]$ (skrót $\displaystyle Prim(x)$),
5. $\displaystyle \forall _{z}\forall _{y}((p(z,x)\wedge p(y,x)\wedge (\neg z=1)\wedge (\neg z=x)\wedge (\neg y=1)\wedge (\neg y=x))\Rightarrow (z=y))$ (skrót $\displaystyle \phi _{5}(x)$),
6. $\displaystyle \exists _{z}\exists _{y}[p(z,x)\wedge p(y,x)\wedge \neg (z=x)\wedge \neg (z=1)\wedge \neg (y=1)\wedge \neg (y=x)\wedge \neg (y=z)\wedge$$(\forall _{v}(p(v,x)\Rightarrow ((v=1)\vee (v=x)\vee (v=y)\vee (v=z)))]$(skrót $\displaystyle \phi _{6}(x)$),
7. $\displaystyle \phi _{5}(x)\vee \phi _{6}(x)$,
8. $\displaystyle \forall _{y:\neg (y=1)}\forall _{z:\neg (z=1)}[(p(y,x)\wedge p(z,x))\Rightarrow (\exists _{v:\neg (z=1)}(p(v,y)\wedge p(v,z)))]$,
9. $\displaystyle \forall _{x}\forall _{y}\exists _{z}(p(z,x)\wedge p(z,y)\wedge (\forall _{v}(p(v,x)\wedge p(v,y)\Rightarrow p(v,z))))$,
10. $\displaystyle \forall _{x}\forall _{y}\exists _{z}(p(x,z)\wedge p(y,z)\wedge (\forall _{v}(p(x,v)\wedge p(y,v)\Rightarrow p(z,v))))$,
11. $\displaystyle \forall _{z}((p(z,x)\wedge p(z,y))\Rightarrow (z=1))$.

Ćwiczenie 4.2

Rozważmy model $M$, którego dziedziną będą wszytkie punkty, odcinki i okręgi płaszyczny, oraz w którym jest jeden predykat binarny oznaczony symbolem ${\text{p}}$, który przyjmuje wartość prawdy jeśli jego argumenty mają przynajmniej jeden punkt wspólny. Napisz formuły które w modelu $M$ są równowążne następującym zdaniom (w kolejnych formułach można wykorzystywać skróty dla formuł zdefiniowanych wcześniej)

1. ${\text{x}}$ jest równe ${\text{y}}$

2. ${\text{x}}$ jest nadzbiorem ${\text{y}}$

3. ${\text{x}}$ jest punktem

4. ${\text{x}}$ jest odcinkiem

5. ${\text{x}}$ jest okręgiem

6. ${\text{x}}$ jest równoległe do ${\text{y}}$

7. ${\text{x}}$ i ${\text{y}}$ mają dokładenie jeden punkt wspólny

8. okręgi ${\text{x}}$ i ${\text{y}}$ są do siebie styczne

9. okręgi ${\text{x}}$ i ${\text{y}}$ są do siebie wewnętrznie styczne i okrąg ${\text{x}}$ jest okręgiem wewnętrznym

10. okręgi ${\text{x}}$ i ${\text{y}}$ są do siebie zewnętrzenie styczne

11. punkt ${\text{x}}$ jest końcem odcinka ${\text{y}}$

12. odcinek ${\text{x}}$ jest styczny do okręgu ${\text{y}}$

13. okręgi ${\text{x}}$ i ${\text{y}}$ mają taką samą średnicę

14. okrąg ${\text{x}}$ ma średnicę mniejszą niż okrąg ${\text{y}}$

Podpowiedź

1. jeśli $\displaystyle x$ jest różne od $\displaystyle y$, to istnieje punkt, który należy do jednego obiektu i nie należy do drugiego, czyli są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają punkty wspólne dokładnie z tymi samymi elementami,
2. każdy punkt wspólny jakiegoś obiektu z podzbiorem jest też punktem wspólnym z nadzbiorem,
3. każde dwa obiekty, które mają punkt wspólny z punktem, mają też punkt wspólny z sobą,
4. tylko punkt i odcinek mogą mieć istotne nadzbiory, punkty możemy wykluczyć korzystając z formuły w poprzednim punkcie,
5. jeśli coś nie jest punktem ani odcinkiem, to jest okręgiem,
6. odcinki są równoległe, jeśli dowolne ich przedłużenia nie przecinają się lub jeśli mają wspólne przedłużenie,
7. każde dwa ich wspólne punkty muszą być równe,
8. okręgi są styczne, jeśli mają dokładnie jeden punkt wspólny,
9. jeśli okrąg $\displaystyle x$ jest wewnętrzny, to każdy odcinek, który ma przynajmniej jeden punkt wspólny z $\displaystyle x$ da się przedłużyć tak, aby przecinał (miał punkt wspólny) z $\displaystyle y$,
10. okręgi muszą być styczne i żaden z nich nie może być wewnętrzny,
11. istnieje okrąg przechodzący przez $\displaystyle x$ taki, że każdy okrąg styczny do niego w $\displaystyle x$, jeśli jest zewnętrzny, to ma dokładnie jeden punkt wspólny z $\displaystyle y$, a jeśli jest wewnętrzny to dwa,
12. każde przedłużenie odcinka $\displaystyle x$ ma dokładnie jeden punkt wspólny z $\displaystyle y$,
13. istnieją dwa równoległe odcinki styczne do obu okręgów, które nie mają punktów wspólnych,
14. Możliwe są dwa przypadki:
    1. istnieją dwa równoległe odcinki, które nie mają punktów wspólnych, z których pierwszy jest styczny do obu okręgów, a drugi jest styczny do $\displaystyle x$ i przecina okrąg $\displaystyle y$ w dwóch różnych punktach,
    2. okrąg $\displaystyle x$ jest wewnątrz okręgu $\displaystyle y$, czyli nie mają punktów wspólnych i żaden odcinek styczny do $\displaystyle y$ nie przecina $\displaystyle x$.

Rozwiązanie

Dla każdej z poniższych formuł w nawiasie zapisujemy skróty, których będziemy używać dla tych formuł.

1. $\displaystyle \forall _{z}p(x,z)\Leftrightarrow p(y,z)$ (skrót $\displaystyle x=y$),
2. $\displaystyle \forall _{z}p(y,z)\Rightarrow p(x,z)$ (skrót $\displaystyle x\supset y$),
3. $\displaystyle \forall _{y}\forall _{z}[(p(x,y)\wedge p(x,z))\Rightarrow p(y,z)]$ (skrót $\displaystyle pkt(x)$),
4. $\displaystyle \neg pkt(x)\wedge \exists _{y}(y\supset x\wedge \exists _{z}(\neg p(x,z)\wedge p(y,z))$ (skrót $\displaystyle odc(x)$),
5. $\displaystyle \neg pkt(x)\wedge \neg odc(x)$ (skrót $\displaystyle okr(x)$),
6. $\displaystyle odc(x)\wedge odc(y)\wedge [(\exists _{z}(z\supset x\wedge z\supset y))\vee (\forall _{a}\forall _{b}((a\supset x\wedge b\supset y)\Rightarrow \neg p(a,b)))]$ (skrót $\displaystyle \phi _{6}(x,y)$),
7. $\displaystyle p(x,y)\wedge \forall _{a}\forall _{b}([pkt(a)\wedge pkt(b)\wedge p(x,a)\wedge p(y,a)\wedge p(x,b)\wedge p(y,b)]\Rightarrow (a=b))$ (skrót $\displaystyle \phi _{7}(x,y)$),
8. $\displaystyle okr(x)\wedge okr(y)\wedge \phi _{7}(x,y)$ (skrót $\displaystyle \phi _{8}(x,y)$),
9. $\displaystyle \phi _{8}(x,y)\wedge \forall _{a:odc(a)\wedge p(a,x)}\exists _{b}(b\supset a\wedge p(b,y))$ (skrót $\displaystyle \phi _{9}(x,y)$),
10. $\displaystyle \phi _{8}(x,y)\wedge \neg \phi _{9}(x,y)\wedge \neg \phi _{9}(y,x)$ (skrót $\displaystyle \phi _{10}(x,y)$),
11. $\displaystyle pkt(x)\wedge odc(y)\wedge \exists _{a:okr(a)\wedge p(a,x)}\forall _{b:okr(b)\wedge p(b,x)\wedge \phi _{8}(a,b)}[(\phi _{9}(a,b)\Rightarrow \neg \phi _{7}(a,b))\wedge (\phi _{10}(a,b)\Rightarrow \phi _{7}(a,b))]$ (skrót $\displaystyle \phi _{11}(x,y)$),
12. $\displaystyle odc(x)\wedge okr(y)\wedge \forall _{z}(z\supset x\Rightarrow \phi _{7}(y,z))$ (skrót $\displaystyle \phi _{12}(x,y)$),
13. $\displaystyle okr(x)\wedge okr(y)\wedge \exists _{a:odc(a)\wedge \phi _{12}(a,x)\wedge \phi _{12}(a,y)}\exists _{b:odc(b)\wedge \phi _{12}(b,x)\wedge \phi _{12}(b,y)}(\neg p(a,b)\wedge \phi _{6}(a,b)),$
14. $\displaystyle {\begin{aligned}okr(x)\wedge okr(y)&\wedge \\&[(\exists _{a:odc(a)\wedge \phi _{12}(a,x)\wedge \phi _{12}(a,y)}\exists _{b:odc(b)\wedge \phi _{12}(b,x)\wedge p(b,y)\wedge \neg \phi _{7}(b,y)}(\neg p(a,b)\wedge \phi _{6}(a,b)))\\\vee &\\&(\forall _{a:odc(a)\wedge \phi _{12}(a,y)}\neg p(a,x))].\end{aligned}}$

Ćwiczenie 4.3

Napisz formuły które mówią:

• każdy odcinek ma dokładnie dwa końce

• dla każdego okręgu wszystkie jego średnice przecinają się w dokładnie jednym punkcie

• dla dowolnego odcinka istnieje dłuższy odcinek, który go zawiera

• dla dowolnych trzech punktów niewspółliniowych istnieje okrąg który przechodzi przez wszystkie trzy punkty

• istnieją dwa okręgi, które przecinają się w dokładnie 5 punktach.

Rozwiązanie

1. $\displaystyle \forall _{x:odc(x)}\exists _{k_{1}:pkt(k_{1})}\exists _{k_{2}:pkt(k_{2})}\neg (k_{1}=k_{2})\wedge \phi _{11}(a,k_{1})\wedge \phi _{11}(a,k_{2})\wedge \forall _{k_{3}:pkt(k_{3})}(\Phi _{11}(k_{3},a)\Rightarrow (k_{3}=k_{1}\vee k_{3}=k_{2}))$
2. $\displaystyle \forall _{x:odc(x)}\exists _{y:odc(y)}y\supset x$
3. $\displaystyle \forall _{x:pkt(x)}\forall _{y:pkt(y)}\forall _{z:pkt(z)}[[\neg \exists _{a:odc(a)}(p(a,x)\wedge p(a,y)\wedge p(a,z))]\Rightarrow \exists _{b:okr(b)}(p(b,x)\wedge p(b,y)\wedge p(b,z))]$
4. $\displaystyle \exists _{a:okr(a)}\exists _{b:okr(b)}\exists _{x_{1}:pkt(x_{1})}\exists _{x_{2}:pkt(x_{2})}\exists _{x_{3}:p(x_{3})}(p(a,x_{1})\wedge p(a,x_{2})\wedge p(a,x_{3})\wedge p(b,x_{1})\wedge p(b,x_{2})\wedge p(b,x_{3})\wedge \forall _{x_{4}:pkt(x_{4})}((p(a,x_{4})\wedge p(b,x_{4}))\Rightarrow (x_{4}=x_{1}\vee x_{4}=x_{2}\vee x_{4}=x_{3})))$

Ćwiczenie 4.4

Dla każdej z poniższych formuł znajdź model w którym jest prawdziwa oraz model w którym jest fałszywa

1. $\forall _{x}\forall _{y}p(x,y)\Rightarrow p(y,x)$

2. $(\forall _{x}\exists _{y}p(x,y))\Rightarrow \exists _{y}\forall _{x}p(x,y)$

3. $(\forall _{x}(p(x)\vee q(x)))\Rightarrow (\forall _{x}(p(x))\vee \forall _{x}q(x))$

4. $\forall _{y}[(\forall _{x}(p(x)\Rightarrow q(x))\wedge q(y))\Rightarrow p(z)]$

5. $\forall _{x}\forall _{y}(p(x,y)\Rightarrow \exists _{z}(p(x,z)\wedge p(z,y))$

Rozwiązanie

Poniższe przykłady to tylko jedne z wielu możliwych rozwiązań.

1.

(a) Formuła jest prawdziwa w zbiorze trójkątów, jeśli ${\text{p}}$ jest interpretowany jako podobieństwo trójkątów.

(b) Formuła jest fałszywa w zbiorze odcinków, jeśli $p(x,y)$ jest prawdziwy wtedy i tylko wtedy gdy odcinek oznaczony przez ${\text{x}}$ jest krótszy od odcinka oznaczonego przez ${\text{y}}$.

2.

(a) Formuła jest prawdziwa w liczbach naturalnych, jeśli ${\text{p}}$ jest interpretowane jako słaba mniejszość (czyli $p(x,y)$ jest prawdą jeśli ${\text{x}}$ jest mniejsze lub równe ${\text{y}}$). Wtedy rzeczywiście dla każdej liczby istnieje liczba słabo mniejsza (poprzednik implikacji jest prawdziwy) oraz istnieje liczba (zero) która jest słabo mniejsza od wszyskich innych (następnik prawdziwy). Cała implikacja jest więc prawdziwa.

(b) Formuła jest fałszywa w liczbach całkowitych, jeśli ${\text{p}}$ jest interpretowane jako słaba mniejszość. Wtedy rzeczywiście dla każdej liczby istnieje liczba słabo mniejsza (poprzednik implikacji jest prawdziwy) ale nie istnieje najmniejsza liczba całkowita (następnik implikacji jest fałszywy). Cała implikacja jest więc fałszywa. $(\forall _{x}\exists _{y}p(x,y))\Rightarrow \exists _{y}\forall _{x}p(x,y)$

3.

(a) Formuła jest prawdziwa w zbiorze liczb naturalnych przy następującej interpretacji symboli predykatywncych jeśli ${p(x)}$ jest prawdziwe gdy ${\text{x}}$ jest liczbą złożoną, a ${q(x)}$ jest prawdziwe gdy ${\text{x}}$ jest liczbą nieparzystą. Ponieważ istnieje liczba parzysta która jest liczbą pierwszą to poprzednik implikacji jest fałszywy więc cała implikacja jest prawdziwa.

(b) Formuła jest prawdziwa w zbiorze liczb naturalnych przy następującej interpretacji symboli predykatywncych jeśli ${p(x)}$ jest prawdziwe gdy ${\text{x}}$ jest liczbą parzystą, a ${q(x)}$ jest prawdziwe gdy ${\text{x}}$ jest liczbą nieparzystą. Każda liczba naturalna jest parzysta lub nieparzysta (poprzednik jest prawdziwe), ale nie prawda, że każda jest parzysta ani nie prawda że każda jest nieparzysta (następnik fałszywy). Cała implikacja jest więc fałszywa.

4.

$(\forall _{y}[\forall _{x}(p(x)\Rightarrow q(x))\wedge q(y))\Rightarrow p(y)]$

(a) Formuła jest prawdziwa a dowolnym modelu w którym $p(y)$ jest zawsze prawdą. Na przykład w zbiorze liczb naturalnych podzielnych przez 10, gdzie ${q(x)}$ prawdziwa, gdy ${\text{x}}$ jest mniejsze od 1000, a $p(y)$ jest prawdziwe gdy ${\text{y}}$ jest parzyste.

(b) Formuła jest fałszywa w zbiorze czworokątów, gdzie ${p(x)}$ jest prawdą jeśli ${\text{x}}$ jest kwadratem, a ${q(x)}$ jest prawdą gdy ${\text{x}}$ jest prostokątem. Wtedy, prawdziwa jest formuła $\forall _{x}(p(x)\Rightarrow q(x))$ (każdy kwadrat jest prostokątem). Jeśli więc w roli ${\text{y}}$ w formule $(\forall _{x}(p(x)\Rightarrow q(x))\wedge q(y))\Rightarrow p(y)]$ wystąpi prostokąt to poprzednik implikacji będzie prawdziwy, a następnik nie. Nie jest więc prawdą, ze formuła $\forall _{x}(p(x)\Rightarrow q(x))\wedge q(y))\Rightarrow p(y)$ jest prawdziwa dla każdego ${\text{y}}$.

5.

(a) Formuła jest prawdziwa w liczbach wymiernych gdzie $p(x,y)$ jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy ${\text{x}}$ jest silnie mniejsze od ${\text{y}}$. Wtedy rzeczywiście dla dowolnych dwóch liczb wymiernych ${x,y}$ takich, że ${x<y}$ istnieje trzecia liczba która znajduje się pomiędzy nimi (np. ${\frac {x+y}{2}}$).

(b) Formuła jest fałszywa w zbiorze liczb naturalnych w którym $p(x,y)$ interpretujemy jako silną mniejszość. Na przykład dla jeśli ${\text{x}}$ będziemy wartościować na 0, a ${\text{y}}$ na 1 to prawdą będzie $p(x,y)$ (poprzednik implikacji) ale nie będzie prawdą $\exists _{z}(p(x,z)\wedge p(z,y))$ bo pomiędzy liczbami 0 a 1 nie ma żadnej liczby naturalnej.

Ćwiczenie 4.5

Udowodnij, że w dowolnym ustalonym modelu $M$ prawdziwe są następujące formuły

1. $\forall _{x}p(x)\Rightarrow (p(c))$

2. $p(c)\Rightarrow \forall _{x}p(c)$

3. $\forall _{x}(p(x)\Rightarrow q(x))\Rightarrow ((\forall _{x}p(x))\Rightarrow (\forall _{x}q(x)))$

4. $\exists _{x}p(x)\Leftrightarrow \neg \forall _{x}\neg p(x)$

5. $\neg \forall _{x}p(x)\Leftrightarrow \exists _{x}\neg p(x)$

6. $\forall _{x}r(x,f(x))\Rightarrow \forall _{x}\exists _{y}r(x,y)$

Rozwiązanie

1. Weźmy dowolny model $\displaystyle M$ który jest odpowiedni dla badanej formuły. Jeśli w tym modelu nie jest prawdziwa formuła $\displaystyle \forall _{x}p(x)$ to cała implikacja jest prawdziwa. Przypuśćmy więc, że w modelu $\displaystyle M$ jest prawdziwa formuła $\displaystyle \forall _{x}p(x)$. Oznacza to, że dla dowolnego wartościowania $\displaystyle v$ zmiennej $\displaystyle x$ prawdziwa jest formuła $\displaystyle \forall _{x}p(x)$. Czyli $\displaystyle p(x)$ jest prawdziwa dla dowolnego wartościowania różniącego się od $\displaystyle v$ jedynie interpretacją symbolu $\displaystyle x$. W szczególności $\displaystyle p(x)$ jest prawdziwe dla wartościowania, które zmiennej $\displaystyle x$ przypisuje wartość odpowiadającą interpretacji stałej $\displaystyle c$. Wynika stąd że w $\displaystyle M$ prawdziwa jest formuła $\displaystyle p(c)$, a więc również cała implikacja jest prawdziwa.
2. Weźmy dowolny model $\displaystyle M$ który jest odpowiedni dla badanej formuły. Jeśli w tym modelu nie jest prawdziwa formuła $\displaystyle p(c)$ to cała implikacja jest prawdziwa. Przypuśćmy więc, że w modelu $\displaystyle M$ jest prawdziwa formuła $\displaystyle p(c)$. Aby pokazać, że $\displaystyle \forall _{x}p(c)$ wystarczy pokazać, że przy dowolnym wartościowaniu $\displaystyle v$ prawdziwa jest formuła $\displaystyle p(c)$. Oczywiście jest to prawdą, gdyż prawdziwość formuły $\displaystyle p(c)$ nie zależy od wartościowania ($\displaystyle c$ jest stałą). Wobec tego cała implikacja jest prawdziwa w modelu $\displaystyle M$.
3. Weźmy dowolny model $\displaystyle M$ który jest odpowiedni dla badanej formuły. Jeśli w tym modelu nie jest prawdziwa któraś z formuł $\displaystyle \forall _{x}(p(x)\Rightarrow q(x)),(\forall _{x}p(x))$ to cała implikacja jest prawdziwa. Przypuśćmy więc, że w modelu $\displaystyle M$ obie formuły są prawdziwe. Pokażemy, że prawdziwa jest formuła $\displaystyle \forall _{x}q(x)$. Wystarczy więc pokazać, że $\displaystyle q(x)$ jest prawdą dla dowolnego wartościowania. Niech $\displaystyle v$ będzie dowolnym wartościowaniem. Z przesłanek implikacji otrzymujemy, że dla wartościowania $\displaystyle v$ prawdziwe są formuły $\displaystyle p(x)\Rightarrow q(x)$ oraz $\displaystyle p(x)$. Z własności implikacji wynika, że w takim przypadku konieczne jest aby $\displaystyle q(x)$ było wartościowane na prawdę. Wobec dowolności wyboru wartościowania otrzymujemy prawdziwość $\displaystyle \forall _{x}q(x)$ w modelu $\displaystyle M$.
4. Przypuśćmy, że formuła $\displaystyle \neg \forall _{x}\neg p(x)$ jest prawdziwa w $\displaystyle M$. Jest to równoważne faktowi, że istnieje wartościowanie $\displaystyle v$, dla którego nie jest prawdą $\displaystyle \forall _{x}\neg p(x)$, czyli że nie dla wszystkich wartościowań $\displaystyle v'$ różniących się od $\displaystyle v$ jedynie na $\displaystyle x$, formuła $\displaystyle \neg p(x)$ jest prawdziwa. Czyli dla pewnego wartościowania $\displaystyle v'$ formuła $\displaystyle \neg p(x)$ musi być fałszywa. Oznacza to że dla wartościowania $\displaystyle v'$ prawdziwa jest formuła $\displaystyle p(x)$. Ponieważ jedyną zmienną występującą w $\displaystyle p(x)$ jest $\displaystyle x$ to ostatnie zdanie jest równoważne stwierdzeniu że formuła $\displaystyle \exists _{x}p(x)$ jest prawdziwa w modelu $\displaystyle M$.
5. Dowód analogiczny do poprzedniego punktu.
6. Weźmy dowolny model $\displaystyle M$ który jest odpowiedni dla badanej formuły. Jeśli w tym modelu nie jest prawdziwa formuła $\displaystyle \forall _{x}r(x,f(x))$ to cała implikacja jest prawdziwa. Przypuśćmy więc, że w modelu $\displaystyle M$ jest prawdziwa formuła $\displaystyle \forall _{x}r(x,f(x))$. Pokażemy, że w $\displaystyle M$ jest prawdziwa formuła $\displaystyle \forall _{x}\exists _{y}r(x,y)$. Weźmy dowolne wartościowanie $\displaystyle v$, pokażemy że przy tym wartościowaniu prawdziwa jest formuła $\displaystyle \forall _{x}\exists _{y}r(x,y)$. Oznacza to, że dla dowolnego wartościowania $\displaystyle v'$ różniącego się od $\displaystyle v$ jedynie wartością zmiennej $\displaystyle x$ trzeba pokazać że prawdziwa jest formuła $\displaystyle \exists _{y}r(x,y)$. Weźmy dowolne takie wartościowanie $\displaystyle v'$. Aby pokazać prawdziwość $\displaystyle \exists _{y}r(x,y)$ skonstruujemy wartościowanie $\displaystyle v''$ różniące sie od $\displaystyle v'$ jedynie wartością zmiennej $\displaystyle y$, dla którego prawdziwa jest formuła $\displaystyle r(x,y)$. Ponieważ w $\displaystyle M$ jest prawdziwa formuła $\displaystyle \forall _{x}r(x,f(x))$ to w szczególności dla wartościowania $\displaystyle v'$ prawdziwa jest $\displaystyle r(x,f(x))$. Wobec tego ustalmy wartościowanie $\displaystyle v''$ tak aby było zgodne z $\displaystyle v'$ poza zmienną $\displaystyle y$ na której przyjmuje tę samą wartość co term $\displaystyle f(x)$ w wartościowaniu $\displaystyle v'$. Wtedy $\displaystyle r(x,y)$ jest prawdą przy wartośiowaniu $\displaystyle v''$ a zatem przy wartościowaniu $\displaystyle v'$ prawdą jest formuła $\displaystyle \exists _{y}r(x,y)$. Wobec dowolności wyboru $\displaystyle v'$ i $\displaystyle v$ prawdą jest, że w modelu $\displaystyle M$ spełniona jest formuła $\displaystyle \forall _{x}\exists _{y}r(x,y)$, a więc również cała implikacja

$\displaystyle \forall _{x}r(x,f(x))\Rightarrow \forall _{x}\exists _{y}r(x,y)$

Ćwiczenie 4.6

Rozważmy formułę

$\forall _{x}(\neg g(x,x)\Leftrightarrow g(b,x))$

(golibroda $b$ goli wszystkich tych i tylko tych, którzy nie golą się sami). Udowodnij, że nie istnieje model dla powyższej formuły.

Rozwiązanie

(Idea dowodu: kto w goli golibrodę?) Dla dowodu nie wprost przypuśćmy, że istnieje model $M$ w którym ta formuła jest prawdziwa. Skoro tak to dla dowolnego wartościowania zmiennej $x$ prawdziwa jest formuła

$(\neg g(x,x)\Leftrightarrow g(b,x)).$

W szczególności dla wartościowania które $x$ przypisuje ten sam obiekt co stałej $b$ powyższa formuła ma tę samą wartość co

$(\neg g(b,b)\Leftrightarrow g(b,b)).$

a taka formuła nigdy nie jest spełniona. Wobec tego formuła z zadania jest nieprawdziwa w $M$.