Logika i teoria mnogości

Forma zajęć

Wykład (30 godzin) + ćwiczenia (30 godzin)

Opis

Zapoznanie się z podstawowymi pojęciami i narzędziami matematyki. Wprowadzenie fundamentalnych obiektów matematycznych i opis ich własności.

Sylabus

Autorzy

• Marek Zaionc — Uniwersytet Jagielloński
• Jakub Kozik — Uniwersytet Jagielloński
• Marcin Kozik — Uniwersytet Jagielloński

Zawartość

• Rachunek zdań i rachunek predykatów
• Aksjomatyka teorii mnogości ZFC
• Iloczyn kartezjański, relacje, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
• Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych:
  • twierdzenie o indukcji
  • własności liczb
  • definiowanie przez indukcję
  • zasada minimum
  • zasada maksimum
• Konstrukcja i działania na liczbach całkowitych
• Konstrukcja i działania na liczbach wymiernych
• Konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych:
  • działania i porządek
• Funkcje, twierdzenie o faktoryzacji:
  • obrazy i przeciwobrazy zbiorów
• Teoria mocy:
  • zbiory przeliczalne i ich własności
  • zbiory liczb całkowitych i wymiernych są przeliczalne
  • zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny
  • zbiory $\{0,1\}^{N}$ i $N^{N}$ nie są przeliczalne. Zbiór $2^{N}\sim R$
  • twierdzenie Knastera - Tarskiego (dla zbiorów)
  • lemat Banacha
  • twierdzenie Cantora-Bernsteina, (warunki równoważne)
  • twierdzenie Cantora
  • zbiory mocy kontinuum
• Zbiory uporządkowane:
  • lemat Kuratowskiego Zorna
  • przykłady dowodów przy pomocy lematu Kuratowskiego Zorna
  • dowód lemat Kuratowskiego Zorna
• Zbiory liniowo uporządkowane:
  • pojęcia gęstości i ciągłości
  • porządek na $R$ jest ciągły
• Zbiory dobrze uporządkowane:
  • twierdzenie o indukcji
  • liczby porządkowe
  • zbiory liczb porządkowych
  • twierdzenie o definiowaniu przez indukcje pozaskończoną
  • twierdzenie Zermelo

Literatura

1. H. Rasiowa, Wstęp do matematyki, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1971, 1984, 1998.
2. K. Kuratowski, A. Mostowski, Teoria mnogości, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
3. W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogosci w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996.

Moduły

1. Po co nam teoria mnogości? Naiwna teoria mnogości, naiwna indukcja, naiwne dowody niewprost (test)
2. Rachunek zdań (test)
3. Rachunek predykatów, przykład teorii w rachunku predykatów test
4. Teoria mnogości ZFC. Operacje na zbiorach (test)
5. Iloczyn kartezjański i relacje
   1. Para uporządkowana, iloczyn kartezjański, relacje, domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
   2. Iloczyn kartezjański i aksjomat wyróżniania (dla dociekliwych)
6. Funkcje, tw. o faktoryzacji, produkt uogólniony, obrazy i przeciwobrazy, tw. Knastera-Tarskiego i lemat Banacha
7. Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych, twierdzenie o indukcji, zasady minimum, maksimum, definiowanie przez indukcje
8. Konstrukcje liczbowe, liczby całkowite, wymierne, konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych: działania i porządek
9. Teoria mocy twierdzenie Cantora-Bernsteina, twierdzenie Cantora. Zbiory przeliczalne, zbiory mocy continuum
10. Zbiory uporządkowane.
    1. Zbiory uporządkowane. Zbiory liniowo uporządkowane. Pojęcia gęstości i ciągłości
    2. Twierdzenie Bourbakiego-Witta (dla dociekliwych)
11. Zbiory dobrze uporządkowane. Lemat Kuratowskiego Zorna i twierdzenie Zermelo, przykłady
12. Twierdzenie o indukcji. Liczby porządkowe. Zbiory liczb porządkowych. Twierdzenie o definiowaniu przez indukcję pozaskończoną