Logika dla informatyków/Ćwiczenia 8: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
Linia 20: Linia 20:
  
 
''Wskazówka:'' Założyć, że pierwsza klasa jest aksjomatyzowalna przez <math>\Delta</math>, a druga przez&nbsp;<math>\Delta',</math> ale żaden skończony podzbiór<math>\Delta</math> nie jest aksjomatyzacją <math>\mathcal{A}.</math> Pokazać, że<math>\Delta\cup\Delta'</math> spełnia założenia twierdzenia o&nbsp;zwartości.
 
''Wskazówka:'' Założyć, że pierwsza klasa jest aksjomatyzowalna przez <math>\Delta</math>, a druga przez&nbsp;<math>\Delta',</math> ale żaden skończony podzbiór<math>\Delta</math> nie jest aksjomatyzacją <math>\mathcal{A}.</math> Pokazać, że<math>\Delta\cup\Delta'</math> spełnia założenia twierdzenia o&nbsp;zwartości.
 +
  
 
Ćwiczenie 6<br>
 
Ćwiczenie 6<br>
Linia 28: Linia 29:
  
 
Ćwiczenie 7<br>
 
Ćwiczenie 7<br>
Niech <math>Spec(\var\varphi)</math> oznacza zbiór mocy wszystkich skończonych modeli formuły <math>\var\varphi.</math>Pokazać, że jeśli <math>\Delta</math> jest takim zbiorem zdań, iż dla każdego <math>\var\varphi\in\Delta</math> zbiór <math>Spec(\lnot\var\varphi)</math> jest skończony,oraz jeśli <math>\Delta\models\psi,</math> to także <math>Spec(\lnot\psi)</math> jest skończony.
+
Niech <math>Spec(\var\varphi)</math> oznacza zbiór mocy wszystkich skończonych modeli formuły <math>\var\varphi.</math> Pokazać, że jeśli <math>\Delta</math> jest takim zbiorem zdań, iż dla każdego <math>\var\varphi\in\Delta</math> zbiór <math>Spec(\lnot\var\varphi)</math> jest skończony,oraz jeśli <math>\Delta\models\psi,</math> to także <math>Spec(\lnot\psi)</math> jest skończony.

Wersja z 11:45, 22 wrz 2006

Ćwiczenie 1
Wskazać przykład takiego zbioru zdań logiki pierwszego rzędu,że każde dwa jego przeliczalne modele są izomorficzne, ale istnieją dwa nieprzeliczalne, nieizomorficzne ze soba modele zbioru 

Ćwiczenie 2
Udowodnić, że dla każdej struktury skończonej nad skończoną sygnaturą istnieje taki zbiór zdań pierwszego rzędu,że i dla każdej struktury zachodzi


Ćwiczenie 3
Niech będzie skończoną sygnaturą. Udowodnić, że dla każdego zbioru zdań nad następujące dwa warunki są równoważne

  • ma wyłącznie skończone modele.
  • ma z dokładnością do izomorfizmu skończenie wiele modeli.


Ćwiczenie 4
Udowodnić, że klasa wszystkich struktur izomorficznych zestrukturą postaci , gdzie oraz są odpowiednio sumą, przecięciem i zawieraniem zbiorów,nie jest aksjomatyzowalna żadnym zbiorem zdań pierwszego rzędu.


Ćwiczenie 5
Pokazać, że jeśli klasa struktur nad sygnaturą jest aksjomatyzowalna pewnym zbiorem zdań logiki pierwszego rzędu, oraz jej dopełnienie składające się ze struktur sygnatury  ktore nie należą do też jest aksjomatyzowalne, to każda z tych klas jest w istocie aksjomatyzowalna jednym zdaniem pierwszego rzędu.

Wskazówka: Założyć, że pierwsza klasa jest aksjomatyzowalna przez , a druga przez  ale żaden skończony podzbiór nie jest aksjomatyzacją Pokazać, że spełnia założenia twierdzenia o zwartości.


Ćwiczenie 6
Pokazać następujące twierdzenie Robinsona: Jeśli są spełnialnymi zbiorami zdań nad pewną sygnaturą zaś nie jest spełnialny, to istnieje takie zdanie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi} , że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \Delta\models\var\varphi} orazParser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \Delta'\models\lnot\var\varphi.}

Wskazówka: Pokazać, że jeśli teza nie zachodzi, to spełnia założenia twierdzenia o zwartości.


Ćwiczenie 7
Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle Spec(\var\varphi)} oznacza zbiór mocy wszystkich skończonych modeli formuły Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi.} Pokazać, że jeśli jest takim zbiorem zdań, iż dla każdego Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi\in\Delta} zbiór Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle Spec(\lnot\var\varphi)} jest skończony,oraz jeśli to także jest skończony.