Logika dla informatyków/Ćwiczenia 4: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
Linia 36: Linia 36:
 
Dane są dwie sześcioelementowe struktury relacyjne <math>\mathfrak A</math> i <math>\mathfrak B</math> nad sygnaturą złożoną z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego. Struktury są narysowane poniżej jako grafy skierowane:  
 
Dane są dwie sześcioelementowe struktury relacyjne <math>\mathfrak A</math> i <math>\mathfrak B</math> nad sygnaturą złożoną z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego. Struktury są narysowane poniżej jako grafy skierowane:  
  
Ustalić, jaką minimalną rangę kwantyfikatorową ma zdanie math>\var\varphi</math>  
+
Ustalić, jaką minimalną rangę kwantyfikatorową ma zdanie <math>\var\varphi</math> takie, że <math>\mathfrak A\models\var\varphi</math> i <math>\mathfrak B\not\models\var\varphi.</math>}}
takie, że <math>\mathfrak A\models\var\varphi</math> i <math>\mathfrak B\not\models\var\varphi.</math>}}
 

Wersja z 07:49, 26 wrz 2006

Linek z wykładu 8 do cwiczenia 4. Nazwa linku: "c"



Ćwiczenie 1

Wykazać, że dla dostatecznie dużych istnieje zdanie o randze kwantyfikatorowej definiujące porządek liniowy o mocy

Ćwiczenie 2

Adaptując dowód Faktu #qqudowodnić, że struktury Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \<\{1-1/n | n=1,2,\dots\},\leq\>} oraz Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \<\bigcup_{n=1}^\infty\{1-1/n,1+1/n,3-1/n\},\leq\>} , gdzie jest w obu wypadkach standardowym porządkiem liczb wymiernych, są elementarnie równoważne.

Wywnioskować stąd, że pojęcie dobrego porządku nie jest wyrażalne w logice pierwszego rzędu. (Zupełnie inny dowód tego faktu poznamy w Rozdziale 8.

Ćwiczenie 3

Niech będzie jednoargumentowym symbolem relacyjnym. Udowodnić, że klasa wszystkich takich struktur , że , nie jest aksjomatyzowalna żadnym zbiorem zdań pierwszego rzędu.

Ćwiczenie 4

Udowodnić, że klasa wszystkich (skończonych lub nieskończonych ) grafów w których istnieją dwa wierzchołki o równych sobie, skończonych stopniach, nie jest aksjomatyzowalna żadnym zdaniem pierwszego rzędu.

Ćwiczenie 5

Udowodnić, że klasa wszystkich (skończonych lub nieskończonych) grafów których każdy skończony podgraf jest planarny, nie jest aksjomatyzowalna żadnym zdaniem pierwszego rzędu.

Ćwiczenie 6

Pokazać, że klasa wszystkich relacji równoważności, których wszystkie skończone klasy abstrakcji mają parzystą moc, nie jest aksjomatyzowalna żadnym zdaniem pierwszego rzędu.

Ćwiczenie 7

Dane są dwie struktury relacyjne i nad sygnaturą złożoną z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego. Ich nośnikiem jest , relacja zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy , a relacja \wtw, gdy

Ustalić, jaką minimalną rangę kwantyfikatorową ma zdanie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi} takie, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \mathfrak A\models\var\varphi} i Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \mathfrak B\not\models\var\varphi.}

Ćwiczenie 8

Dane są dwie sześcioelementowe struktury relacyjne i nad sygnaturą złożoną z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego. Struktury są narysowane poniżej jako grafy skierowane:

Ustalić, jaką minimalną rangę kwantyfikatorową ma zdanie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi} takie, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \mathfrak A\models\var\varphi} i Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \mathfrak B\not\models\var\varphi.}